高中数学第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用教案

这是一份高中数学第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用教案，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重点，学法与教学用具，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。
第一章  空间向量与立体几何1.4  空间向量的应用1.4.2  用空间向量研究距离、夹角问题 一、教学目标1、熟练掌握空间向量在空间直角坐标系中的表示，正确快速求取平面的法向量；2、熟练掌握空间中直线、平面的平行和垂直在空间直角坐标系下的证明； 3、学会利用空间向量解决距离问题、夹角问题；4、通过空间向量的应用，培养求知探索精神，提高数学综合素养.二、教学重点、难点重点：利用空间向量解决距离问题、夹角问题.难点：熟练掌握利用空间向量解决距离问题、夹角问题.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等 四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【问题】空间中的距离包括点与点、点到直线、点到平面、两条平行直线、两个平行平面的距离等，如何通过空间向量有效解决上述问题？ （二）阅读精要，研讨新知【发现】空间中两点间的距离已知，则  空间中点到直线的距离直线的单位方向向量为，在直线上的投影向量，则点到直线的距离为 两条平行线的距离转化为点到直线的距离  空间中点到平面的距离是平面的法向量，，则点到平面的距离为 两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离 【例题研讨】阅读领悟课本例6（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.） 例6如图1.4-18， 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.（1）求点到直线的距离；（2）求直线到平面的距离.解：如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则 ，.所以（1） 取，则所以，点到直线的距离为（2）因为，所以,所以平面.所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 设平面的法向量为,则，令，则，所以是平面的一个法向量，又    所以点到平面的距离为    因此直线到平面的距离为.【发现】用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题;（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题;（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】 【例题研讨】阅读领悟课本例7（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.） 例7如图1.4-19， 在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) 中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值.解：【化为向量问题】如图，以作为基底，则设向量与的夹角为，则直线和夹角的余弦值等于.所以又均为等边三角形，所以所以【回到图形问题】所以直线和夹角的余弦值为. 【发现】异面直线所成角的向量求解 两条异面直线所成的角为，方向向量分别为，则 直线与平面所成角的向量求解直线与平面交于点，直线与平面所成角为，直线方向向量为，平面的法向量为，则 平面与平面的夹角的向量求解平面与平面相交，形成的四个角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角.平面的法向量分别为，夹角为，则或 【例题研讨】阅读领悟课本例8（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.） 例8如图1.4-22, 在直三棱柱中，,, 为的中点，点分别在棱上,.求平面与平面夹角的余弦值.解：【化为向量问题】如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.设平面的法向量为，平面的法向量为,则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角.【进行向量运算】因为平面，所以平面的一个法向量为. 可知，所 以. 设，则，令，则，所以则【回到图形问题】设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角为余弦值为. 【小组互动】完成课本练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】 【例题研讨】阅读领悟课本例9、例10（用时约为2-4分钟，教师作出准确的评析.）例9图1.4-23 为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为. 已知礼物的质量为1 kg,每根绳子的拉力大小相同. 求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8,精确到0.01 N).解：如图1.4-24， 设水平面的单位法向量为，其中一根绳子的拉力为.因为， 所以在上的投影向量为.所以8根绳子拉力的合力又因为降落伞匀速下落，所以 (N).所以，所以 例10如图 1.4-25，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面, , 是的中点，作交于点.（1）求证：平面；（2）求证： 平面；（3）求平面与平面的夹角的大小. 解：如图，以为原点，所在直线分别为轴， 轴，轴，建立空间直角坐标系，设.（1）证明:连接,交于点,连接. 则.由已知，点是正方形的中心，所以，且 ，所以即，而平面,且平面,因此平面.（2）证明：依题意得，所以所以由已知,且,所以平面.（3）解：已知,由（2）可知,故是平面与平面的夹角.由（2）可知点，则因为,所以，所以设，则，所以，.又，所以所以，所以即平面与平面的夹角的大小为. 【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】  （三）探索与发现、思考与感悟1. 已知矩形，若将其沿对角线折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值为____________.解：如图，过作垂足分别为所以所以  ，所以异面直线与所成角的余弦值为.答案： 2. 如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．（1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（2）取中点为，连结，由得，从而，且，以为原点，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，设为平面的法向量，则，所以，令，则，所以是平面的一个法向量，所以.因此直线与平面所成角的正弦值为 3.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．解：【坐标系选择1】设正的边长为，圆的半径为.则，由，所以，（1）如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则所以，所以所以，又所以平面.（2）设是平面的法向量，则令，则，所以是平面的一个法向量.设是平面的法向量，则令，则，所以是平面的一个法向量.所以所以二面角的余弦值为.【坐标系选择2】（1）如图，过作交于点，因为平面，以O为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，则，，所以，，.所以所以，又所以平面.（2）设是平面的法向量，则，令，则，所以是平面的一个法向量设是平面的法向量，则令，则，所以是平面的一个法向量.故，所以二面角的余弦值为.  （四）归纳小结，回顾重点 空间中两点间的距离已知，则 空间中点到直线的距离直线的单位方向向量为，在直线上的投影向量，则点到直线的距离为 两条平行线的距离转化为点到直线的距离 空间中点到平面的距离是平面的法向量，，则点到平面的距离为 两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离 异面直线所成角的向量求解 两条异面直线所成的角为，方向向量分别为，则 直线与平面所成角的向量求解直线与平面交于点，直线与平面所成角为，直线方向向量为，平面的法向量为，则 平面与平面的夹角的向量求解平面与平面相交，形成的四个角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角.平面的法向量分别为，夹角为，则或 （五）作业布置，精炼双基1.完成课本习题1.4   6、7、9、10、13、14、15、17、182.阅读课本《小结》3.完成复习参考题4 五、教学反思：（课后补充，教学相长）