广东省广州市华南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期11月月考（二）数学试题及参考答案

华南师大附中2023届高三月考（二）

数学参考答案

一、单项选择题：

1．D    2．C    3．A    4．C    5．A    6．B    7．C    8．A

二、多项选择题：

9．BD      10．BCD      11．BCD      12．ACD

11. 【答案】BCD

【详解】易得，且有，

故有，故

故，进而易判断BCD正确，A错误.故选：BCD.

12.【答案】ACD

【详解】对于A，，，则，

又，所以为偶函数，曲线在两点的弯曲长度相同，故A正确；

对于B，设，，

则，当且仅当，

即时，曲率取得最大值，故B错误；

对于C，，

，

当时，；当时，函数为增函数，

所以的最大值为，故C正确；

对于D，，

，

当且仅当时，等号成立，故D正确．故选ACD．

三、填空题：

13.       14.       15. （答案不唯一）      16.

16.【详解】在等比数列中，由，又，且公比小于，，因此，

由，得到是取中最大值.

，是数列中的最小项，

又单调递减，单调递增，

当时，，即是数列中的最小项，则必须满足，即得，

当时，，即，是数列中的最小项，则必须满足，即得，综上所述，实数的取值范围是，故答案为.

四、解答题：

17．（1）由得，(1分)

即，

，

，(3分)

，，(4分)

．(5分)

（2）由，，，

解得，(7分)

，．(10分)

18．解： (1)，①

当时，，②(1分)

①-②得，(2分)

∴，∴，(3分)

∵，∴，∴也满足上式，（4分)

∴数列为等比数列且首项为2，公比为3，

∴.

即的通项公式为.(5分)

(2)由（1）知，所以，(6分)

令，①(7分)

得，②(8分)

①-②得(9分)

(10分)

 (11分)

所以.(12分)

19．解：（1）；(1分)

（2）设“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户”为事件，则，

所以从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户的概率是；(4分)

（3）题图，知组“驾驶达人”的人数为人，组“驾驶达人”的人数为人，(5分)

则可估计该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为，在年龄40岁以上的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为；(6分)

依题意，所有可能取值为，，.(7分)

则，(8分)

，(9分)

，(10分)

所以随机变量的分布列为

(11分)

故数学期望为.(12分)

20. 解：（1）法一：取的中点，连接

∵且为的中点，则(1分)

又∵，，且平面

∴平面(2分)

平面，(3分)

由题意可得，则

∴，则

∵，则(4分)

又∵为等边三角形且为的中点，则

，且平面

∴平面

平面，则(5分)

又，且平面

∴平面即在底面ABC上的射影是线段BC中点M(6分)

法二：取的中点，连接

由得(1分)

又由得(2分)

因为，所以(3分)

由于，得

在中，，

在中，，(4分)

同理

在中，，因此(5分)

又由于，所以平面即在底面ABC上的射影是线段BC中点M(6分)

（2）如图，以M为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，(7分)

则，∴(8分)

设平面的法向量，则即

令，则，即(9分)

平面的法向量(10分)

∴(11分)

即平面与平面夹角的余弦值为.(12分)

21．解：（1）由，是椭圆的两个顶点，

得，，即；(3分)

（2）当直线的斜率不存在时，直线与椭圆有且只有一个公共点，不成立，(4分)

所以设，，，直线的斜率为，

则，

同理，，

则 (5分)

设：，而：，联立解得，

所以 (6分)

联立直线与椭圆方程，消去得：，(7分)

解得

所以，，(8分)

所以(9分)

，(11分)

所以，即．(12分)

22．解：(1)，定义域为，

，(1分)

当时，，当时，，

所以在处取得极大值，也是最大值，(2分)

所以，解得：；(3分)

(2)，即,，(4分)

令，定义域为，

，(5分)

令，，则，

可以看出在单调递减，(6分)

又，，

由零点存在性定理可知：，使得，即，(7分)

当时，，当时，，

在处取得极大值，也是最大值，

，(8分)

，，

，

故存在，，使得，(9分)

所以当时，，当时，，

所以在上大于0，在上小于0，

所以在单调递增，在上单调递减，

且当时，恒成立，(10分)

所以在处取得极大值，也是最大值，其中，

，(11分)

令，，

，当时，，

故，所以实数的最小整数值为1. (12分)