圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)

这是一份圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)，共13页。
1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。
2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；
3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。
【热点透析】
与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：
① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题；
（6）构造一个二次方程，利用判别式0。
2.解题时所使用的数学思想方法。
（1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。
（2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。
（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。
（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。
【题型分析】
1. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线的顶点在原点，准线与双曲线的左准线重合，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．C．D．
解：由已知可得抛物线的准线为直线，∴ 方程为；
由双曲线可知，∴ ，∴ ，∴ ，．
2．椭圆（）的两个焦点分别为、，以、为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为 （ B ）
A． B． C． D．
解析：设点为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，
由平面几何知识可得，
所以由椭圆的定义及得：
，故选B．
变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率．
3. （09浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( )
A． B． C． D．
【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，，
因此．答案：C
4. （09江西理）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D．
【解析】因为，再由有从而可得，故选B
5.（08陕西理）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A．B．C．D．
6.（08浙江理）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（D）
（A）3 （B）5 （C） （D）
7.（08全国一理）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
8.（10辽宁文）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，
则一个焦点为 一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，，
，解得.
9.（10全国卷1理）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且＝2，则C的离心率为________．
解析：答案：eq \f(\r(3),3)
如图，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)不妨设B为上顶点，F为右焦点，设D(x，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
即，解得，D(，－)．
由D在椭圆上得：＝1， ∴＝，∴e＝＝.
【解析1】如图，, 作轴于点D1,则由，得
,所以,即,由椭圆的第二定义得
又由,得
【解析2】设椭圆方程为第一标准形式，设，F分 BD所成的比为2，，代入
，
10. （07全国2理）设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ B ） A．B．C．D．
解
11. 椭圆的左焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与椭圆交于A、B两点且F分向量BA的比为2/3，椭圆的离心率e为: 。
本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。思路简单，运算繁琐。下面介绍两种简单解法。
解法（一）：设点A，B，由焦半径公式可得，
则，变形，
所以因为直线倾斜角为，所以有，所以
提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。
解法（二）：

12. （10辽宁理）(20)（本小题满分12分）
设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60,.椭圆C的离心率 ；
解：
设，由题意知＜0，＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为 ，其中.
联立得
解得 因为，所以.
即 得离心率 . ……6分
13. A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使
∠OPA=,则椭圆离心率的范围是_________.
解析：设椭圆方程为=1(a＞b＞0),以OA为直径的圆：x2－ax+y2=0,两式联立消y得x2－ax+b2=0.即e2x2－ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a,由韦达定理x2=－a,0＜x2＜a，即0＜－a＜a＜e＜1.
答案：＜e＜1
14. 在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，椭圆的离心率的取值范围是;
解析: 由椭圆的定义，可得 又，所以是方程的两根，由， 可得，即所以，所以椭圆离心率的取值范围是
15. （08湖南）若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是
A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D. (5,+)
解析 由题意可知即解得故选B.
16.（07北京）椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
解析 由题意得∴故选D.
17.（07湖南）设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D.
分析 通过题设条件可得，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？
解析：∵线段的中垂线过点， ∴，又点P在右准线上，∴
即∴∴，故选D.
点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.
18. （08福建理）双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（B）
A.(1,3)B.C.(3,+)D.
分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？利用第二定义及焦半径判断
解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|=，|PF2|即∴
所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.
解2 如图2所示，设，，
.
当点P在右顶点处有.∵，∴.
选B.
小结 本题通过设角和利用余弦定理，将双曲线的离心率用三角函数的形式表示出来，通过求角的余弦值的范围，从而求得离心率的范围.
点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于）则可建立不等关系使问题迎刃而解.
19.（08江西理）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）
A． B． C． D．
解 据题意可知，∠M是直角，则垂足M的轨迹是以焦距为直径的圆.所以.又，所以.选C.
小结 本题是最常见的求离心率范围的问题，其方法就是根据已知条件，直接列出关于 a，b，c间的不等量关系，然后利用a，b，c间的平方关系化为关于a，c的齐次不等式，除以即为关于离心率e的一元二次不等式，解不等式，再结合椭圆或双曲线的离心率的范围，就得到了离心率的取值范围.
20. （04重庆）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：( )
A B C D
∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1||PF2|=3|PF2|=，|PF2|即∴
所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.
21. 已知，分别为 的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A B C D
解析 ，欲使最小值为，需右支上存在一点P，使，而即所以.
22. 已知椭圆右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，椭圆的离心率e的取值范围是; 。
解：设P点坐标为（）,则有
消去得若利用求根公式求运算复杂，应注意到方程的一个根为a,由根与系数关系知由得
23. 椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使. 求椭圆离心率的取值范围 ；
解析 设……①
将代入①得 求得 .
点评：中，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.
24. （06福建）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
解析 欲使过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，即即∴即故选C.
25. （04全国Ⅰ）设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围：
解析 由C与相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得
（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
所以解得
双曲线的离心率：∴
所以双曲线的离心率取值范围是
总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.
26．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）
A．B．C．D．
27. （09重庆卷文）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】
. 解法1，因为在中，由正弦定理得
则由已知，得，即
设点由焦点半径公式，得则
记得由椭圆的几何性质知，整理得
解得，故椭圆的离心率
28. （10四川理）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，
即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|＝ ， |PF|∈[a－c,a＋c]，于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴ 又e∈(0,1)故e∈ 答案：D
29． 已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E满足，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，双曲线离心率e的取值范围是： 。
分析：显然，我们只要找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。
解：如图4，建立坐标系，这时CD⊥y轴，
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，
由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。
依题意，记A(-C,0)，C(h)，E(x0,y0), 其中c=为双曲线的半焦距，h是梯形的高。
A O B x
D
C
y
E
图4
由,即(x0+c,y0)= (-x0,h-y0)得:x0=.设双曲线的方程为,则离心率e=。由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e=代入双曲线的方程得
将（1）式代入（2）式,整理得(4-4)=1+2,故=1.
依题设得,解得.
所以双曲线的离心率的取值范围是.
30．已知双曲线的左、右焦点分别为，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
（答案：）
解析：方法一：由及双曲线第一定义式，得：
，，又．
因为点在右支上运动，所以，
得，即，又，故填．
方法反思：若改变两个焦半径、的倍分关系，同理也可得出相应的离心率的范围．
方法二：若思考满足的动点的几何意义，将会体现出本试题更大的价值！
（引导学生思考：到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么？同时启动几何画板．）
因，，根据阿氏圆的定义可得：点应在以为直径的圆上，其中为有向线段的内分点，为有向线段的外分点．所以双曲线上若存在点满足题意，必有，所以．
故．
方法反思：通过对条件的转化，揭示了本题中动点的本质属性，从而转化为圆心在轴上的圆和双曲线有公共点的问题，体现了模拟试题的综合性，同时也提高了同学们分析问题和解决问题的能力．