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四川省成都外国语学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)
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这是一份四川省成都外国语学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省成都外国语学校2022-2023学年八年级上学期期中
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）下列四个数中，无理数是（ ）
A． B．0 C．0.12 D．π
2．（4分）对于电影票，如果将“8排4座”记作（8，4），那么“2排5座”记作（ ）
A．（5，2） B．（2，5） C．（﹣2，5） D．（﹣2，﹣5）
3．（4分）若△ABC的三边为下列四组数据，则能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．1、2、2 B．2、3、4 C．6、7、8 D．6、8、10
4．（4分）一根蜡烛原长a厘米，点燃后燃烧时间为t分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，其中是变量的是（ ）
A．a，t，y B．y C．t，y D．a，y
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．±3是27的立方根
B．负数没有平方根，但有立方根
C．25的平方根为5
D．的立方根为3
6．（4分）如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．2
7．（4分）函数y＝3x+1的图象一定经过点（ ）
A．（3，5） B．（﹣2，3） C．（2，7） D．（4，10）
8．（4分）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A．﹣ B．1﹣ C．﹣1﹣ D．﹣1+
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
9．（4分）（1）25的算术平方根是 ；
（2）﹣的相反数是 ．
10．（4分）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为 ．
11．（4分）已知点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴，则m的值为 ．
12．（4分）已知，函数y＝（1﹣m）x﹣2是一次函数，且函数值y随x的值增大而减小，那么m＝ ．
13．（4分）如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5．D是BC边上一点，连接AD，把ABD沿AD翻折，点B恰好落在AC延长线上的点B′处，则CD的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（10分）计算：
（1）﹣12022+×（﹣3）2+（﹣6）÷；
（2）+﹣（）﹣（﹣）2．
15．（10分）解答下列各题：
（1）已知2b+1的平方根为3，3a+2b﹣1的立方根为2，求3a+2b的平方根．
（2）如果最简二次根式与同类二次根式，且+＝0，求x，y的值．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，5），B（﹣5，3），C（﹣3，1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
17．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，AD＝6，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B（a，2）．
（1）求a的值及一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数y＝﹣x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值；
（3）坐标轴上有一点E，使得△BCE为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
一、填空题（本大题共5个小题，共20分）
19．（4分）的整数部分 ，﹣2的小数部分 ．
20．（4分）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 ．
21．（4分）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简﹣|a+b|++|b+c|﹣＝ ．
22．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，把线段AC绕点C旋转得到线段CE，点E恰好落在AB的延长线上，，△BCD的面积是8，则BC的长为 ．
23．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值为 ．
二、解答题（本大题共3小题，共30分）
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△AOB的顶点B在x轴的正半轴上，点A在y轴正半轴上，△AOB的面积为4，且OB＝2OA．
（1）求点B的坐标；
（2）过点A作AB的垂线，点C在直线AB的下方CD垂直y轴于点D，当AC＝AB时，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BC，点E为BC的中点，求点E的坐标．
25．（10分）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
（2）①直接写出式子（+++…+）×（+1）的计算结果 ；
②比大小﹣ ﹣（直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
26．（12分）如图1，在△ABC和△ADB中，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC，∠ADB＝90°，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点；
（3）△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点，∠APB＝120°，AP＝2，BP＝4，请直接写出CP的长．
四川省成都外国语学校2022-2023学年八年级上学期期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）下列四个数中，无理数是（ ）
A． B．0 C．0.12 D．π
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、0.12是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、π是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（4分）对于电影票，如果将“8排4座”记作（8，4），那么“2排5座”记作（ ）
A．（5，2） B．（2，5） C．（﹣2，5） D．（﹣2，﹣5）
【分析】由于将“8排4号”记作（8，4），根据这个规定即可确定2排5表示的点坐标．
【解答】解：∵“8排4号”记作（8，4），
∴2排5号记作（2，5）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了根据坐标确定点的位置，解题的关键是理解题目的规定，知道坐标与位置的对应关系．
3．（4分）若△ABC的三边为下列四组数据，则能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．1、2、2 B．2、3、4 C．6、7、8 D．6、8、10
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵12+22＝5，22＝4，
∴12+22≠22，
∴不能判断△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵32+22＝13，42＝16，
∴32+22≠42，
∴不能判断△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵62+72＝85，82＝64，
∴62+72≠82，
∴不能判断△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵62+82＝100，，102＝100，
∴62+82＝102，
∴能判断△ABC是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．（4分）一根蜡烛原长a厘米，点燃后燃烧时间为t分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，其中是变量的是（ ）
A．a，t，y B．y C．t，y D．a，y
【分析】根据常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答即可．
【解答】解：一根蜡烛原长a厘米，点燃后燃烧时间为t分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，其中是变量的是t，y；
故选：C．
【点评】此题考查的是常量与变量，掌握其定义是解决此题的关键．
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．±3是27的立方根
B．负数没有平方根，但有立方根
C．25的平方根为5
D．的立方根为3
【分析】根据平方根、立方根的定义，即可解答．
【解答】解：A、3是27的立方根，故本选项错误；
B、负数没有平方根，但有立方根，故本选项正确；
C、25的平方根是±5，故本选项错误；
D、27的立方根为3，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义．
6．（4分）如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得．
【解答】解：∵展开后由勾股定理得：AB2＝12+（1+1）2＝5，
∴AB＝．
故选：C．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
7．（4分）函数y＝3x+1的图象一定经过点（ ）
A．（3，5） B．（﹣2，3） C．（2，7） D．（4，10）
【分析】将各点坐标代入一次函数表达式，验证是解本题的关键．
【解答】解：A、把x＝3代入y＝3x+1，解得y＝10，所以图象不经过点（3，5），
B、把x＝﹣2代入y＝3x+1，解得y＝﹣5，所以图象不经过点（﹣2，3），
C、把x＝2代入y＝3x+1，解得y＝7，所以图象经过点（2，7），
D、把x＝4代入y＝3x+1，解得y＝13，所以图象不经过点（4，10）．
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特往，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
8．（4分）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A．﹣ B．1﹣ C．﹣1﹣ D．﹣1+
【分析】先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离＝较大的数﹣较小的数，便可求出1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．
【解答】解：数轴上正方形的对角线长为：＝，由图中可知1和A之间的距离为．
∴点A表示的数是1﹣．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
9．（4分）（1）25的算术平方根是 5 ；
（2）﹣的相反数是 ．
【分析】（1）根据算术平方根的定义进行解答即可；
（2）根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：（1）25的算术平方根是＝5．
故答案为：5；
（2）﹣的相反数是﹣（﹣）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是算术平方根及相反数，熟知算术平方根及相反数的定义是解题的关键．
10．（4分）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为 ．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D由勾股定理可知：AB＝5，根据三角形等面积法S△ABC＝AB•CD＝AC×3＝3，即可求出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
由勾股定理可知：AB＝5，
∴S△ABC＝AB•CD＝AC×3＝3，
∴CD＝，
故答案为．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于中等题型．
11．（4分）已知点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】AB∥x轴，可得A和B的纵坐标相同，即可求出m的值．
【解答】解：∵点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），且直线AB∥x轴，
∴﹣2＝m﹣1
∴m＝﹣1
故答案是：﹣1．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键．
12．（4分）已知，函数y＝（1﹣m）x﹣2是一次函数，且函数值y随x的值增大而减小，那么m＝ ．
【分析】根据一次函数的定义和性质得出1﹣m＜0且m2﹣1＝1，再求出m即可．
【解答】解：∵函数y＝（1﹣m）x﹣2是一次函数，函数值y随x的值增大而减小，
∴1﹣m＜0且m2﹣1＝1，
解得：m＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的定义和性质，注意：①形如y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫一次函数，②已知一次函数y＝kx+b（k≠0），那么当k＜0时，y随x的增大而减小，当k＞0时，y随x的增大而增大．
13．（4分）如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5．D是BC边上一点，连接AD，把ABD沿AD翻折，点B恰好落在AC延长线上的点B′处，则CD的长为 ．
【分析】由翻折可得AD为∠BAC的角平分线，由＝＝求解．
【解答】解：由翻折可得AD为∠BAC的角平分线，
作DE⊥AB于点E，则DE＝DC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝4，
∵S△ABD＝AB•DE，S△ACD＝AC•CD，
∴＝＝＝，
又∵＝，
∴＝，
∴CD＝BC＝×3＝．
故答案为：．
【点评】本题考查翻折问题，解题关键是掌握角平分线的性质，通过添加辅助线求解．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（10分）计算：
（1）﹣12022+×（﹣3）2+（﹣6）÷；
（2）+﹣（）﹣（﹣）2．
【分析】（1）先计算乘方、平方根、立方根，再计算乘除，最后计算加减；
（2）先计算乘方、二次根式，再计算乘法，最后计算加减；
【解答】解：（1）﹣12022+×（﹣3）2+（﹣6）÷
＝﹣1+4×9+6÷2
＝﹣1+36+3
＝38；
（2）+﹣（）﹣（﹣）2
＝2+﹣2+3﹣3
＝5﹣﹣2．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．
15．（10分）解答下列各题：
（1）已知2b+1的平方根为3，3a+2b﹣1的立方根为2，求3a+2b的平方根．
（2）如果最简二次根式与同类二次根式，且+＝0，求x，y的值．
【分析】（1）根据平方根、立方根的定义进行计算即可；
（2）根据同类二次根式的定义求出a的值，再根据算术平方根的非负性求出x、y的值即可．
【解答】解：（1）∵2b+1的平方根为3，
∴2b+1＝9，
解得b＝4，
又∵3a+2b﹣1的立方根为2，
∴3a+2b﹣1＝8，
∵b＝4，
∴a＝，
∴3a+2b＝1+8＝9，
∴9的平方根为＝±3，
即3a+2b的平方根为±3；
（2）∵最简二次根式与同类二次根式，
∴3a+4＝19﹣2a，
解得a＝3，
当a＝3时，+＝0，即+＝0，
∴12﹣3x＝0，y﹣3＝0，
解得x＝4，y＝3，
答：x＝4，y＝3．
【点评】本题考查同类二次根式，平方根、立方根以及算术平方根的非负性，理解同类二次根式，平方根、立方根的定义，掌握算术平方根的非负性是正确解答的前提．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，5），B（﹣5，3），C（﹣3，1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）作点C关于y轴的对称点，再连接BC′，与y轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（0，﹣5），B1（﹣5，﹣3），C1（﹣3，﹣1）；
（2）如图所示，点P即为所求．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是根据轴对称变换的定义和性质得出变换后的对应点．
17．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，AD＝6，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
【分析】根据勾股定理可以求得AC的长，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理可以得到CE的长，然后即可求得四边形ABCD的面积．
【解答】解：连接AC，作CE⊥AD于点E，
∵AB＝3，BC＝4，AB⊥BC，
∴AC＝5，
∵CD＝5，AD＝6，CE⊥AD，
∴AE＝3，∠CEA＝90°，
∴CE＝＝4，
∴四边形ABCD的面积是：＝18，
即四边形ABCD的面积是18．
【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B（a，2）．
（1）求a的值及一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数y＝﹣x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值；
（3）坐标轴上有一点E，使得△BCE为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
【分析】（1）先将点B代入正比例函数解析式，求出a的值，再将点A和点B坐标代入一次函数解析式求解即可；
（2）先求出点C坐标，再将点C坐标代入y＝﹣x﹣m，即可求出m的值；
（3）△BCE为等腰三角形，分情况讨论：当点E在x轴上，设点E坐标为（t，0）；当点E在y轴上，设点E坐标为（0，n），根据BE＝BC，BE＝CE，BC＝CE分别列方程求解即可．
【解答】解：（1）将点B（a，2）代入正比例函数y＝﹣x，
得，
解得a＝﹣3，
∴点B坐标为（﹣3，2），
将点A（﹣2，4），点B（﹣3，2）代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+8；
（2）当y＝2x+8＝0时，x＝﹣4，
∴点C坐标为（﹣4，0），
∵正比例函数y＝﹣x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，
∴将点C（﹣4，0）代入y＝﹣x﹣m，
得＝0，
解得m＝；
（3）△BCE为等腰三角形，分情况讨论：
当点E在x轴上，
设点E坐标为（t，0），
∵B（﹣3，2），C（﹣4，0），
∴BE2＝（t+3）2+（0﹣2）2，
BC2＝（﹣3+4）2+（2﹣0）2＝5，
CE2＝（t+4）2，
当BE＝BC时，
（t+3）2+（0﹣2）2＝5，
解得t＝﹣2或t＝﹣4（不合题意，舍去）；
当BE＝CE时，
（t+3）2+（0﹣2）2＝（t+4）2，
解得t＝﹣；
当BC＝CE时，
（t+4）2＝5，
解得t＝，
当点E在y轴上，
设点E坐标为（0，n），
∵BE2＝32+（n﹣2）2，
BC2＝5，
CE2＝42+n2，
当BE＝BC时，
32+（n﹣2）2＝5，
n无解，
当BE＝CE时，
32+（n﹣2）2＝42+n2，
解得n＝，
当BC＝CE时，
42+n2＝5，
n无解，
综上所述，满足条件的点E坐标为（﹣2，0）或（﹣，0）或（﹣4+，0）或（﹣4﹣，0）或（0，）．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数与平移，等腰三角形的判定等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，共20分）
19．（4分）的整数部分 3 ，﹣2的小数部分 ﹣4 ．
【分析】先利用算术平方根确定、的范围，再确定、﹣4的整数部分、小数部分．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4．
∴的整数部分是3．
∵＜＜，
∴4＜＜5．
∴4﹣2＜﹣2＜5﹣2，即2＜﹣2＜3．
∴﹣2的小数部分是﹣4．
故答案为：3，﹣4．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，掌握算术平方根的求法及不等式的性质是解决本题的关键．
20．（4分）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 x＝1 ．
【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P（1，2），
∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
21．（4分）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简﹣|a+b|++|b+c|﹣＝ b+2c﹣a ．
【分析】利用数轴知识分析a、b、c的取值，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义计算即可．
【解答】解：由图可知a＜0，b＜0，c＞0，|a|＞|c|，|a|＞|b|，|c|＞|b|，
∴﹣|a+b|++|b+c|﹣
＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+（b+c）﹣b
＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c﹣b
＝b+2c﹣a．
故答案为：b+2c﹣a．
【点评】本题考查了实数的运算，数轴的知识，解题的关键是掌握数轴的知识，绝对值的定义，立方根的定义．
22．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，把线段AC绕点C旋转得到线段CE，点E恰好落在AB的延长线上，，△BCD的面积是8，则BC的长为 2 ．
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，通过证明△BFC≌△CDB，得到BF＝CD，BD＝CF；设CD＝a，则BF＝2a，利用等腰三角形的性质和勾股定理得到BD＝4a，利用三角形的面积公式求得a值，再利用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，如图，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
在△BFC和△CDB中，
，
∴△BFC≌△CDB（AAS），
∴BF＝CD，BD＝CF．
∵BE＝CD，
∴BE＝BF．
设BE＝a，则BF＝2a，
∴EF＝3a．
∵AC＝CE，CF⊥AB，
∴AF＝EF＝3a，
∴AB＝5a，
∴AC＝5a．
∴AD＝AC﹣CD＝3a．
∴BD＝＝4a．
∵△BCD的面积是8，
∴BD•CD＝8．
∴4a•2a＝8，
∵a＞0，
∴a＝．
∴BD＝4，CD＝2，
∴BC＝＝2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，过点C作CF⊥AB于点F，构造全等三角形是解题的关键．
23．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值为 ．
【分析】以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由“SAS”可证△AEP≌△ADB，可得∠AEP＝∠ADB＝120°，进而可得点P在直线EF上运动，根据垂线段最短可得出答案．
【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F，
∴∠AED＝60°，
∴AO＝OE＝3，
∴OE＝，
∵△ADE和△ABP是等边三角形，
∴AB＝AP，AD＝AE，∠BAP＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠PAE，
在△ADB和△AEP中，
，
∴△AEP≌△ADB（SAS），
∴∠AEP＝∠ADB＝120°，
∴∠OEF＝60°，
∴OF＝OE＝3，∠OFE＝30°，
∴点P在直线EF上运动，
当OP⊥EF时，OP最小，
∴OP＝OF＝，
则OP的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
二、解答题（本大题共3小题，共30分）
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△AOB的顶点B在x轴的正半轴上，点A在y轴正半轴上，△AOB的面积为4，且OB＝2OA．
（1）求点B的坐标；
（2）过点A作AB的垂线，点C在直线AB的下方CD垂直y轴于点D，当AC＝AB时，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BC，点E为BC的中点，求点E的坐标．
【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可；
（2）利用AAS证明△ACD≌△ABO，根据全等三角形的性质求解即可；
（3）连接DE并延长交OB于点F，利用AAS证明△CDE≌△BFE，根据全等三角形的性质得出CD＝BF，DE＝FE，OF＝OB﹣BF＝2＝OD，连接OE，过点E作EH⊥OB于点H，过点E作EK⊥OD于点K，证明△ODE≌△OFE，△OEH≌△FEH，△OKE≌△OHE，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质、点的坐标求解即可．
【解答】解：（1）∵OB＝2OA，S△AOB＝OB•OA＝4，
∴×2OA•OA＝4，
∴OA＝2或OA＝﹣2（舍去），
∴OB＝2OA＝4，
∴B（4，0）；
（2）∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，∠CAD+∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝∠CAD，
∵CD垂直y轴，
∴∠ADC＝90°＝∠AOB，
又AC＝AB，
∴△ACD≌△ABO（AAS），
∴AD＝OB＝4，CD＝OA＝2，
∴OD＝AD﹣OA＝4﹣2＝2，
∴C（﹣2，﹣2）；
（3）连接DE并延长交OB于点F，
∵∠CDA＝∠BOD＝90°，
∴OB∥CD，
∴∠DCE＝∠FBE，∠CDE＝∠BFE，
∵点E为BC的中点，
∴CE＝BE，
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴CD＝BF，DE＝FE，
∵CD＝OA＝2，
∴BF＝CD＝2，
∴OF＝OB﹣BF＝2＝OD，
连接OE，
∴△ODE≌△OFE（SSS），
∴∠OED＝∠OEF＝90°，∠DOE＝∠FOE＝45°，
∴∠OFE＝45°＝∠FOE，
∴OE＝FE，
过点E作EH⊥OB于点H，过点E作EK⊥OD于点K，
∴∠OHE＝∠OEF＝90°，
∴△OEH≌△FEH（HL），
∴OH＝FH＝1，
∵∠KOE＝∠HOE＝45°，∠OKE＝∠OHE＝90°，OE＝OE，
∴△OKE≌△OHE（AAS），
∴OK＝OH＝1，
∴E（1，﹣1）．
【点评】此题是三角形综合题，考查了三角形面积、全等三角形的判定与性质、点的坐标、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、点的坐标、直角三角形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
25．（10分）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与 3+ 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
（2）①直接写出式子（+++…+）×（+1）的计算结果 2018 ；
②比大小﹣ ＜ ﹣（直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义和分母有理化求解；
（2）①先分母有理化，然后把括号内合并后利用平方差公式计算；
②由于﹣＝，﹣＝，然后比较与的大小即可；
（3）先分母有理化，再移项、合并得到（1﹣a）+（a+b﹣2）×＝0，然后利用实数的性质得到1﹣a＝0，a+b﹣2＝0，最后解方程组即可．
【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，
＝＝；
故答案为：3+，；
（2）①原式＝（﹣1+﹣+﹣+•••+﹣）×（+1）
＝（﹣1）×（+1）
＝2019﹣1
＝2018；
故答案为：2018；
②∵﹣＝，﹣＝，
而＞，
∴＜，
即﹣＜﹣；
故答案为：＜；
（3）∵，
∴a（﹣1）+b＝﹣1+2，
∴（1﹣a）+（a+b﹣2）×＝0，
∵a、b为有理数，
∴1﹣a＝0，a+b﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
26．（12分）如图1，在△ABC和△ADB中，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC，∠ADB＝90°，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点；
（3）△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点，∠APB＝120°，AP＝2，BP＝4，请直接写出CP的长．
【分析】（1）根据SAS可证明△ABD≌△ACE；
（2）连接AF，证出AF⊥BC，由等腰三角形的性质可得出结论；
（3）分两种情况，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠DAB+∠BAE，∠BAC＝∠EAC+∠BAE，∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）证明：连接AF，如图2所示：
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴∠ADE＝∠AED，∠ABC＝∠C，
∵∠DAE＝∠BAC，∠DAE+2∠ADE＝180°，∠BAC+2∠ABC＝180°，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴A、D、B、F四点共圆，
∴∠BFA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣90°＝90°，
∴AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝CF，
∴点F是BC中点；
（3）解：分两种情况：
①点P在△ABC内部时，作AM＝AP，且∠MAP＝120°，连接MP、BM，作AN⊥MP于N，如图3所示：
则∠APM＝∠AMP＝（180°﹣120°）＝30°，PN＝MN，
∴AN＝AP＝1，PN＝AN＝，
∴MP＝2PN＝2，
∵∠APB＝120°，
∴∠BPM＝120°﹣30°＝90°，
同（1）得：△ABM≌△ACP（SAS），
∴BM＝CP，
在Rt△BMP中，由勾股定理得：BM＝＝2，
∴CP＝BM＝2；
②点P在△ABC外部时，作AM＝AP，且∠MAP＝120°，连接MP、BM，作ME⊥BP于E，如图4所示：
由①得：∠APM＝30°，MP＝2，
∵∠APB＝120°，
∴∠EPM＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∵ME⊥BP，
∴EM＝MP＝，PE＝EM＝3，
∴BE＝BP+PE＝7，
∴BM＝＝＝2，
同（1）得：△ABM≌△ACP（SAS），
∴BM＝CP，
∴CP＝BM＝2．
综上所述，CP的长为2或2．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
四川省成都外国语学校2022-2023学年八年级上学期期中
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）下列四个数中，无理数是（ ）
A． B．0 C．0.12 D．π
2．（4分）对于电影票，如果将“8排4座”记作（8，4），那么“2排5座”记作（ ）
A．（5，2） B．（2，5） C．（﹣2，5） D．（﹣2，﹣5）
3．（4分）若△ABC的三边为下列四组数据，则能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．1、2、2 B．2、3、4 C．6、7、8 D．6、8、10
4．（4分）一根蜡烛原长a厘米，点燃后燃烧时间为t分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，其中是变量的是（ ）
A．a，t，y B．y C．t，y D．a，y
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．±3是27的立方根
B．负数没有平方根，但有立方根
C．25的平方根为5
D．的立方根为3
6．（4分）如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．2
7．（4分）函数y＝3x+1的图象一定经过点（ ）
A．（3，5） B．（﹣2，3） C．（2，7） D．（4，10）
8．（4分）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A．﹣ B．1﹣ C．﹣1﹣ D．﹣1+
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
9．（4分）（1）25的算术平方根是 ；
（2）﹣的相反数是 ．
10．（4分）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为 ．
11．（4分）已知点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴，则m的值为 ．
12．（4分）已知，函数y＝（1﹣m）x﹣2是一次函数，且函数值y随x的值增大而减小，那么m＝ ．
13．（4分）如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5．D是BC边上一点，连接AD，把ABD沿AD翻折，点B恰好落在AC延长线上的点B′处，则CD的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（10分）计算：
（1）﹣12022+×（﹣3）2+（﹣6）÷；
（2）+﹣（）﹣（﹣）2．
15．（10分）解答下列各题：
（1）已知2b+1的平方根为3，3a+2b﹣1的立方根为2，求3a+2b的平方根．
（2）如果最简二次根式与同类二次根式，且+＝0，求x，y的值．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，5），B（﹣5，3），C（﹣3，1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
17．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，AD＝6，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B（a，2）．
（1）求a的值及一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数y＝﹣x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值；
（3）坐标轴上有一点E，使得△BCE为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
一、填空题（本大题共5个小题，共20分）
19．（4分）的整数部分 ，﹣2的小数部分 ．
20．（4分）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 ．
21．（4分）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简﹣|a+b|++|b+c|﹣＝ ．
22．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，把线段AC绕点C旋转得到线段CE，点E恰好落在AB的延长线上，，△BCD的面积是8，则BC的长为 ．
23．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值为 ．
二、解答题（本大题共3小题，共30分）
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△AOB的顶点B在x轴的正半轴上，点A在y轴正半轴上，△AOB的面积为4，且OB＝2OA．
（1）求点B的坐标；
（2）过点A作AB的垂线，点C在直线AB的下方CD垂直y轴于点D，当AC＝AB时，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BC，点E为BC的中点，求点E的坐标．
25．（10分）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
（2）①直接写出式子（+++…+）×（+1）的计算结果 ；
②比大小﹣ ﹣（直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
26．（12分）如图1，在△ABC和△ADB中，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC，∠ADB＝90°，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点；
（3）△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点，∠APB＝120°，AP＝2，BP＝4，请直接写出CP的长．
四川省成都外国语学校2022-2023学年八年级上学期期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）下列四个数中，无理数是（ ）
A． B．0 C．0.12 D．π
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、0.12是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、π是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（4分）对于电影票，如果将“8排4座”记作（8，4），那么“2排5座”记作（ ）
A．（5，2） B．（2，5） C．（﹣2，5） D．（﹣2，﹣5）
【分析】由于将“8排4号”记作（8，4），根据这个规定即可确定2排5表示的点坐标．
【解答】解：∵“8排4号”记作（8，4），
∴2排5号记作（2，5）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了根据坐标确定点的位置，解题的关键是理解题目的规定，知道坐标与位置的对应关系．
3．（4分）若△ABC的三边为下列四组数据，则能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．1、2、2 B．2、3、4 C．6、7、8 D．6、8、10
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵12+22＝5，22＝4，
∴12+22≠22，
∴不能判断△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵32+22＝13，42＝16，
∴32+22≠42，
∴不能判断△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵62+72＝85，82＝64，
∴62+72≠82，
∴不能判断△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵62+82＝100，，102＝100，
∴62+82＝102，
∴能判断△ABC是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．（4分）一根蜡烛原长a厘米，点燃后燃烧时间为t分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，其中是变量的是（ ）
A．a，t，y B．y C．t，y D．a，y
【分析】根据常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答即可．
【解答】解：一根蜡烛原长a厘米，点燃后燃烧时间为t分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，其中是变量的是t，y；
故选：C．
【点评】此题考查的是常量与变量，掌握其定义是解决此题的关键．
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．±3是27的立方根
B．负数没有平方根，但有立方根
C．25的平方根为5
D．的立方根为3
【分析】根据平方根、立方根的定义，即可解答．
【解答】解：A、3是27的立方根，故本选项错误；
B、负数没有平方根，但有立方根，故本选项正确；
C、25的平方根是±5，故本选项错误；
D、27的立方根为3，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义．
6．（4分）如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得．
【解答】解：∵展开后由勾股定理得：AB2＝12+（1+1）2＝5，
∴AB＝．
故选：C．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
7．（4分）函数y＝3x+1的图象一定经过点（ ）
A．（3，5） B．（﹣2，3） C．（2，7） D．（4，10）
【分析】将各点坐标代入一次函数表达式，验证是解本题的关键．
【解答】解：A、把x＝3代入y＝3x+1，解得y＝10，所以图象不经过点（3，5），
B、把x＝﹣2代入y＝3x+1，解得y＝﹣5，所以图象不经过点（﹣2，3），
C、把x＝2代入y＝3x+1，解得y＝7，所以图象经过点（2，7），
D、把x＝4代入y＝3x+1，解得y＝13，所以图象不经过点（4，10）．
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特往，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
8．（4分）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A．﹣ B．1﹣ C．﹣1﹣ D．﹣1+
【分析】先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离＝较大的数﹣较小的数，便可求出1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．
【解答】解：数轴上正方形的对角线长为：＝，由图中可知1和A之间的距离为．
∴点A表示的数是1﹣．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
9．（4分）（1）25的算术平方根是 5 ；
（2）﹣的相反数是 ．
【分析】（1）根据算术平方根的定义进行解答即可；
（2）根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：（1）25的算术平方根是＝5．
故答案为：5；
（2）﹣的相反数是﹣（﹣）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是算术平方根及相反数，熟知算术平方根及相反数的定义是解题的关键．
10．（4分）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为 ．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D由勾股定理可知：AB＝5，根据三角形等面积法S△ABC＝AB•CD＝AC×3＝3，即可求出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
由勾股定理可知：AB＝5，
∴S△ABC＝AB•CD＝AC×3＝3，
∴CD＝，
故答案为．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于中等题型．
11．（4分）已知点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】AB∥x轴，可得A和B的纵坐标相同，即可求出m的值．
【解答】解：∵点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），且直线AB∥x轴，
∴﹣2＝m﹣1
∴m＝﹣1
故答案是：﹣1．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键．
12．（4分）已知，函数y＝（1﹣m）x﹣2是一次函数，且函数值y随x的值增大而减小，那么m＝ ．
【分析】根据一次函数的定义和性质得出1﹣m＜0且m2﹣1＝1，再求出m即可．
【解答】解：∵函数y＝（1﹣m）x﹣2是一次函数，函数值y随x的值增大而减小，
∴1﹣m＜0且m2﹣1＝1，
解得：m＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的定义和性质，注意：①形如y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫一次函数，②已知一次函数y＝kx+b（k≠0），那么当k＜0时，y随x的增大而减小，当k＞0时，y随x的增大而增大．
13．（4分）如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5．D是BC边上一点，连接AD，把ABD沿AD翻折，点B恰好落在AC延长线上的点B′处，则CD的长为 ．
【分析】由翻折可得AD为∠BAC的角平分线，由＝＝求解．
【解答】解：由翻折可得AD为∠BAC的角平分线，
作DE⊥AB于点E，则DE＝DC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝4，
∵S△ABD＝AB•DE，S△ACD＝AC•CD，
∴＝＝＝，
又∵＝，
∴＝，
∴CD＝BC＝×3＝．
故答案为：．
【点评】本题考查翻折问题，解题关键是掌握角平分线的性质，通过添加辅助线求解．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（10分）计算：
（1）﹣12022+×（﹣3）2+（﹣6）÷；
（2）+﹣（）﹣（﹣）2．
【分析】（1）先计算乘方、平方根、立方根，再计算乘除，最后计算加减；
（2）先计算乘方、二次根式，再计算乘法，最后计算加减；
【解答】解：（1）﹣12022+×（﹣3）2+（﹣6）÷
＝﹣1+4×9+6÷2
＝﹣1+36+3
＝38；
（2）+﹣（）﹣（﹣）2
＝2+﹣2+3﹣3
＝5﹣﹣2．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．
15．（10分）解答下列各题：
（1）已知2b+1的平方根为3，3a+2b﹣1的立方根为2，求3a+2b的平方根．
（2）如果最简二次根式与同类二次根式，且+＝0，求x，y的值．
【分析】（1）根据平方根、立方根的定义进行计算即可；
（2）根据同类二次根式的定义求出a的值，再根据算术平方根的非负性求出x、y的值即可．
【解答】解：（1）∵2b+1的平方根为3，
∴2b+1＝9，
解得b＝4，
又∵3a+2b﹣1的立方根为2，
∴3a+2b﹣1＝8，
∵b＝4，
∴a＝，
∴3a+2b＝1+8＝9，
∴9的平方根为＝±3，
即3a+2b的平方根为±3；
（2）∵最简二次根式与同类二次根式，
∴3a+4＝19﹣2a，
解得a＝3，
当a＝3时，+＝0，即+＝0，
∴12﹣3x＝0，y﹣3＝0，
解得x＝4，y＝3，
答：x＝4，y＝3．
【点评】本题考查同类二次根式，平方根、立方根以及算术平方根的非负性，理解同类二次根式，平方根、立方根的定义，掌握算术平方根的非负性是正确解答的前提．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，5），B（﹣5，3），C（﹣3，1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）作点C关于y轴的对称点，再连接BC′，与y轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（0，﹣5），B1（﹣5，﹣3），C1（﹣3，﹣1）；
（2）如图所示，点P即为所求．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是根据轴对称变换的定义和性质得出变换后的对应点．
17．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，AD＝6，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
【分析】根据勾股定理可以求得AC的长，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理可以得到CE的长，然后即可求得四边形ABCD的面积．
【解答】解：连接AC，作CE⊥AD于点E，
∵AB＝3，BC＝4，AB⊥BC，
∴AC＝5，
∵CD＝5，AD＝6，CE⊥AD，
∴AE＝3，∠CEA＝90°，
∴CE＝＝4，
∴四边形ABCD的面积是：＝18，
即四边形ABCD的面积是18．
【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B（a，2）．
（1）求a的值及一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数y＝﹣x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值；
（3）坐标轴上有一点E，使得△BCE为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
【分析】（1）先将点B代入正比例函数解析式，求出a的值，再将点A和点B坐标代入一次函数解析式求解即可；
（2）先求出点C坐标，再将点C坐标代入y＝﹣x﹣m，即可求出m的值；
（3）△BCE为等腰三角形，分情况讨论：当点E在x轴上，设点E坐标为（t，0）；当点E在y轴上，设点E坐标为（0，n），根据BE＝BC，BE＝CE，BC＝CE分别列方程求解即可．
【解答】解：（1）将点B（a，2）代入正比例函数y＝﹣x，
得，
解得a＝﹣3，
∴点B坐标为（﹣3，2），
将点A（﹣2，4），点B（﹣3，2）代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+8；
（2）当y＝2x+8＝0时，x＝﹣4，
∴点C坐标为（﹣4，0），
∵正比例函数y＝﹣x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，
∴将点C（﹣4，0）代入y＝﹣x﹣m，
得＝0，
解得m＝；
（3）△BCE为等腰三角形，分情况讨论：
当点E在x轴上，
设点E坐标为（t，0），
∵B（﹣3，2），C（﹣4，0），
∴BE2＝（t+3）2+（0﹣2）2，
BC2＝（﹣3+4）2+（2﹣0）2＝5，
CE2＝（t+4）2，
当BE＝BC时，
（t+3）2+（0﹣2）2＝5，
解得t＝﹣2或t＝﹣4（不合题意，舍去）；
当BE＝CE时，
（t+3）2+（0﹣2）2＝（t+4）2，
解得t＝﹣；
当BC＝CE时，
（t+4）2＝5，
解得t＝，
当点E在y轴上，
设点E坐标为（0，n），
∵BE2＝32+（n﹣2）2，
BC2＝5，
CE2＝42+n2，
当BE＝BC时，
32+（n﹣2）2＝5，
n无解，
当BE＝CE时，
32+（n﹣2）2＝42+n2，
解得n＝，
当BC＝CE时，
42+n2＝5，
n无解，
综上所述，满足条件的点E坐标为（﹣2，0）或（﹣，0）或（﹣4+，0）或（﹣4﹣，0）或（0，）．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数与平移，等腰三角形的判定等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，共20分）
19．（4分）的整数部分 3 ，﹣2的小数部分 ﹣4 ．
【分析】先利用算术平方根确定、的范围，再确定、﹣4的整数部分、小数部分．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4．
∴的整数部分是3．
∵＜＜，
∴4＜＜5．
∴4﹣2＜﹣2＜5﹣2，即2＜﹣2＜3．
∴﹣2的小数部分是﹣4．
故答案为：3，﹣4．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，掌握算术平方根的求法及不等式的性质是解决本题的关键．
20．（4分）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 x＝1 ．
【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P（1，2），
∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
21．（4分）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简﹣|a+b|++|b+c|﹣＝ b+2c﹣a ．
【分析】利用数轴知识分析a、b、c的取值，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义计算即可．
【解答】解：由图可知a＜0，b＜0，c＞0，|a|＞|c|，|a|＞|b|，|c|＞|b|，
∴﹣|a+b|++|b+c|﹣
＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+（b+c）﹣b
＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c﹣b
＝b+2c﹣a．
故答案为：b+2c﹣a．
【点评】本题考查了实数的运算，数轴的知识，解题的关键是掌握数轴的知识，绝对值的定义，立方根的定义．
22．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，把线段AC绕点C旋转得到线段CE，点E恰好落在AB的延长线上，，△BCD的面积是8，则BC的长为 2 ．
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，通过证明△BFC≌△CDB，得到BF＝CD，BD＝CF；设CD＝a，则BF＝2a，利用等腰三角形的性质和勾股定理得到BD＝4a，利用三角形的面积公式求得a值，再利用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，如图，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
在△BFC和△CDB中，
，
∴△BFC≌△CDB（AAS），
∴BF＝CD，BD＝CF．
∵BE＝CD，
∴BE＝BF．
设BE＝a，则BF＝2a，
∴EF＝3a．
∵AC＝CE，CF⊥AB，
∴AF＝EF＝3a，
∴AB＝5a，
∴AC＝5a．
∴AD＝AC﹣CD＝3a．
∴BD＝＝4a．
∵△BCD的面积是8，
∴BD•CD＝8．
∴4a•2a＝8，
∵a＞0，
∴a＝．
∴BD＝4，CD＝2，
∴BC＝＝2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，过点C作CF⊥AB于点F，构造全等三角形是解题的关键．
23．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值为 ．
【分析】以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由“SAS”可证△AEP≌△ADB，可得∠AEP＝∠ADB＝120°，进而可得点P在直线EF上运动，根据垂线段最短可得出答案．
【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F，
∴∠AED＝60°，
∴AO＝OE＝3，
∴OE＝，
∵△ADE和△ABP是等边三角形，
∴AB＝AP，AD＝AE，∠BAP＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠PAE，
在△ADB和△AEP中，
，
∴△AEP≌△ADB（SAS），
∴∠AEP＝∠ADB＝120°，
∴∠OEF＝60°，
∴OF＝OE＝3，∠OFE＝30°，
∴点P在直线EF上运动，
当OP⊥EF时，OP最小，
∴OP＝OF＝，
则OP的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
二、解答题（本大题共3小题，共30分）
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△AOB的顶点B在x轴的正半轴上，点A在y轴正半轴上，△AOB的面积为4，且OB＝2OA．
（1）求点B的坐标；
（2）过点A作AB的垂线，点C在直线AB的下方CD垂直y轴于点D，当AC＝AB时，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BC，点E为BC的中点，求点E的坐标．
【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可；
（2）利用AAS证明△ACD≌△ABO，根据全等三角形的性质求解即可；
（3）连接DE并延长交OB于点F，利用AAS证明△CDE≌△BFE，根据全等三角形的性质得出CD＝BF，DE＝FE，OF＝OB﹣BF＝2＝OD，连接OE，过点E作EH⊥OB于点H，过点E作EK⊥OD于点K，证明△ODE≌△OFE，△OEH≌△FEH，△OKE≌△OHE，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质、点的坐标求解即可．
【解答】解：（1）∵OB＝2OA，S△AOB＝OB•OA＝4，
∴×2OA•OA＝4，
∴OA＝2或OA＝﹣2（舍去），
∴OB＝2OA＝4，
∴B（4，0）；
（2）∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，∠CAD+∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝∠CAD，
∵CD垂直y轴，
∴∠ADC＝90°＝∠AOB，
又AC＝AB，
∴△ACD≌△ABO（AAS），
∴AD＝OB＝4，CD＝OA＝2，
∴OD＝AD﹣OA＝4﹣2＝2，
∴C（﹣2，﹣2）；
（3）连接DE并延长交OB于点F，
∵∠CDA＝∠BOD＝90°，
∴OB∥CD，
∴∠DCE＝∠FBE，∠CDE＝∠BFE，
∵点E为BC的中点，
∴CE＝BE，
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴CD＝BF，DE＝FE，
∵CD＝OA＝2，
∴BF＝CD＝2，
∴OF＝OB﹣BF＝2＝OD，
连接OE，
∴△ODE≌△OFE（SSS），
∴∠OED＝∠OEF＝90°，∠DOE＝∠FOE＝45°，
∴∠OFE＝45°＝∠FOE，
∴OE＝FE，
过点E作EH⊥OB于点H，过点E作EK⊥OD于点K，
∴∠OHE＝∠OEF＝90°，
∴△OEH≌△FEH（HL），
∴OH＝FH＝1，
∵∠KOE＝∠HOE＝45°，∠OKE＝∠OHE＝90°，OE＝OE，
∴△OKE≌△OHE（AAS），
∴OK＝OH＝1，
∴E（1，﹣1）．
【点评】此题是三角形综合题，考查了三角形面积、全等三角形的判定与性质、点的坐标、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、点的坐标、直角三角形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
25．（10分）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与 3+ 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
（2）①直接写出式子（+++…+）×（+1）的计算结果 2018 ；
②比大小﹣ ＜ ﹣（直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义和分母有理化求解；
（2）①先分母有理化，然后把括号内合并后利用平方差公式计算；
②由于﹣＝，﹣＝，然后比较与的大小即可；
（3）先分母有理化，再移项、合并得到（1﹣a）+（a+b﹣2）×＝0，然后利用实数的性质得到1﹣a＝0，a+b﹣2＝0，最后解方程组即可．
【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，
＝＝；
故答案为：3+，；
（2）①原式＝（﹣1+﹣+﹣+•••+﹣）×（+1）
＝（﹣1）×（+1）
＝2019﹣1
＝2018；
故答案为：2018；
②∵﹣＝，﹣＝，
而＞，
∴＜，
即﹣＜﹣；
故答案为：＜；
（3）∵，
∴a（﹣1）+b＝﹣1+2，
∴（1﹣a）+（a+b﹣2）×＝0，
∵a、b为有理数，
∴1﹣a＝0，a+b﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
26．（12分）如图1，在△ABC和△ADB中，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC，∠ADB＝90°，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点；
（3）△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点，∠APB＝120°，AP＝2，BP＝4，请直接写出CP的长．
【分析】（1）根据SAS可证明△ABD≌△ACE；
（2）连接AF，证出AF⊥BC，由等腰三角形的性质可得出结论；
（3）分两种情况，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠DAB+∠BAE，∠BAC＝∠EAC+∠BAE，∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）证明：连接AF，如图2所示：
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴∠ADE＝∠AED，∠ABC＝∠C，
∵∠DAE＝∠BAC，∠DAE+2∠ADE＝180°，∠BAC+2∠ABC＝180°，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴A、D、B、F四点共圆，
∴∠BFA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣90°＝90°，
∴AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝CF，
∴点F是BC中点；
（3）解：分两种情况：
①点P在△ABC内部时，作AM＝AP，且∠MAP＝120°，连接MP、BM，作AN⊥MP于N，如图3所示：
则∠APM＝∠AMP＝（180°﹣120°）＝30°，PN＝MN，
∴AN＝AP＝1，PN＝AN＝，
∴MP＝2PN＝2，
∵∠APB＝120°，
∴∠BPM＝120°﹣30°＝90°，
同（1）得：△ABM≌△ACP（SAS），
∴BM＝CP，
在Rt△BMP中，由勾股定理得：BM＝＝2，
∴CP＝BM＝2；
②点P在△ABC外部时，作AM＝AP，且∠MAP＝120°，连接MP、BM，作ME⊥BP于E，如图4所示：
由①得：∠APM＝30°，MP＝2，
∵∠APB＝120°，
∴∠EPM＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∵ME⊥BP，
∴EM＝MP＝，PE＝EM＝3，
∴BE＝BP+PE＝7，
∴BM＝＝＝2，
同（1）得：△ABM≌△ACP（SAS），
∴BM＝CP，
∴CP＝BM＝2．
综上所述，CP的长为2或2．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
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