中职第五章 三角函数5.1 角的概念的推广及其度量教案

这是一份中职第五章 三角函数5.1 角的概念的推广及其度量教案，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学方法，教学过程等内容，欢迎下载使用。

1. 理解弧度制的概念以及弧长公式，掌握角度制与弧度制的换算．
2. 理解角的弧度数与实数之间的一一对应关系．
3. 通过教学，使学生体会等价转化与辩证统一的思想．
【教学重点】
理解弧度制的概念，掌握弧度制与角度制的换算．
【教学难点】
理解弧度制的概念．
【教学方法】
本节课采用类比教学法，在复习角度制的基础上引入弧度制，深入探究它们之间的换算方法，使学生认识它们之间相互联系、辩证统一的关系.通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到弧度制的优越性，逐步适应用弧度制度量角．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
导
入
复习初中学过的角度制．
师：初中学过角度制，1度角是怎么定义的？
生：把一圆周360等分，则其中一份所对的圆心角是1度角．且1°＝60′，1′＝60″．
师：在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制．
复习角度制．
新
课
新
课

新
课

1. 弧度制的度量单位——
1弧度的角．
(1) 弧长与半径的比值 EQ \F(l,r) 等于一个常数，只与  的大小有关，与半径长无关．
l' l
O r' r

（2）定义：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；弧度记作 rad．
2．角度制与弧度制的换算公式．
周角＝360°＝ EQ \F(2πr ,r) ＝2π rad，
即 360°＝2π rad．
平角＝180°＝π rad，
即 180°＝π rad．
1°＝ EQ \F(π ,180) rad≈0.017 45 rad，
1 rad＝( EQ \F(180,π))≈57.30°＝5718 ．
由此得到 n° 与  rad 的换算公式：
＝ EQ \F(n π,180) 或者 n°＝ ·（ EQ \F(180,π)）°
特殊角的弧度数与角度数的互化，见教材 P 130对应值表．
例1 把6730 化成弧度．
解 6730 ＝（ EQ \F(135 ,2)），
6730 ＝ EQ \F(π ,180) rad× EQ \F(135,2)
＝ EQ \F(3π ,8) rad．
练习1 教材P131，练习A组第2题．
例2 把 EQ \F(3 π,5) rad化成度．
解 EQ \F( 3π ,5) rad ＝（ EQ \F (180,π) ）× EQ \F( 3π ,5)
＝108°．
练习2 教材P131，练习A组第3、4题．
例3 使用函数型计算器，把下列度数化为弧度数或把弧度数化为度数（精确到小数点后4位数）：
（1）67°，168°，－86°；
（2）1.2 rad，5.2 rad．
解 略．
由于角有正负，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.
这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.
无论是用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系.
3．弧长公式．
由弧度的定义，我们知道弧长l与半径r的比值等于所对圆心角α的弧度数(正值),即
α ＝ EQ \F( l ,r) ，得到 l＝ α·r．
这是弧度制下的弧长计算公式.
例4 如图， EQ \O(⌒,AB)所对的圆心角为60°，半径为5 cm，求 EQ \O(⌒,AB)的长 l (精确到
0.1 cm)．
B
60
O
A
解 因为 60°＝ EQ \F( π ,3) ，
所以 l＝ αr＝ EQ \F(π,3)×5≈5.2.
即 EQ \O(⌒,AB)的长约为5.2 cm.
教师引导学生考察圆心角、弧长和半径之间的关系：
如图，两个大小不同的同心圆中圆心角为，设 = n°，则
l＝n EQ \F(2 π r,360) ，
l' ＝n EQ \F(2 π r',360) ，
由此， EQ \F(l,r) ＝ EQ \F( l',r') ＝n EQ \F(2 π,360) ．
所以，对于任何一个圆心角，所对弧长与半径的比值是一个仅与角 的大小有关的常数．
这就启示我们可以用圆的半径作单位去度量弧，从而得到一种新的度量角的制度——弧度制．
师举例：若所对的弧长l＝2r，那么圆心角的弧度数就是2 rad；
若所对的弧长l＝3r，
那么圆心角的弧度数是多少？生：3 rad．
若所对的弧长就是l，
那么圆心角的弧度数是多少？
生： EQ \F( l ,r) rad．
师：圆的周长所对的圆心角是多少弧度？
生：圆的周长l＝2πr，
周角＝360°＝ EQ \F(2 π r,r)＝2π rad，即360°＝2π rad．
师：180°等于多少弧度？90°呢？60°，45°，30°呢？
得到特殊角的角度数与弧度数的换算．利用教材P130的对应值表或者数轴来记忆特殊角的弧度数．
例1和例2可由学生自己完成，教师只指导书写格式．
相应的练习题的练习方式：
（1）教师说出特殊角的角度，学生说弧度；
（2）教师说出特殊角的弧度数，学生说角度数．
通过说明同心圆中弧长与半径的比值是一个仅与圆心角α的大小有关的常数，引入1弧度的概念．
由定义出发，让学生在教师的问题引导下自己探究得出角度制与弧度制之间的换算公式和弧长公式．
帮助学生熟记特殊角的弧度数．
熟练角的弧度数与角度数的互化．
在例4中，可加上求扇形的面积一问，为课后 B 组第4题作准备．
小
结
本节知识点：
（1）弧度制的定义；
（2）角度制与弧度制的换算公式；
（3）弧长公式．
让学生根据板书自己总结本节主要内容．
归纳整理知识点，明确弧度制的意义．
作
业
必做题：
教材P 131，练习A 组第6题，
练习B 组第1、2、3题；
选做题：
教材P 132，练习B组第4题．