2022-2023学年浙江省杭州市上城区建兰中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市上城区建兰中学九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列事件为必然事件的是(    )

A. 购买两张彩票，一定中奖 B. 打开电视，正在播放新闻联播
C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 三角形三个内角和为

2. 二次函数的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心到水面的距离是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 下列命题中，正确的命题是(    )

A. 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
B. 三点确定一个圆
C. 平分一条弦的直径一定垂直于弦
D. 相等的两个圆心角所对的两条弧相等

6. 已知抛物线过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，二次函数的图象的对称轴为，且经过点，，，下列说法正确的是(    )

A.
B. 当时，
C.
D. 不等式的解集是

9. 如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结若点与圆心不重合，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知一个二次函数图象经过，，，四点，若，则，，，的最值情况是(    )

A. 最小，最大 B. 最小，最大
C. 最小，最大 D. 无法确定

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 正六边形一个内角的度数是______
12. 已知二次函数，则该函数对称轴为直线______．
13. 如图，的内接四边形中，，则的度数为______．

14. 如图所示的网格由边长均为的小正方形组成，点、、、、、在小正方形的顶点上，则外接圆的圆心是点______，弧的长是______．

15. 已知点和在二次函数的图象上．将这个二次函数图象向上平移______单位长度后，得到的函数图象与轴只有一个公共点．
16. 定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离．如图，在平面内有一个正方形，边长为，中心为，在正方形外有一点，，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知二次函数的图象经过点．
    求的值．
    求二次函数图象与轴的交点坐标．
18. 本小题分
    一个不透明的袋中装有个白球，个黑球，个红球，每个球除颜色外都相同．
    从中任意摸出一个球，摸到红球是______事件；摸到黄球是事件______；填“不可能”或“必然”或“随机”
    从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率；
    现在再将若干个同样的黑球放入袋中、与原来个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为，请求出后来放入袋中的黑球个数．
19. 本小题分
    如图所示，以▱的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点．
    求证：；
    若，，求阴影部分弓形的面积．

20. 本小题分
    四张卡片上分别标有，，，，它们除数字外没有区别，现将它们放在不透明的盒子里搅拌均匀，任意从盒子里抽取一张卡片，不放回，再任意抽取第二张卡片．
    请用画树状图或列表的方式求出抽取的两张卡片数字和大于等于的概率；
    若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字为一奇一偶，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
21. 本小题分
    杭州某地种植有机蔬菜，已知某种蔬菜的销售单价元与销售月份之间的关系满足，每千克成本元与销售月份之间的关系如图所示，图象为抛物线，其最低点坐标是其中是满足的整数
    问：月份每千克蔬菜成本是多少？
    判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益．

22. 本小题分
    在平面直角坐标系中，设二次函数为实数．
    当，若图象经过点，求该函数的表达式；
    若，
    当时，随着增大而减小，求的取值范围；
    设一次函数，当函数的图象经过点时，求的值．
23. 本小题分
    已知：的两条弦，相交于点，且．
    如图，连接求证：．
    如图，若，点为弧上一点，，交于点，连接、．
    求的度数用含的代数式表示．
    若，，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、购买两张彩票，一定中奖，是随机事件，不符合题意；
B、打开电视，正在播放新闻联播，是随机事件，不符合题意；
C、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；
D、三角形三个内角和为，是必然事件，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

2.【答案】 

【解析】解：二次函数，
二次函数图象的顶点坐标是．
故选：．
根据顶点式可直接写出顶点坐标．
此题主要考查了二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式中，顶点坐标是是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，过圆心点，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：．
根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，本选项说法正确，符合题意；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
C、平分一条弦不是直径的直径一定垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的两条弧相等，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据外心的概念、确定圆的条件、垂径定理的推论、圆心角、弧、弦之间的关系定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，掌握外心的概念、确定圆的条件、垂径定理的推论、圆心角、弧、弦之间的关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线过点，
即时，，
．
故选：．
把点代入即可求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
估计点落入黑色部分的概率为，
估计黑色部分的总面积约为，
故选：．
先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，可估计点落入黑色部分的概率为，再乘以正方形的面积即可得出答案．
本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
，，则，故选项A错误；
该函数图象开口向上，该函数的对称轴为，
时，随的增大而增大，
当时，，故选项B正确；
该函数的对称轴为，
，
化简得，故选项C错误；
图象的对称轴为，且经过点，
图象与轴另一个交点为，
不等式的解集是，故选项D错误；
故选：．
根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数与不等式、二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，
是直径，
，
，
，
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
，
，
中，，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折的性质得到的度数，最后利用三角形内角和可得结论．
本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数图象经过，，，四点，且，
抛物线开口向上，对称轴在和之间，
离对称轴的距离最大，离对称轴距离最小，
最小，最大，
故选：．
根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在和之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
故答案为：．
利用多边形的内角和公式计算出六边形的内角和，然后再除以即可．
此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握多边形内角和公式．
 

12.【答案】 

【解析】解：二次函数与抛物线的交点坐标为，，
对称轴为直线，
故答案为：．
根据抛物线解析式求出抛物线与轴交点即可．
本题考查了二次函数的性质，牢记交点式，求出抛物线与轴交点是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

14.【答案】  

【解析】解：，
外接圆的圆心是点，
，
，
，
弧的长，
故答案为：，．
根据勾股定理和勾股定理的逆定理以及弧长公式即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：和关于对称轴对称，
抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线顶点坐标为，
将抛物线向上平移个单位后抛物线顶点坐标为，此时抛物线与轴只有一个交点，
故答案为：．
由和可得抛物线对称轴，从而求出抛物线解析式，将抛物线解析式配方可得顶点坐标，进而求解．
本题考查二次函数图象的性质，解题关键是掌握二次函数的对称性，掌握二次函数图象平移的规律．
 

16.【答案】 

【解析】解：当时，点到正方形的最长距离取最小值，连接、，如图：

是正方形的中心，，
由对称性可得，
，
，
在中，
，
点到正方形的最长距离，
，
的最小值为，
的取值范围为．
故答案为：．
当时，点到正方形的最长距离取最小值，根据勾股定理即可求出答案．
本题考查正方形性质及应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，找到点到正方形的最长距离取最小值时正方形的位置．
 

17.【答案】解：把代入二次函数解析式得：
，
解得：；
由知，，
令，则，
解得：，，
二次函数图象与轴的交点坐标为和． 

【解析】把代入二次函数解析式即可求得的值；
根据中的值求出函数解析式，令，解方程即可．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

18.【答案】随机  不可能 

【解析】解：在一个不透明的袋中装有个白球、个黑球和个红球，每个球除颜色外都相同，
任意摸出一球，摸到红球是随机事件，摸到黄球是不可能事件．
故答案为：随机，不可能；
，
故摸到黑球的概率是；
设后来放入袋中的黑球的个数是个，依题意有：
，
解得．
答：后来放入袋中的黑球的个数为个．
根据随机事件的定义即可求解；
求出黑球占总数的几分之几即可；
根据概率公式列方程求解即可．
本题考查概率的计算，掌握概率的计算方法是正确解答的前提，理解“摸出一个球是黑球的概率是，就是黑球占总数的，是解决问题的关键．
 

19.【答案】证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
；
解：作于，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由同圆或等圆中相等的圆心角对的弧相等即可证明；
根据弓形的面积等于扇形面积减三角形的面积，即可计算．
本题考查圆的有关知识，关键是掌握：在同圆或等圆中相等的圆心角对的弧相等；正确表示出阴影的面积．
 

20.【答案】解：列表如下：

所有等可能的情况数有种，其中抽取的两张卡片数字和大于等于的有种，
则抽取的两张卡片数字和大于等于的概率是；

列表如下：

所有等可能的情况数有种，其中两张卡片上的数字都为奇数有种，取出的两张卡片上的数字为一奇一偶有种，
则甲胜的概率是，乙胜的概率是，
，
这个游戏不公平． 

【解析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案；
根据列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，根据概率公式求出甲和乙各获胜的概率，再进行比较，即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设每千克成本与销售月份之间的关系式为：，把代入得，
，
解得，
，即，
当时，，
月份每千克蔬菜成本是元；
由可得，每千克蔬菜的收益
，
，
当时，有最大值，，
月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元． 

【解析】利用待定系数法求出每千克成本与销售月份之间的关系式，再令求出的值即可；
列出一年中销售每千克蔬菜的收益与销售月份之间的关系式，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：时，，
将代入得，
解得，
．
，，
抛物线与轴交点坐标为，，
抛物线对称轴为直线，
时，随着增大而减小，
，
解得．
，
函数图象经过，，
函数图象经过，
或，
或． 

【解析】将代入解析式，再通过待定系数法求解．
由抛物线解析式可得抛物线与轴交点坐标，从而可得抛物线对称轴，根据抛物线开口向上求解．
用含代数式表示函数，从而可得抛物线与轴交点，由抛物线经过可得与的数量关系．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

23.【答案】证明：如图，
，
，
即，
，
，
；

解：连接，如图，

弧弧，
，，
，
，
，
，，
，
；

，
，
，
，
，
，
解得，
，
． 

【解析】如图，利用得到，则，根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的判定得到结论；
连接，如图，由弧弧得到，再根据等腰三角形的判定方法得到，则，进而求解；
由得，再利用得到，加上，于是可求出，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．