2022-2023学年山东省烟台市牟平区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省烟台市牟平区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省烟台市牟平区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）计算的值(    )A.  B.  C.  D. 已知二次函数在时，取得的最大值为，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 将的各边长都缩小为原来的，则锐角的正弦值(    )A. 缩小为原来的 B. 不变
C. 扩大为原来的倍 D. 缩小为原来的小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有种方法：
向右平移个单位长度
向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
向下平移个单位长度
沿轴翻折，再向上平移个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个用科学计算器求的值，按键顺序正确的是(    )A.
B.
C.
D. 在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限如图，点，，在正方形网格的格点上，则(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，坡角为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为，则大树的高为(    )
A.  B.
C.  D. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表：下列结论不正确的是(    ) A. 抛物线的开口向下
B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线与轴的一个交点坐标为
D. 函数的最大值为根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是(    )
 A.  B.  C.  D. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上点测得最高点的仰角为，再向前至点，又测得最高点的仰角为，点，，在同一直线上，则该建筑物的高度约为(    )
精确到参考数据：，，，
A.  B.  C.  D. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：
；；；；．
其中正确的结论有(    )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）抛物线为常数与轴交点的个数是          ．如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为______．
 如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为______结果精确到．
抛物线的部分图象如图所示，其与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，则当时，的取值范围是______．
 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为______
，结果保留整数．
 小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象他得出下列结论：且；；关于的一元二次方程的两根分别为和；若点，，均在二次函数图象上，则；，其中正确的结论有______填序号，多选、少选、错选都不得分
   三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
如图，在中，，，，求的长．
本小题分
小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．
求抛物线的表达式．
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头水平距离身高的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
 本小题分
小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为时，感觉最舒适如图侧面示意图为图；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图，点、、在同一直线上，，，．

求的长；
如图，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，求点到的距离．结果保留根号本小题分
打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量盒与销售单价元之间的函数图象如图所示．
求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．
本小题分
年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为，两部分，小明同学在点测得雪道的坡度：，在点测得点的俯角若雪道长为，雪道长为．
求该滑雪场的高度；
据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少，且甲设备造雪所用的时间与乙设备造雪所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
本小题分
如图，抛物线是常数的顶点为，与轴交于，两点，，，点为线段上的动点，过作交于点．
求该抛物线的解析式；
求面积的最大值，并求此时点坐标．
 本小题分
如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，顶点为点．
求二次函数的表达式；
连接，，，，如图所示，求证：；
如图，延长交轴于点，平移二次函数的图象，使顶点沿着射线方向平移到点且，得到新抛物线，交轴于点如果在的对称轴和上分别取点，，使以为一边，点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求此时点的坐标．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：

，
故选：．
把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：二次函数，
抛物线的对称轴为，顶点，
当时，，
当时，，
解得或，
当时，的最大值为，
，
故选：．
先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出时，的值，再根据二次函数的性质得出答案．
本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：在中，，设，，，则．
将的各边长都缩小为原来的后得到，，
则，，，
，
锐角的正弦值不变，
故选：．
根据正弦的定义计算，判断即可．
本题考查的是解直角三角形，掌握直角三角形中边角之间的关系：锐角的对边与斜边的比叫做的正弦是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：向右平移个单位长度，则平移后的解析式为，当时，，所以平移后的抛物线过点，故符合题意；
向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为，当时，，所以平移后的抛物线过点，故符合题意；
向下平移个单位长度，则平移后的解析式为，当时，，所以平移后的抛物线过点，故符合题意；
沿轴翻折，再向上平移个单位长度，则平移后的解析式为，当时，，所以平移后的抛物线过点，故符合题意；
故选：．
分别求出平移或翻折后的解析式，将点代入可求解．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求出平移或翻折后的解析式是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：根据科学计算器的按键顺序可知，正确的按键顺序是选项．
故选：．
根据科学计算器按键顺序计算即可．
本题考查计算器的按键顺序，掌握计算器的按键顺序是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：，
该抛物线顶点坐标是，
将其沿轴向下平移个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，
，
，
，
点在第四象限；
故选：．
根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出是解决问题的关键．
过作于，根据勾股定理求出、，利用三角形的面积求出，最后在直角中根据锐角三角函数的意义求解．
【解答】
解：如图，过作于，

由勾股定理得，，，
。
即，
，
在中，
．
故选：．  8.【答案】 【解析】解：过点作水平地面的平行线，交的延长线于，
则，
在中，，，
则，，
在中，，
则，
，
故选：．
过点作水平地面的平行线，交的延长线于，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：把，，分别代入得，
解得，
抛物线解析式为，
，
抛物线开口向下，所以选项不符合题意；
，
抛物线的对称轴为直线，所以选项不符合题意；
当时，有最大值，所以选项不符合题意；
当时，，解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，所以选项符合题意．
故选：．
先利用待定系数法求出抛物线解析式为，根据二次函数的性质，由可对选项进行判断；利用配方法把一般式化为顶点式得到，则根据二次函数的性质可对、选项进行判断；解方程得抛物线与轴的交点坐标，则可对选项进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 10.【答案】 【解析】解：由二次函数图象可知，，
由对称轴，可知，
所以反比例函数的图象在一、三象限，一次函数经过二、三、四象限．
故选：．
先根据二次函数的图象，确定、、的符号，再根据、、的符号判断反比例函数与一次函数的图象经过的象限即可．
本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出、、的取值范围．
 11.【答案】 【解析】解：由题意可知：，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
解得：，
答：该建筑物的高度约为．
故选：．
根据题意得到，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是借助仰角关系结合图形利用三角函数解直角三角形．
 12.【答案】 【解析】解：图象开口向下，
，
对称轴为直线，
，
图象与轴的交点在轴的上方，
，
，
说法正确，
，
，
，
说法错误，
由图象可知时，，根据对称性时，，
，
说法错误，
抛物线与轴有两个交点，
，
，
说法正确；
当时，，
，
，
说法正确，
正确的为，
故选：．
 13.【答案】 【解析】【分析】
根据抛物线与一元二次方程的关系及根的判别式可以求得抛物线为常数与轴交点的个数，本题得以解决．
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用根的判别式解答．
【解答】
解：抛物线为常数，
当时，，
，
有两个不相等的实数根，
抛物线为常数与轴有两个交点，
故答案为：．  14.【答案】 【解析】解：，点为的中点，
，
，，
．
故答案为：．
先由直角三角形斜边上的中线性质得，则，，再由锐角三角函数定义求解即可．
本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：根据图形可知．
，，
在中，，，
．
，，，
，
在中，，，
．
答：的长度约为．
故答案为：．
本题涉及遮阳棚的计算问题，光线是平行光线，所以在直角三角形中，知道一个锐角的度数，一条边的长度，可以运用直角三角形边角的关系解决问题．
考查直角三角形中边角的关系，关键是能正确的选择运用三角函数解决问题．
 16.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与轴的另一个交点．根据抛物线与轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线的图象可知当时，的取值范围．
【解答】
解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
由图象可知，当时，的取值范围是．
故答案为：．  17.【答案】 【解析】解：过点作于点，如图．

则，，，
在中，，
设，则，
，，
在中，
，
解得，
．
故答案为：．
过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 18.【答案】 【解析】解：抛物线的对称轴在轴的左侧，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，正确；
抛物线经过，
，正确．
抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
另一个交点为，
关于的一元二次方程的两根分别为和，正确；
，抛物线开口向下，
，错误．
抛物线与轴的一个交点坐标为，
，
，
，
，错误．
故答案为：．
由抛物线的对称轴的位置以及与轴的交点可判断；由抛物线过点，即可判断；由抛物线的对称性可判断；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断；由对称轴可得，由抛物线过点可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 19.【答案】解：如图，过点作，交的延长线于．
，，
．
在中，，，
，
．
在中，，
，
． 【解析】过点作，交的延长线于，根据三角形外角的性质求出解，求出，，解，求出，那么，即可解题．
本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，根据条件作出辅助线构造直角三角形，求出与的长是解题的关键．
 20.【答案】解：由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，将代入得：
，
解得，
，
答：抛物线的表达式为；
当时，，
解得或，
她与爸爸的水平距离为或，
答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是或． 【解析】由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式为；
当时，，解得或，即得她与爸爸的水平距离为或．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
 21.【答案】解：如图，在中，，．
；
如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得，，
当显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，看可得，
，
，
在中，，
又，
，
即：点到的距离为． 【解析】解即可求出的长；
求出，在中求出，进而求出．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是常用的方法．
 22.【答案】解：设函数解析式为，由题意得：
，
解得：，
，
当时，，
，
与之间的函数关系式为；
设销售利润为元，
，
抛物线开口向下，
，
当时，有最大值，是，
当销售单价定为元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是元． 【解析】可用待定系数法来确定与之间的函数关系式，根据图象可得的取值范围即可；
根据利润销售量单件的利润，然后将中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
本题考查了一次函数的应用，二次函数的最值问题，在本题中，还需注意的是自变量的取值范围．
 23.【答案】解：过作，过过，两直线交于，过作垂直地面交地面于，如图：

根据题知，
，
的坡度：，
：：，
设，则，
，
，
解得，负值已舍去，
  ，
答：该滑雪场的高度为；
设甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
答：甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是． 【解析】过作，过过，两直线交于，过作垂直地面交地面于，根据题知，可得，由的坡度：，设，则，可得，即可得；
设甲种设备每小时的造雪量是，可得：，即方程并检验可得甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是．
本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出分式方程．
 24.【答案】抛物线是常数的顶点为，与轴交于，两点，，，
，
，
解得，
抛物线的解析式为；

过作轴于，过作轴于，

设，则，
，
，
，，
，
∽，
，
，

，即，
，

，
，
当时  有最大值，
面积的最大值为，此时点坐标为． 【解析】根据，求出，把、的坐标代入抛物线，即可求解；
过作轴于，过作轴于，设，则，易证∽，利用相似三角形的性质即可表示出的长，又因为，进而得到面积和的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求出面积最大值．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系．此题综合性较强，中等难度，是一道很好的试题．
 25.【答案】解：由题意得，
，
，
二次函数的表达式为：；
证明：当时，，
，
由得，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
解：如图，

作轴于，作轴于，
，
∽，
，
，，
，
的关系式为：，
由得，
或，
，
当时，，
，
设，
当四边形是平行四边形时，
，，
点的横坐标为，
当时，，
，
当四边形是平行四边形时，
同理可得：点横坐标为：，
当时，，
，
综上所述：点或． 【解析】根据抛物线对称轴和点坐标分别确定和的值，进而求得结果；
根据点，，坐标可得出，，的长，从而推出三角形为直角三角形，进而得出和的正切值相等，从而得出结论；
先得出的顶点，进而得出抛物线的表达式，从而求得和的坐标，点，，，为顶点的四边形是平行四边形分为▱和▱，根据，和点的横坐标可以得出点的横坐标，进而求得结果．
本题考查了求二次函数的表达式，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质和分类等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．