2022-2023学年福建省三明市大田县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省三明市大田县八年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在实数中，最小的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如果影剧院的座位排座用表示，那么表示(    )

A. 排座 B. 排座 C. 排座 D. 排座

5. 下列各组数中，不是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 若面积为的正方形的边长为，则的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧时蜡烛剩余的长度和燃烧时间小时之间的函数关系用图象可以表示为图中的(    )

A.  B.
C.  D.

8. 把直线向下平移个单位长度，得到的直线的表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 直角三角形的一条直角边长是，另一条直角边比斜边短，则斜边长为(    )

A.   B.   C.   D.  

10. 下列表示一次函数与正比例函数、为常数，且图象中，一定不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 一次函数中，的值随值增大而______ 填“增大”或“减小”
12. 已知，则的值是______．
13. 直角三角形的两条直角边为，，则这个直角三角形斜边上的高为______．
14. 在平面直角坐标系中，如果点，，在同一条直线上，则       ．
15. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它渊远流长，趣味浓厚．如图，在某平面直角坐标系中，如果所在位置的坐标为，所在位置的坐标为，那么所在位置的坐标为______．

16. 年月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是，小正方形的面积为，直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，下列四个说法：，，，其中正确的是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
18. 本小题分
    已知：与成正比例，且当时，．
    求与之间的函数表达式；
    当时，的值是多少？
19. 本小题分
    把下列各数填入相应的括号内：，，．，，，，
    无理数：______；
    负实数：______；
    整数：______；
    分数：______．
20. 本小题分
    九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长．

21. 本小题分
    如图，在的方格每小格边长为上沿着网格线运动，规定：向上、向右为正，向下、向左为负．例如：从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
    图中______，______，______，______；
    若运动路线为：，，请在图中标出点，的位置；
    若图中格点处另有，，三点，且，则______，______

22. 本小题分
    如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米．
    问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
    求新路比原路少多少千米？

23. 本小题分
    我们知道，，，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，例如：，．
    分母有理化的结果是______；
    分母有理化的结果是______；
    分母有理化的结果是______；
    利用以上知识计算：．
24. 本小题分
    如图是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图根据图象提供的信息，解答下列问题：
    
    图中折线表示______槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示______槽中水的深度与注水时间之间的关系以上两空填“甲”或“乙”，槽中铁块的高度是______；
    注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同；
    若乙槽底面积为壁厚不计，求乙槽中铁块的体积．
25. 本小题分
    如图，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点．
    
    填空：______，______，______；
    如图，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．
    当点落在轴上时，求点的坐标；
    若为直角三角形，求点的坐标．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据实数的大小得出结论即可．
本题主要考查实数的大小，熟练掌握实数大小的比较方法是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】
解：因为点的横坐标为正，纵坐标为负，
所以点在第四象限
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：的相反数是：．
故选：．
根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为，由此求解即可．
本题考查了相反数的意义，注意只有符号不同的数叫做互为相反数．
 

4.【答案】 

【解析】解：影剧院的座位排座用表示，
那么表示排座．
故选：．
根据题干可知：第一个数字表示排，第二个数字表示座，由此即可解答．
此题主要考查了坐标确定位置，数对表示位置的方法的灵活应用．
 

5.【答案】 

【解析】解：，且，，都是正整数，所以，，是勾股数，此选项不符合题意；
B.，且，，都是正整数，所以，，是勾股数，此选项不符合题意；
C.，所以，，不是勾股数，此选项符合题意；
D.，且，，都是正整数，所以，，是勾股数，此选项不符合题意；
故选：．
根据勾股数的定义求解即可．
本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握三个数必须是正整数，例如：、、满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：，，；，，；，，；
 

6.【答案】 

【解析】解：面积为的正方形的边长为，
，
．
故选：．
先利用正方形的面积求出，再求其范围．
本题考查了估算无理数的大小，正确得出无理数接近的整数是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
根据蜡烛剩余的长度总长度燃烧的长度就可以得出函数的解析式，由题意求出自变量的取值范围就可以得出函数图象．本题考查了一次函数的应用．
【解答】
解：由题意，得
，
，，
，
，
，
，的图象是一条线段，结合选项．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向下平移个单位所得函数的解析式为，
故选：．
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设另一条直角边为，则斜边为，
一条直角边长，
，
解得，
斜边长为．
故选：．
设另一条直角边为，则斜边为，再由勾股定理求出的值，则可得出答案．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、由一次函数的图象可知，，，故，；由正比例函数的图象可知，两结论相矛盾，故本选项错误，符合题意；
B、由一次函数的图象可知，，，故，；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项正确，不符合题意；
C、由一次函数的图象可知，，，故，；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项正确，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知，，，故，；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项正确，不符合题意．
故选A．
根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是正比例函数与一次函数的图象，熟知正比例函数与一次函数的性质是解答此题的关键．
 

11.【答案】减小 

【解析】解：一次函数中，
的值随值增大而减小．
故答案为：减小．
先判断出一次函数中的符号，再根据一次函数的增减性进行解答即可．
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数中，当时，随的增大而增大．当时，随的增大而减小．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据立方根的定义求出的值，进而可得出结论．
本题考查的是立方根，熟知立方根的定义是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，是基础题，利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
利用勾股定理列式求出斜边的长，然后设斜边上的高为，再根据三角形的面积列出方程求解即可．
【解答】
解：由勾股定理得，斜边，
设斜边上的高为，
则三角形的面积，
解得．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：设该直线解析式为，
则，，
解得：，
，
当时，．
故答案为：．
设出直线的解析式，把，代入求得相应的解析式，令函数值为即可求得的值．
本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示：所在位置的坐标为：．
故答案为：．
直接利用已知点坐标进而得出原点位置，进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可知，大正方形边长为，小正方形边长为，
，，
，
，
，
，，
，，
正确的有，
故答案为：．
由题意可知，大正方形边长为，小正方形边长为，则，，再利用完全平方公式求出和的值即可．
本题主要考查了勾股定理，图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
先展开，再合并同类二次根式．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
 

18.【答案】解：设，
把，代入得，
解得，
与之间的函数表达式为；
当时，，
解得． 

【解析】利用待定系数法求正比例函数解析式即可；
利用中解析式计算函数值为所对应的自变量的值即可．
本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：求正比例函数，则需要一组，的值．
 

19.【答案】， ， ， ，．，， 

【解析】解：，，
无理数；
负实数；
整数；
分数．，．
故答案为：，；，；，；，．，．
先求出与的值，再由实数的分类即可解答．
本题考查的是实数，熟知实数的分类是解题的关键．
 

20.【答案】解：设，
，
．
在中，，
，即．
解得：，
即． 

【解析】设，可知，再根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

21.【答案】           

【解析】解：图中，，
故答案为：，，；，；
如图，点、的位置如图；

，
，，
，
故答案为：，．
根据向上、向右为正，向下、向左为负．可得答案；
根据，可得点向右格，再向上格可得点的位置，同理可得点的位置；
令与的横纵坐标相减即可．
本题主要考查了正数和负数的意义，认真理解题目中的规定是解题的关键．
 

22.【答案】解：是，
理由是：在中，
，
，
，
，
所以是从村庄到河边的最近路；
设千米，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：
，
解这个方程，得，
千米
答：新路比原路少千米． 

【解析】根据勾股定理的逆定理解答即可；
根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
 

23.【答案】   

【解析】解：，
故答案为：；
，
故答案为：；
原式
，
故答案为：；
原式

．
仿照已知分母有理化即可；
分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；
仿照已知分母有理化；
先分母有理化，再计算．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
 

24.【答案】乙  甲   

【解析】解：根据题意可知甲槽中的水位逐渐降低，乙槽中的水位逐渐升高；
图中折线表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，槽中铁块的高度是，
故答案为：乙；甲，；
设线段、的解析式分别为：，，
经过点和，经过和
，解得，
，解得，
解析式为，解析式为，
令，解得，
注水分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同；
若乙槽中没有铁块，则乙槽水位上升高度为厘米，
乙槽中铁块体积为立方厘米．
根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；
分别求出两个水槽中与的函数关系式，列方程求解即可；
先求出若乙槽中没有铁块，乙槽水位上升高度，根据多升高的水的体积为铁块体积的，即可求出乙槽中铁块体积．
本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数随的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
 

25.【答案】     

【解析】解：把代入，
，，
直线：，
把代入，
，
把代入，
，
．
故答案为：，，；
直线：，
点的坐标为，
如下图，过点作轴于点，作轴于点，则，，

，
，
，
点的坐标为；
如下图，

当时，由翻折得，
，
，
，
，
点的坐标为；
如下图，

当时，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
点的坐标为，
综上，点的坐标为或．
把代入，求出，得直线：，再把代入，求出，得点的坐标，最后把代入，求出；
过点作轴于点，作轴于点，求出，再求出，可得，即可得答案；
分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点坐标．
此题考查了一次函数，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．