2022-2023学年上海市奉贤区五四学校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市奉贤区五四学校八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共6小题，共18分）

1. 的有理化因式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在式子、、、中，是最简二次根式的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 关于的方程为一元二次方程，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列一元二次方程中，没有实数解的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 下列命题中，假命题是(    )

A. 对顶角相等 B. 内错角相等
C. 两个全等三角形的面积相等 D. 垂直于同一条直线的两条直线平行

6. 如图，下列推论正确的是(    )
    

A. ， B. ，
C. ， D. ，

二、填空题（本题共12小题，共24分）

7. ______．
8. 如果有意义，那么的取值范围是______．
9. 若两个最简二次根式与是同类二次根式，则______．
10. 化简：______．
11. 不等式的解集是______．
12. 方程的根是______．
13. 已知关于的方程根的判别式的值，则______．
14. 在实数范围内因式分解：______．
15. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为______．
16. 在和中，已知，，要证明≌，所缺的一个条件是______ 填符合条件的一个即可．
17. 把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果，那么”的形式为______．
18. 在锐角中，，分别是，边上的高，且，交于点，若，则的度数是______度．

三、解答题（本题共9小题，共58分）

19. 计算：．
20. 计算：．
21. 解方程：．
22. 用配方法解方程：．
23. 化简并求值：已知，求的值．
24. 如图，点、、、在同一直线上，，，求证：．

25. 已知关于的一元二次方程
    若是方程的一个根，求的值和方程的另一根；
    对于任意实数，判断方程的根的情况，并说明理由．
26. 一种笔记本电脑，原来的售价是元，经过连续两年的降价，今年每台售价为元，每年降价的百分率相同．
    求每年降价的百分率是多少？
    若小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？
27. 已知：如图，，，，，垂足为点，点为的中点．
    求证：；
    求证：≌；
    连接，试判断与的位置关系，并证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的有理数因式是，
故选：．
找出所求有理化因式即可．
此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
，被开方数含分母，不是最简二次根式；
，被开方数不含能开得尽方的因数，也没有分母，是最简二次根式；
，被开方数不含能开得尽方的因式，也没有分母，是最简二次根式；
综上所述，是最简二次根式的个数是个．
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

3.【答案】 

【解析】解：关于的方程为一元二次方程，
，
解得．
故选：．
根据一元二次方程的定义得到由此可以求得的值．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，方程有两个相等的实数根，所以选项错误；
B、，方程有两个不相等的实数根，所以选项错误；
C、，方程没有实数根，所以选项正确；
D、原方程即为，，方程有两个不相等的实数根，所以选项错误．
故选：．
分别计算四个方程的根的判别式，然后根据的意义分别判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

5.【答案】 

【解析】解：、对顶角相等是真命题，
故本选项错误；
B、内错角相等，是假命题，
故本选项正确；
C、两个全等三角形的面积相等是真命题，
故本选项错误；
D、垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，
故本选项错误．
故选：．
本题需先根据每一个命题进行判断，找出其中的假命题即可得出答案．
本题主要考查了命题与定理的有关知识，在解题时要能根据真命题和假命题的定义对每一项进行正确判断，找出其中的假命题是本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，
内错角相等，两直线平行，不符合题意；
B、，
同位角相等，两直线平行，不符合题意；
C、由无法得到，不符合题意；
D、，
同位角相等，两直线平行，符合题意．
故选：．
利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确开平方是解题关键．
将分解为，进而开平方得出即可．
【解答】
解：．  

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求即可．
本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的性质进行解答即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知被开方数一定是非负数是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
故答案为：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

12.【答案】， 

【解析】解：，
，
则，
或，
解得，．
故答案为：，．
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：关于的方程根的判别式的值，
，
解得：，
故答案为：．
根据根的判别式得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：



故答案为：
先配成完全平方式，然后再利用平方差公式进行分解即可．
本题考查了实数范围内分解因式，能够正确配成完全平方式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
则或，
解得或，
当是腰时，三角形的三边分别为、、，，能组成三角形，周长为；
当是腰时，三角形的三边分别为、、，，不能组成三角形，
故答案为：．
利用因式分解法求出的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论求解．
 

16.【答案】 

【解析】
解：，
理由是：在和中

≌，
故答案为：．
添加条件，根据推出两三角形全等即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
 

17.【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 

【解析】

【分析】
本题考查命题的改写．任何一个命题都可以写成“如果那么”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．
命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果那么”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【解答】
解：命题可以改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行”．  

18.【答案】 

【解析】解：，分别是，边上的高，


．
故答案为：．
根据直角三角形的两个锐角互余和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和的性质计算．
本题考查了直角三角形的性质，及三角形的内角和定理及其三角形外角的性质．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】把二次根式化为最简二次根式即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

20.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．
 

21.【答案】解：方程整理得：，
分解因式得：，
解得：，． 

【解析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

22.【答案】解：原方程化为
配方得
即
开方得

，． 

【解析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

23.【答案】解：，
； 

【解析】将的值分子分母同时乘以化简，把所求式子配方变形，将的值代入计算即可得到结果．
此题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：分母有理化，完全平方公式，以及配方法的应用，是一道技巧性较强的试题．
 

24.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据，可得，再利用求证和全等即可．
此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证和全等．
 

25.【答案】解：因为是方程的一个根，
所以，
解得，
方程为，
解得，．
所以方程的另一根为；

，
因为对于任意实数，，
所以，
所以对于任意的实数，
方程有两个不相等的实数根． 

【解析】直接把代入方程即可求得的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；
利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式与的关系进行判断．
本题主要是根据方程的解的定义求得未知系数，把判断一元二次方程的根的情况转化为根据判别式判断式子的值与的大小关系的问题．
 

26.【答案】解：设每年降价的百分率是，根据题意可得：
，
，舍去
答：每年降价的百分率为．
，
答：多付了元． 

【解析】可设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的售价为元，第二次的降价后的售价为元，根据题意可列出方程．
用现价减去原价即可求得结论．
本题属于方程中的增长率问题，关键是会根据增长率列出式子，再找到等量关系列出方程．
 

27.【答案】证明：，是的中点已知，
等腰三角形的三线合一，
垂直的定义．

证明：已知，
垂直的定义．
已知，
等量代换，
已知，
两直线平行，内错角相等，
已知，
等边对等角，
等量代换，
在和中，
≌．

与平行．
证明：设交于点，
≌已证，
，全等三角形对应边相等、对应角相等，
等腰三角形的三线合一，
垂直的定义，
已证，
等量代换，
同位角相等，两直线平行． 

【解析】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
由，是的中点，根据等腰三角形的三线合一，可得，即可证得；
易证，又由，根据等边对等角，证得，即可根据证得≌；
首先设交于点，由≌，即可得，，根据等腰三角形的三线合一，则可证得，则可得，又由同位角相等，两直线平行，证得．