人教版八年级下册16.1 二次根式复习练习题

专题16.1  二次根式的性质

【典例1】已知，求（z﹣y）2的值．

【思路点拨】

首先根据二次根式的被开方数是非负数推知：原题中方程右边为0．方程左边也为0，据此求得x、y、z的值；然后代入求值．

【解题过程】

解：由题中方程等号右边知：有意义，则x+y﹣2019≥0，即x+y≥2019，有意义，则2019﹣x﹣y≥0，即x+y≤2019，即，

∴x+y＝2019．

∴，．

∴原题中方程右边为0．

∴原题中方程左边也为0，即．

∵．

∴3x+y﹣z﹣8＝0，x+y﹣z＝0．

又∵x+y＝2019，

∴，

∴．

∴（z﹣y）2＝（2019﹣2015）2＝42＝16．

1．（2020秋•平房区期末）下列各式中，是二次根式有（　　）

①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥；⑦（ab≥0）．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【思路点拨】

根据二次根式的概念及二次根式成立的条件进行判断．

【解题过程】

解：②，被开方数小于0，不是二次根式；

③是三次根式；

⑤当a＜9时，被开方数小于0，不是二次根式；

⑥，∵x2≥0，∴﹣x2≤0，∴﹣x2﹣1＜0，被开方数小于0，不是二次根式；

①；④（x≤3）；⑦（ab≥0）是二次根式．

故选：B．

2．（2021秋•汝阳县期末）二次根式有意义，则x满足的条件是（　　）

A．x＜2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2

【思路点拨】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．

【解题过程】

解：根据题意得：x﹣2＞0，

解得，x＞2．

故选：B．

3．（2021春•德阳期末）若实数x，y满足y2020，则4x﹣y的值为（　　）

A．2021 B．2022 C．2023 D．2024

【思路点拨】

根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，求出x，进而求出y，计算即可．

【解题过程】

解：由题意得：2x﹣1≥0，2﹣4x≥0，

解得：x，

∴y＝﹣2020，

则4x﹣y＝4（﹣2020）＝2022，

故选：B．

4．（2021秋•邵东市期末）若二次根式有意义，且关于x的分式方程2有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）

A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4

【思路点拨】

根据二次根式 有意义，可得m≤2，解出关于x的分式方程 2的解为x，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．

【解题过程】

解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，

解得，x，

∵关于x的分式方程2有正数解，

∴0，

∴m＞﹣5，

又∵x＝1是增根，当x＝1时，1，即m＝﹣3

∴m≠﹣3，

∵有意义，

∴2﹣m≥0，

∴m≤2，

因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，

∵m为整数，

∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，

故选：D．

5．（2021秋•射洪市期中）如果代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　    　．

【思路点拨】

根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．

【解题过程】

解：由题意得：2﹣x≥0，

解得：x≤2，

故答案为：x≤2．

6．（2021秋•徐汇区校级月考）要使式子有意义，则实数x的取值范围是 　      　．

【思路点拨】

根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，列不等式组求解．

【解题过程】

解：由题意得，

解得x．

故答案为：x．

7．（2021•江西模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是 　               　．

【思路点拨】

结合二次根式有意义和零整数指数幂有意义求x的取值范围．

【解题过程】

解：．

由题意得：，

解得：x≥﹣1且x≠2．

故答案是：x≥﹣1且x≠2．

8．（2021春•海淀区校级月考）求有意义的a的整数值：　                       　．

【思路点拨】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的范围，进一步求得a的整数值．

【解题过程】

解：由题意得，a+4≥0，|a|﹣2≠0，3﹣a＞0，

解得﹣4≤a＜3且a≠±2．

故a的整数值为﹣4，﹣3，﹣1，0，1．

故答案为：﹣4，﹣3，﹣1，0，1．

9．（2021春•饶平县校级期中）若等腰三角形的两边a，b，满足b﹣8，则周长为　　．

【思路点拨】

直接利用二次根式的性质得出a，b的值，再利用三角形三边关系得出答案．

【解题过程】

解：∵，，有意义，

∴a＝17，

∴b﹣8＝0，

解得：b＝8，

当a为腰时，则三角形的周长为：17+17+8＝42；

当b为腰时，则8+8＜17，无法构成三角形；

综上所述：三角形的周长为42．

故答案为：42．

10．（2021春•澄海区期末）若实数a，b满足关系式a+2b4，则ab＝　    　．

【思路点拨】

根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到b＝4，代入关系式得到a＝﹣4，从而得到ab＝﹣16．

【解题过程】

解：根据二次根式有意义的条件得：，

∴b2﹣16＝0，

∴b＝±4，

根据分式有意义的条件得：b+4≠0，

∴b≠﹣4，

∴b＝4，

代入关系式得：a+8＝4，

∴a＝﹣4，

∴ab＝﹣4×4＝﹣16，

故答案为：﹣16．

11．（2021春•长丰县期中）若实数a满足|2017﹣a|a，则a﹣20172+1＝　   　．

【思路点拨】

根据二次根式有意义的条件以及绝对值的性质即可求出答案．

【解题过程】

解：由二次根式有意义的条件可知：a﹣2018≥0，

∴a≥2018，

∴2017﹣a＜0，

∵|2017﹣a|a，

∴a﹣2017a，

∴a＝2018+20172，

∴a﹣20172+1＝2018+1＝2019，

故答案为：2019．

12．（2020秋•犍为县期末）形如的根式叫做复合二次根式，对可进行如下化简：1，利用上述方法化简：1＝　  　．

【思路点拨】

直接利用完全平方公式结合二次根式的性质化简得出答案．

【解题过程】

解：原式1

（1）+1

1+1

．

故答案为：．

13．（2021春•乾安县期末）已知a，b为实数，且2b+4，求a+b的值．

【思路点拨】

直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而得出b的值，即可得出答案．

【解题过程】

解：由题意可得：a﹣5≥0且10﹣2a≥0，

解得：a＝5，

故0＝b+4，

解得：b＝﹣4，

则a+b＝5﹣4＝1．

14．（2020秋•浦东新区校级月考）已知实数x满足|x|x，求x的值．

【思路点拨】

根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，就可得到x的范围，就可去掉式子中的绝对值符号，求得x的值．

【解题过程】

解：∵x﹣2008≥0，

∴x≥2008，

则原式可化简为：xx，即：，

∴x﹣2008＝2007，

∴x＝4015．

15．（2020秋•宛城区校级月考）已知（）2＝2000，y，求y﹣x的平方根．

【思路点拨】

先根据被开方数大于等于0列不等式求出x的取值范围，再根据二次根式的性质去掉根号，然后解方程求出x的值，根据被开方数大于等于0列不等式求出m的值，然后求出y的值，最后根据平方根的定义解答．

【解题过程】

解：由题意得，998﹣x≥0，

解得x≤998，

∴1000﹣x+998﹣x＝2000，

解得x＝﹣1，

由题意得，m﹣1≥0且1﹣m≥0，

解得m≥1且m≤1，

∴m＝1，

y3，

∴y﹣x＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，

∵（±2）2＝4，

∴4的平方根是±2，

即y﹣x的平方根是±2．

16．（2020秋•武侯区校级期中）已知x，y为实数，且满足y，化简：．

【思路点拨】

根据二次根式有意义条件，得x﹣2≥0，2﹣x≥0，那么x＝2，故y＞4，从而解决此题．

【解题过程】

解：由题意得：x﹣2≥0，2﹣x≥0．

∴x≥2，x≤2．

∴x＝2．

∴y＞4．

∴y﹣4＞0．

∴

．

当y﹣5≥0时，

＝2+y﹣4﹣（y﹣5）

＝2+y﹣4﹣y+5

＝3．

当4＜y＜5时，

＝2+y﹣4﹣（5﹣y）

＝2+y﹣4﹣5+y

＝﹣7+2y．

综上：3或﹣7+2y．

17．（2021春•开福区校级月考）的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题：

（1）已知，求b2﹣2b+2a的值；

（2）若a，b为实数，且，求a+b的值；

（3）已知实数a，b满足，求a+b的值．

【思路点拨】

（1）根据非负数的性质分别求出a、b2﹣2b，计算即可；

（2）根据非负数的性质求出b，进而求出a2，计算即可；

（3）根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据非负数的性质计算，得到答案．

【解题过程】

解：（1）由题意得，a+6＝0，b2﹣2b﹣3＝0，

解得，a＝﹣6，b2﹣2b＝3，

∴b2﹣2b+2a＝3+（﹣12）＝﹣9；

（2）由题意得，b﹣1≥0，1﹣b≥0，

解得，b＝1，

∴a2＝4，

解得，a＝±2，

∴a+b＝﹣1或3；

（3）∵|2a﹣4|+|b+2|4＝2a，

∴（a﹣3）b2≥0，

解得，a≥3，

原式变形为：2a﹣4+|b+2|2a﹣4，

∴|b+2|0，

则b+2＝0，a﹣3＝0，

解得，b＝﹣2，a＝3，

则a+b＝1．

18．（2021秋•新邵县期末）先阅读，后回答问题：x为何值时，有意义？

解：要使该二次根式有意义，需x（x﹣3）≥0，由乘法法则得或．

解得x≥3或x≤0．

∴当x≥3或x≤0，有意义．

体会解题思想后，请你解答：x为何值时，有意义？

【思路点拨】

根据题目信息，列出不等式组求解即可得到x的取值范围．

【解题过程】

解：要使该二次根式有意义，需0，

由乘法法则得或，

解得x≥1或x＜﹣2，

当x≥1或x＜﹣2时，有意义．

19．（2021春•开福区校级月考）已知x，y为实数，是否存在实数m满足关系式？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．

【思路点拨】

利用二次根式有意义的条件得到，则x+y﹣5＝0，所以0，利用非负数的性质得到3x+5y﹣2﹣m＝0，2x+3y﹣m＝0，然后解关于x、y、m的方程组即可．

【解题过程】

解：存在．

∵，

∴x+y﹣5＝0，

∴0，

∴3x+5y﹣2﹣m＝0，2x+3y﹣m＝0，

解方程组得，

即m的值为7．

20．（2021春•崇川区校级月考）已知实数x，y，z满足等式xy+z＝8.5，xy+2z＝13.5．

（1）若z＝﹣1，求的值；

（2）若实数m，求m的平方根．

【思路点拨】

（1）把z＝﹣1代入已知的两个等式，列出关于x，y的二元一次方程组进行计算即可；

（2）根据已知可得：x﹣3y＝0，从而得x＝3y，然后代入已知的两个等式中，列出关于y与z的二元一次方程组进行计算即可解答．

【解题过程】

解：由题意得：

，

①+②得：

xy﹣3＝22，

∴x+y＝30，

∴；

（2）∵m，

∴x﹣3y＝0，

∴x＝3y，

把x＝3y代入等式xy+z＝8.5，xy+2z＝13.5中并化简，

可得：，

①×6得：18y+12z＝102③，

③﹣②得：7y＝21，

解得：y＝3，

把y＝3代入①得：9+2z＝17，

解得：z＝4，

∴原方程组的解为：，

∵x＝3y，

∴x＝9，

∵m，

∴m4，