中职数学人教版（中职）基础模块上册第四章 指数函数与对数函数4.3 指数、对数函数的应用教案设计

环节

教学内容

师生互动

设计意图

导

入

数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的指数、对数函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．

教师提出本节要解决的问题．

引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题．

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一、人口统计问题

例1  2008年我国人口总数是13.28亿，如果人口的自然年增长率控制在5‰，问哪一年我国人口总数将超过15亿？

解  设 x 年后人口总数为15亿，由题意，得

13.28×(1＋0.005)x＝15．

即  (1＋0.005)x＝．

两边取对数，得

x lg 1.005＝lg 15－lg 13.28，

所以  x＝≈24.4．

所以25年后，即2033年我国人口总数将达到15亿．

问题解决后由教师简单小结一下解答过程中的主要步骤：

(1) 阅读理解；

(2) 建立目标函数；

(3) 按要求解决数学问题．

二、大气压问题

例2  设在离海平面 x m 处的大气压强是 y k Pa，y 与 x 的函数关系是 y＝C ekx，这里 C，k 都是常量．已知某地某天在海平面与1 000 m 高空的大气压强分是101 k Pa 及90 k Pa，求600 m 高空的大气压强，又求大气压强是96 k Pa 处的高度(结果都保留2位有效数字)．

解  已知 y＝C ek x 其中 C，k 是待定的常数．

由已知条件，当 x＝0时，y＝101；

当x＝1 000时，y＝90，

得方程组

由①得  C＝101，代入②得

ek·1000＝≈0.891 1，

即  1 000 k＝ln 0.891 1；

1 000 k＝－0.115 3．

所以  k＝－1.153×10－4．

所以 y 与 x 的函数关系是

y＝101 e－1.153×10－4 x．

当 x＝600时，得

y＝101 e－1.153×10－4×600≈94.25，

当 y＝96时，得

96＝101 e－1.153×10－4 x．

－1.153×10－4x＝ln

－1.153×10－4x＝－0.051，

所以  x＝0.051×≈442.32．

因此，在高600 m 处，大气压强为94.25 k Pa；在高442.32 m 处，大气压强为96 k Pa．

练习  已知某细菌的生长过程满足函数关系式Q(t)＝Q0ekt，其中t为时间，单位为分钟，Q为细菌的数量．如果一开始的细菌数量为1 000只，而在20分钟后变为3 000只，求一小时后细菌的数量．

引导学生阅读题目，找出关键语言，关键数据，在教师的引导下，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题．

教师帮助学生理解题意，分析题目，首先让学生搞清自然年增长率的含义，问题可以转化为“已知年增长率为5‰，利用指数函数求经过几年我国人口总数将超过14亿？”

教师分析：这是物理方面内容，首先要利用给出函数关系式，根据已知条件确定参数C，k．本例题要求学生采用小组合作模式解决．

学生在教师引导下，自己解答，如有问题先在小组内解决，小组内解决不了的问题，在全班内解决．

学生体会自然对数的应用．

教师在学生解答完后，选择有代表性的解答过程，利用实物投影仪将所选解题过程进行投影，教师进行点评．

学生结合例题进行练习．

体会用数学方法将其化为函数问题(或其它数学问题)并加以解决的策略．

让学生在运算中体会指数函数与对数函数的应用．

对解答过程进行总结，以使学生掌握解决实际应用问题的三个步骤．

教材中的例2专业性太强，阅读难度较大，故将例题替换为本例．要求学生解答，教师巡视及时纠正学生出现的问题．

让学生在解答过程中，体会数学建模的一般步骤．

学生在解答过程中体会现代计算技术所带来的方便．

加强练习，体会指数函数与对数函数在实际生活等方面的应用．

小

结

指数函数、对数函数、幂函数在社会学、经济学和物理学等领域中有着广泛的应用．

解决实际问题的步骤：

实际问题(读懂问题、抽象概括)→建立数学模型(演算、推理)→数学模型的解(还原说明)→实际问题的解．

其中读懂问题是指读出新概念、新字母，读出相关制约，这是解决问题的基础；建立数学模型是指在抽象、简化、明确变量和参数的基础上建立一个明确的数学关系，这是解决问题的关键．

师生共同明确解决实际应用问题的步骤．

总结本节主要内容，有利于学生学习如何运用数学知识解决实际问题．

作

业

必做题：教材P118，习题第4题；

选做题：教材P118，习题第5题．

体现分层次教学，让素质不同的学生在其原有基础上都有所发展．