人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质教案，共11页。教案主要包含了教材分析，学情分析，学习目标，教学重点，教学过程，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、教材分析
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第四节《三角函数的图象与性质》。以下是本节的课时安排：
二、学情分析
本节的主要内容是正弦函数的图象，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦
函数y=sinx的图象，为今后正弦函数的性质、余弦函数、正切函数的图象与性质，函数y=Asin(ωx+φ)
的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。
三、学习目标
1. 理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法，培养直观想象的核心素养；
2.通过利用y=sinx, x∈R的图象，作出y=csx,x∈R的图象的方法，培养逻辑推理的核心素养。
3.通过正弦函数与余弦函数的图象的应用，提升直观想象的核心素养。
四、教学重点
重点：正弦函数、余弦函数的图象的画法及应用；
难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．
五、教学过程
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图(1)所示).在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.图(2)就是某个简谐运动的图象.
【想一想】 通过上述实验，你对正弦函数、余弦函数图象的直观印象是怎样的？
提示：正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线.
2.探索交流，解决问题
【探究1】从画函数y=sinx，x ∈［０，２π］的图象开始．在［０，２π］上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0并画出点T（x0，sinx0）？
【提示】在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A（１，０）．在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0=sinx0．由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（x0，sinx0）.
【探究2】若把x轴上从０到２π这一段分成１２等份，使x0的值分别为0,π6, π3, π2,…2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，你能否按上述画点T（x0，sinx0）的方法，画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点？
【提示】作出12个点，如图所示，
【探究3】如何作出函数y=sinx， x ∈［0,2π］的图象？
【提示】利用信息技术，可使x0在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点T（x0，sinx0）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数y=sinx， x ∈［0,2π］的图象.
【设计意图】通过探究，作出正弦函数的图象，深化对正弦函数的定义的理解，提高学生概括推理的能力。
（二）正弦函数的图象
【思考1】根据函数y=sinx， x ∈［0,2π］的图象，你能作出函数y=sinx， x ∈R 的图象吗？
【提示】由诱导公式一可知，函数y=sinx， x ∈ ［２kπ，２（k＋１）π ］ ，k∈Z且k≠０的图象与y=sinx， x ∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数y=sinx， x ∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx， x ∈R的图象。
正弦函数的图象
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
【思考2】在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
【提示】 观察图，在函数y=sinx， x ∈［0,2π］的图象上，以下五个点：0,0，π2，1，π，0，3π2，−1，（2π，0）
【思考3】你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
【提示】对于函数y=csx， 由诱导公式csx=sin⁡(x+π2) 得，y=csx=sinx+π2,x ∈R ．
而函数y=sinx+π2,x ∈R 的图象可以通过正弦函数y=sinx， x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象
余弦函数的图象：
【思考4】类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间［0，2π］上相应的五个关键点
【提示】画余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．
【设计意图】通过探究让学生获得五点法作图的简便画法，提升直观想象的核心素养。
（三）典型例题
1.“五点法”作正弦、余弦函数的图象
例1. 用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1＋sin x，x∈[0,2π]；
(2)y＝-cs x，x∈[0,2π].
【解析】
(1)列表：
描点连线 ：
(2)列表：
描点连线，如图
【变式探究 】你能利用函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝csx，x∈[0,2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-csx，x∈[0,2π] 的图象？
【提示】将y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向上平移1个单位，得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象；将函数y＝csx，x∈[0,2π] 图象关于x轴对称得到y＝-csx，x∈[0,2π] 的图象。
【类题通法】简单三角函数图像画法
1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x或y＝cs x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.
2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换.
【巩固练习1】画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．
【解析】【方法一】】按三个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来．
【方法二】先作出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，使x轴上方图象不变，x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，再进行左右平移，每次π个单位，得到y＝|sinx|，x∈R的图象。
2.正弦函数、余弦函数图象的简单应用
例2 求函数f(x)＝lg sin x＋eq \r(16－x2)的定义域.
【解析】由题意，得x满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x>0，,16－x2≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4≤x≤4，,sin x>0，))
作出y＝sin x的图象，如图所示.
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).
例3. 在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数.
【解析】建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象.
描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示.
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个
【类题通法】正弦函数、余弦函数图象的简单应用
1.解不等式问题：三角函数的定义域或不等式可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.
2.方程的根(或函数零点)问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.
【巩固练习2】1.函数y＝eq \r(2sin x－1)的定义域为_________________________________.
【解析】 由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，
即sin x≥eq \f(1,2).由y＝sin x在[0,2π]的图象，可知eq \f(π,6)≤x≤eq \f(5,6)π，
可得y＝eq \r(2sin x－1)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z.
【答案】 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z
2. 若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.
【解析】由题意可知，sin x－2m－1＝0，在[0,2π]上有2个根.即sin x＝2m＋1有两个根.
可转化为y＝sin x与y＝2m＋1两函数图象有2个交点.
由y＝sin x图象可知： －1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0， 解得－1＜m＜0，且m≠－eq \f(1,2).
∴m∈(－1，-eq \f(1,2))∪(-eq \f(1,2)，0).
（四）操作演练 素养提升
1．（多选）以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
2．用“五点法”作函数y＝cs 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( )
A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π B．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)
3．点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，－m))在函数y＝sin x的图象上，则m等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
4．函数y＝cs x与函数y＝－cs x的图象( )
A．关于直线x＝1对称 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
5．方程x2－cs x＝0的实数解的个数是__________．
答案：1.ACD 2.B 3.C 4.C 5.2
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
六、布置作业
完成教材：第200页 练习 第1，2，3,4题
第213页 习题5.4 第1题

课时内容
正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数的性质
正切函数的图象与性质
所在位置
教材第196页
教材第201页
教材第209页
新教材
内容
分析
对于画正弦函数的图象，教材突出了单位圆的作用，充分利用了三角函数周期性的特点，从画函数图象上任一点出发，明确作图的原理，再画出具有代表性的点，初步感受图象的特点，最后画出足够多的点，得到对正弦图象的直观认识。借助已知的直线函数图象来画余弦函数的图象，加强了两者的联系，体现了化归思想。
借助对图象特征的观察获取函数的性质是一个基本方法。教材通过探究，引导学生明确三角函数性质的研究内容，选择适当的研究方法。
教材首先通过诱导公式，先从代数的角度获得正切函数的周期性与奇偶性，将正切函数在整个定义域内的性质归结为区间0，π2上的图象与性质，利用正切函数的定义，可以得到正切函数值的变化趋势，从而确定函数的单调性，体现了数形结合的思想。
核心素养培养
通过正弦余弦函数的图象及应用，提升直观想象的核心素养.
通过图象，引导学生探究正弦、余弦函数的性质，培养直观想象的核心素养。
通过图象，引导学生探究正切函数的性质，培养直观想象的核心素养。
教学主线
三角函数的图象
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1＋sin x
1
2
1
0
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
cs x
1
0
－1
0
1
-cs x
-1
0
1
0
-1
x
0
eq \f(π,2)
π
sinx
0
1
0
y＝|sinx|
0
1
0