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_湖北省黄冈市浠水县方郭中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)
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这是一份_湖北省黄冈市浠水县方郭中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县方郭中学八年级第一学期期中数学试卷
一、单选题（每题3分，共24分）
1．一个三角形的三条边长为2、3、x，则其中x取值的范围是（ ）
A．x＜5 B．x＞1 C．1＜x＜5 D．1≤x≤5
2．AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝76°，∠C＝36°，则∠DAE的度数为（ ）
A．20° B．18° C．38° D．40°
3．已知：如图所示，则∠A等于（ ）
A．60° B．70° C．50° D．80°
4．如图，用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′，等于已知角∠AOB，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5．如图，点D，E分别在AC，AB上，BD与CE相交于点O，已知∠B＝∠C，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABD≌△ACE的是（ ）
A．AD＝AE B．AB＝AC C．BD＝CE D．∠ADB＝∠AEC
6．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③④ C．①②④ D．①③④
7．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别在BC和AC上，BD＝CE，连接BE交AD于P点，则∠APB的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
8．如图，等边三角形ABC，P为BC上一点，且∠1＝∠2，则∠3为（ ）
A．50° B．60° C．75° D．无法确定
二、填空题（每题3分，共24分）
9．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，那么点C到AB的距离是 ．
10．已知D、E分别是△ABC的边BC和AC的中点，若△ABC的面积是32cm2，则△DEC的面积为 ．
11．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD＝2，则PQ的取值范围为 ．
12．一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，3x﹣2，2x﹣1．若这两个三角形全等，则x的值是 ．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝6，AB＝8，则AE+DE等于 ．
14．如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DCB＝ °﹒
15．若等腰三角形一个底角为52°，则顶角的度数是 °．
16．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为 ．
三、解答题（共72分）
17．在△ABC中，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，
（1）若∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，求∠ABE和∠BHC的度数．
（2）若AB＝10，AC＝8，CF＝4，求BE的长．
18．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE、CD交于G点，求证：
（1）∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）BG∥DF．
19．已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA．
求证：（1）△BEC≌△DEA；
（2）DF⊥BC．
20．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
21．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC．
求证：（1）△BDO≌△CEO；
（2）∠1＝∠2．
22．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是 度．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
23．如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，分别过A、B向过点C的直线作垂线，垂足分别为点M、N．
（1）如图1，过C的直线与斜边AB不相交时，
求证：①△AMC≌△CNB；
②MN＝AM+BN．
（2）如图2，过C的直线与斜边AB相交时，其他条件不变，若AM＝10，BN＝3，试求MN的长．
24．如图，△ABC中，AB＝BC，点D为AB的中点，且CD⊥AB．点P在线段BC上以acm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以bcm/秒的速度由C点向A点运动，连结PD，DQ．
（1）求证：∠A＝∠B；
（2）在点P、Q运动过程中，当△PBD≌△DAQ时，求的值；
（3）设△ADQ的面积为S1，△BPD的面积为S2，在点P、Q运动过程中，当点C、D关于直线PQ对称时，求的值．
参考答案
一、单选题（每题3分，共24分）
1．一个三角形的三条边长为2、3、x，则其中x取值的范围是（ ）
A．x＜5 B．x＞1 C．1＜x＜5 D．1≤x≤5
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边列出不等式，得到答案．
解：根据三角形三边关系可知，3﹣2＜x＜3+2，
∴1＜x＜5，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形三边关系定理，掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
2．AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝76°，∠C＝36°，则∠DAE的度数为（ ）
A．20° B．18° C．38° D．40°
【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD＝14°，∠CAD＝54°，进而得出∠BAE的度数，进而得出答案．
解：∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝76°，∠C＝36°，
∴∠BAD＝14°，∠CAD＝54°，
∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°，
∴∠DAE＝34°﹣14°＝20°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠BAE的度数是解题关键．
3．已知：如图所示，则∠A等于（ ）
A．60° B．70° C．50° D．80°
【分析】根据三角形内角与外角的关系解答．
解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝70°．
故选：B．
【点评】要善于从图形的位置关系联想到图形的数量之间的关系．
4．如图，用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′，等于已知角∠AOB，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
在△OCD与△O′C′D′，O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
5．如图，点D，E分别在AC，AB上，BD与CE相交于点O，已知∠B＝∠C，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABD≌△ACE的是（ ）
A．AD＝AE B．AB＝AC C．BD＝CE D．∠ADB＝∠AEC
【分析】已知∠B＝∠C，再加上条件∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定定理可得添加条件必须是边相等，故可得出答案．
解：已知∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE，
若添加AD＝AE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故A选项不合题意；
若添加AB＝AC，可利用ASA定理证明△ABE≌△ACD，故B选项不合题意；
若添加BD＝CE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故C选项不合题意；
若添加∠ADB＝∠AEC，没有边的条件，则不能证明△ABE≌△ACD，故D选项合题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③④ C．①②④ D．①③④
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，据此得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，则∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，
故①正确，符合题意；
∵∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，
故②正确，符合题意；
如图2所示，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，
故④正确，符合题意；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM，
∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OC，
与题意不符，
故③错误，不符合题意；
综上，符合题意的有①②④；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
7．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别在BC和AC上，BD＝CE，连接BE交AD于P点，则∠APB的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【分析】先由SAS证明△ABD≌△CBE，得出对应角相等，再由三角形内角和即可得出结果．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，
∴∠ABP+∠BAD＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°＝120°；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质；证明三角形全等得出角相等是解决问题的关键
8．如图，等边三角形ABC，P为BC上一点，且∠1＝∠2，则∠3为（ ）
A．50° B．60° C．75° D．无法确定
【分析】在△ABP中，∠APC是△ABP的外角，根据三角形的外角性质可得到∠1与∠2+∠3的大小关系，通过等量代换即可得到∠3的度数．
解：由图知：∠APC＝∠1+∠B；
即：∠2+∠3＝∠1+60°，由于∠1＝∠2，
所以∠3＝60°．故选B．
【点评】此题考查的是等边三角形的性质以及三角形的外角性质，观察清楚图中各角的位置关系即可顺利解题．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，那么点C到AB的距离是 4.8 ．
【分析】根据三角形面积公式即可求得．
解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴，
∴AC•BC＝AB•CD，
∴，
即点C到AB的距离是4.8，
故答案为：4.8．
【点评】本题考查了点到直线的距离．三角形的面积，是基础题．
10．已知D、E分别是△ABC的边BC和AC的中点，若△ABC的面积是32cm2，则△DEC的面积为 8cm2 ．
【分析】根据三角形的面积公式以及中点的概念即可分析出各部分的面积关系．
解：∵D、E分别是△ABC的边BC和AC的中点，S△ABC＝32cm2，
∴S△ACD＝S△ABC＝16cm2．
同理，S△CDE＝S△ACD＝8cm2．
故答案为8cm2．
【点评】本题考查了三角形的面积，注意根据三角形的面积公式，在高相等的时候，面积比等于底的比；在底相等的时候，面积比等于高的比．
11．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD＝2，则PQ的取值范围为 PQ≥2 ．
【分析】根据垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PQ＝PD．
解：由垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，
∴PQ＝PD＝2，
即线段PQ的最小值是2．
∴PQ的取值范围为PQ≥2，
故答案为PQ≥2．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短，熟记性质并判断出PN与OB垂直时PN的值最小是解题的关键．
12．一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，3x﹣2，2x﹣1．若这两个三角形全等，则x的值是 3 ．
【分析】根据全等三角形的性质可得方程组，或，解方程组可得答案．
解：由题意得：，或，
解得：x＝且x＝4（舍去）或x＝3，
∴x＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝6，AB＝8，则AE+DE等于 6 ．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE＝DE，再根据线段的和差关系和等量代换可得AE+DE的长．
解：∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥BC，
∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴ED＝EC，
∴AE+DE＝AE+EC＝AC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是角平分的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14．如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DCB＝ 150 °﹒
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠E，然后判断出△ADE是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°可得∠EAD＝60°，再求出∠BAD＝60°，然后根据等腰三角形两底角相等和四边形的内角和等于360°计算即可得解．
解：∵AB∥ED，
∴∠E＝180°﹣∠EAB＝180°﹣120°＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，
∴∠BAD＝∠EAB﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，
在四边形ABCD中，∠BCD＝（360°﹣∠BAD）＝（360°﹣60°）＝150°．
故答案为：150．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，以及多边形的内角和，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
15．若等腰三角形一个底角为52°，则顶角的度数是 76 °．
【分析】用180°减去两个底角的度数即可求得顶角的度数．
解：顶角的度数为180°﹣52°×2＝76°，
故答案为：76．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键是了解两个底角相等，难度不大．
16．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为 64 ．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝32，据此得出答案．
解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝2，
∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，
∴A6B6＝32B1A2＝64，
故答案为：64．
【点评】本题考查的是平行线的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出规律A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．在△ABC中，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，
（1）若∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，求∠ABE和∠BHC的度数．
（2）若AB＝10，AC＝8，CF＝4，求BE的长．
【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再由BE⊥AC可知∠AEB＝90°，由直角三角形的性质即可求出∠ABE的度数，然后依据三角形的外角的性质可得到∠BHC的度数；
（2）依据面积法可得到AB•FC＝AC•BE，从而可求得问题的答案．
解：（1）∵△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣50°＝68°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠A＝90°﹣68°＝22°；
∵CF⊥AB，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BHC＝∠ABF+∠BFH＝90°+22°＝112°．
（2）∵S△ABC＝AB•FC＝AC•BE，
∴AB•FC＝AC•BE，即8BE＝40，解得：BE＝5．
【点评】本题主要考查的是三角形内角和定理的应用和三角形的面积公式，面积法的应用是解题的关键．
18．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE、CD交于G点，求证：
（1）∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）BG∥DF．
【分析】（1）由四边形的内角和是360°，即可证明；
（2）由角平分线的定义，两锐角互余的概念，即可证明．
【解答】证明（1）∵四边形的内角和是360°，
∴∠ABC+∠ADC+∠A+∠C＝360°，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CBG＝∠ABC，∠FDC＝∠ADC，
∴∠CBG+∠FDC＝（∠ABC+∠ADC）＝90°，
∵∠CFD+∠CDF＝90°，
∴∠CBG＝∠CFD，
∴DF∥BG．
【点评】本题考查四边形的有关知识，平行线的判定，关键是掌握四边形的内角和是360°，两直线平行线的判定方法．
19．已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA．
求证：（1）△BEC≌△DEA；
（2）DF⊥BC．
【分析】（1）根据已知利用SAS即可判定△BEC≌△DEA；
（2）根据第一问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到∠B＝∠D，从而不难求得DF⊥BC．
解：（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEA＝90°，
在△BEC和△DEA中，
，
∴△BEC≌△DEA（SAS）；
（2）∵△BEC≌△DEA，
∴∠B＝∠D．
∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，
∴∠BAF+∠B＝90°．
即DF⊥BC．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，做题时要注意思考，认真寻找全等三角形全等的条件是解决本题的关键．
20．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
【分析】（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB＝AC，AD＝AE，需它们的夹角∠BAD＝∠CAE，而由∠BAC＝∠DAE＝90°很易证得．
（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE＝90°，需证∠ADB+∠ADE＝90°可由直角三角形提供．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
21．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC．
求证：（1）△BDO≌△CEO；
（2）∠1＝∠2．
【分析】（1）由条件可证明△BOD≌△COE（AAS）；
（2）证明Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），可得AD＝AE．
【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO＝∠CEO．
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（AAS）；
（2）∵△BOD≌△COE，
∴DO＝EO，
在Rt△AOD和Rt△AOE中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是 50 度．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM＝BM，然后求出△MBC的周长＝AC+BC，再代入数据进行计算即可得解；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∴∠A＝40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM＝90°，
∴∠NMA＝50°，
故答案为：50；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴△MBC的周长＝BM+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC，
∵AB＝8，△MBC的周长是14，
∴BC＝14﹣8＝6；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，
理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，
∴P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小，
∴△PBC周长的最小值＝AC+BC＝8+6＝14．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
23．如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，分别过A、B向过点C的直线作垂线，垂足分别为点M、N．
（1）如图1，过C的直线与斜边AB不相交时，
求证：①△AMC≌△CNB；
②MN＝AM+BN．
（2）如图2，过C的直线与斜边AB相交时，其他条件不变，若AM＝10，BN＝3，试求MN的长．
【分析】（1）①判断出∠CAM＝∠BCN，即可得出结论；
②由△ACM≌△CBN得出CM＝BN，AM＝CN，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ACM≌△CBN，得出CM＝BN，AM＝CN，即可求出答案．
【解答】（1）证明：①∵AM⊥MN，BM⊥MN，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠CAM+∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠BCN＝90°，
∴∠CAM＝∠BCN，
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△CBN（AAS）；
②∵△ACM≌△CBN，
∴CM＝BN，AM＝CN，
∴MN＝CM+CN＝BN+AM；
（2）解：∵AM⊥MN，BM⊥MN，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠CAM+∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠BCN＝90°，
∴∠CAM＝∠BCN，
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝CN，
∴MN＝CN﹣CM＝AM﹣BN，
∵AM＝10，BN＝3，
∴MN＝10﹣3＝7．
即MN的长为7．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出两三角形全等是解本题的关键．
24．如图，△ABC中，AB＝BC，点D为AB的中点，且CD⊥AB．点P在线段BC上以acm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以bcm/秒的速度由C点向A点运动，连结PD，DQ．
（1）求证：∠A＝∠B；
（2）在点P、Q运动过程中，当△PBD≌△DAQ时，求的值；
（3）设△ADQ的面积为S1，△BPD的面积为S2，在点P、Q运动过程中，当点C、D关于直线PQ对称时，求的值．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）设BP＝atcm，CQ＝btcm，AB＝4x，BC＝5x，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）根据点C、D关于直线PQ对称，得到PQ垂直平分CD，求得CQ＝DQ，根据直角三角形的性质得到AQ＝DQ，求得AQ＝CQ，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵点D为AB的中点，CD⊥AB，
∴AC＝BC，
∴∠A＝∠B；
（2）解：设BP＝atcm，CQ＝btcm，AB＝4x，BC＝5x，
∵AC＝BC，点D为AB的中点，
∴AQ＝5x﹣bt，AD＝BD＝2x，
∵△PBD≌△DAQ，
∴BP＝AD，BD＝AQ，
∴，
解得3at＝2bt，
∴＝；
（3）解：∵点C、D关于直线PQ对称，
∴PQ垂直平分CD，
∴CQ＝DQ，
∴∠QDC＝∠QCD，
∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ADQ+∠CDQ＝90°，
∴∠A＝∠ADQ，
∴AQ＝DQ，
∴AQ＝CQ，
∴S1＝S△ACD＝S△ACB，
同理S2＝S△ABC，
∴＝1．
【点评】本题考查了几何变换综合题，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，正确地理解题意是解题的关键．
2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县方郭中学八年级第一学期期中数学试卷
一、单选题（每题3分，共24分）
1．一个三角形的三条边长为2、3、x，则其中x取值的范围是（ ）
A．x＜5 B．x＞1 C．1＜x＜5 D．1≤x≤5
2．AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝76°，∠C＝36°，则∠DAE的度数为（ ）
A．20° B．18° C．38° D．40°
3．已知：如图所示，则∠A等于（ ）
A．60° B．70° C．50° D．80°
4．如图，用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′，等于已知角∠AOB，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5．如图，点D，E分别在AC，AB上，BD与CE相交于点O，已知∠B＝∠C，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABD≌△ACE的是（ ）
A．AD＝AE B．AB＝AC C．BD＝CE D．∠ADB＝∠AEC
6．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③④ C．①②④ D．①③④
7．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别在BC和AC上，BD＝CE，连接BE交AD于P点，则∠APB的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
8．如图，等边三角形ABC，P为BC上一点，且∠1＝∠2，则∠3为（ ）
A．50° B．60° C．75° D．无法确定
二、填空题（每题3分，共24分）
9．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，那么点C到AB的距离是 ．
10．已知D、E分别是△ABC的边BC和AC的中点，若△ABC的面积是32cm2，则△DEC的面积为 ．
11．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD＝2，则PQ的取值范围为 ．
12．一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，3x﹣2，2x﹣1．若这两个三角形全等，则x的值是 ．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝6，AB＝8，则AE+DE等于 ．
14．如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DCB＝ °﹒
15．若等腰三角形一个底角为52°，则顶角的度数是 °．
16．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为 ．
三、解答题（共72分）
17．在△ABC中，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，
（1）若∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，求∠ABE和∠BHC的度数．
（2）若AB＝10，AC＝8，CF＝4，求BE的长．
18．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE、CD交于G点，求证：
（1）∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）BG∥DF．
19．已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA．
求证：（1）△BEC≌△DEA；
（2）DF⊥BC．
20．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
21．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC．
求证：（1）△BDO≌△CEO；
（2）∠1＝∠2．
22．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是 度．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
23．如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，分别过A、B向过点C的直线作垂线，垂足分别为点M、N．
（1）如图1，过C的直线与斜边AB不相交时，
求证：①△AMC≌△CNB；
②MN＝AM+BN．
（2）如图2，过C的直线与斜边AB相交时，其他条件不变，若AM＝10，BN＝3，试求MN的长．
24．如图，△ABC中，AB＝BC，点D为AB的中点，且CD⊥AB．点P在线段BC上以acm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以bcm/秒的速度由C点向A点运动，连结PD，DQ．
（1）求证：∠A＝∠B；
（2）在点P、Q运动过程中，当△PBD≌△DAQ时，求的值；
（3）设△ADQ的面积为S1，△BPD的面积为S2，在点P、Q运动过程中，当点C、D关于直线PQ对称时，求的值．
参考答案
一、单选题（每题3分，共24分）
1．一个三角形的三条边长为2、3、x，则其中x取值的范围是（ ）
A．x＜5 B．x＞1 C．1＜x＜5 D．1≤x≤5
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边列出不等式，得到答案．
解：根据三角形三边关系可知，3﹣2＜x＜3+2，
∴1＜x＜5，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形三边关系定理，掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
2．AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝76°，∠C＝36°，则∠DAE的度数为（ ）
A．20° B．18° C．38° D．40°
【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD＝14°，∠CAD＝54°，进而得出∠BAE的度数，进而得出答案．
解：∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝76°，∠C＝36°，
∴∠BAD＝14°，∠CAD＝54°，
∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°，
∴∠DAE＝34°﹣14°＝20°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠BAE的度数是解题关键．
3．已知：如图所示，则∠A等于（ ）
A．60° B．70° C．50° D．80°
【分析】根据三角形内角与外角的关系解答．
解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝70°．
故选：B．
【点评】要善于从图形的位置关系联想到图形的数量之间的关系．
4．如图，用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′，等于已知角∠AOB，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
在△OCD与△O′C′D′，O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
5．如图，点D，E分别在AC，AB上，BD与CE相交于点O，已知∠B＝∠C，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABD≌△ACE的是（ ）
A．AD＝AE B．AB＝AC C．BD＝CE D．∠ADB＝∠AEC
【分析】已知∠B＝∠C，再加上条件∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定定理可得添加条件必须是边相等，故可得出答案．
解：已知∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE，
若添加AD＝AE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故A选项不合题意；
若添加AB＝AC，可利用ASA定理证明△ABE≌△ACD，故B选项不合题意；
若添加BD＝CE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故C选项不合题意；
若添加∠ADB＝∠AEC，没有边的条件，则不能证明△ABE≌△ACD，故D选项合题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③④ C．①②④ D．①③④
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，据此得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，则∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，
故①正确，符合题意；
∵∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，
故②正确，符合题意；
如图2所示，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，
故④正确，符合题意；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM，
∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OC，
与题意不符，
故③错误，不符合题意；
综上，符合题意的有①②④；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
7．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别在BC和AC上，BD＝CE，连接BE交AD于P点，则∠APB的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【分析】先由SAS证明△ABD≌△CBE，得出对应角相等，再由三角形内角和即可得出结果．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，
∴∠ABP+∠BAD＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°＝120°；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质；证明三角形全等得出角相等是解决问题的关键
8．如图，等边三角形ABC，P为BC上一点，且∠1＝∠2，则∠3为（ ）
A．50° B．60° C．75° D．无法确定
【分析】在△ABP中，∠APC是△ABP的外角，根据三角形的外角性质可得到∠1与∠2+∠3的大小关系，通过等量代换即可得到∠3的度数．
解：由图知：∠APC＝∠1+∠B；
即：∠2+∠3＝∠1+60°，由于∠1＝∠2，
所以∠3＝60°．故选B．
【点评】此题考查的是等边三角形的性质以及三角形的外角性质，观察清楚图中各角的位置关系即可顺利解题．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，那么点C到AB的距离是 4.8 ．
【分析】根据三角形面积公式即可求得．
解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴，
∴AC•BC＝AB•CD，
∴，
即点C到AB的距离是4.8，
故答案为：4.8．
【点评】本题考查了点到直线的距离．三角形的面积，是基础题．
10．已知D、E分别是△ABC的边BC和AC的中点，若△ABC的面积是32cm2，则△DEC的面积为 8cm2 ．
【分析】根据三角形的面积公式以及中点的概念即可分析出各部分的面积关系．
解：∵D、E分别是△ABC的边BC和AC的中点，S△ABC＝32cm2，
∴S△ACD＝S△ABC＝16cm2．
同理，S△CDE＝S△ACD＝8cm2．
故答案为8cm2．
【点评】本题考查了三角形的面积，注意根据三角形的面积公式，在高相等的时候，面积比等于底的比；在底相等的时候，面积比等于高的比．
11．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD＝2，则PQ的取值范围为 PQ≥2 ．
【分析】根据垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PQ＝PD．
解：由垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，
∴PQ＝PD＝2，
即线段PQ的最小值是2．
∴PQ的取值范围为PQ≥2，
故答案为PQ≥2．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短，熟记性质并判断出PN与OB垂直时PN的值最小是解题的关键．
12．一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，3x﹣2，2x﹣1．若这两个三角形全等，则x的值是 3 ．
【分析】根据全等三角形的性质可得方程组，或，解方程组可得答案．
解：由题意得：，或，
解得：x＝且x＝4（舍去）或x＝3，
∴x＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝6，AB＝8，则AE+DE等于 6 ．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE＝DE，再根据线段的和差关系和等量代换可得AE+DE的长．
解：∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥BC，
∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴ED＝EC，
∴AE+DE＝AE+EC＝AC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是角平分的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14．如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DCB＝ 150 °﹒
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠E，然后判断出△ADE是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°可得∠EAD＝60°，再求出∠BAD＝60°，然后根据等腰三角形两底角相等和四边形的内角和等于360°计算即可得解．
解：∵AB∥ED，
∴∠E＝180°﹣∠EAB＝180°﹣120°＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，
∴∠BAD＝∠EAB﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，
在四边形ABCD中，∠BCD＝（360°﹣∠BAD）＝（360°﹣60°）＝150°．
故答案为：150．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，以及多边形的内角和，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
15．若等腰三角形一个底角为52°，则顶角的度数是 76 °．
【分析】用180°减去两个底角的度数即可求得顶角的度数．
解：顶角的度数为180°﹣52°×2＝76°，
故答案为：76．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键是了解两个底角相等，难度不大．
16．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为 64 ．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝32，据此得出答案．
解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝2，
∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，
∴A6B6＝32B1A2＝64，
故答案为：64．
【点评】本题考查的是平行线的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出规律A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．在△ABC中，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，
（1）若∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，求∠ABE和∠BHC的度数．
（2）若AB＝10，AC＝8，CF＝4，求BE的长．
【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再由BE⊥AC可知∠AEB＝90°，由直角三角形的性质即可求出∠ABE的度数，然后依据三角形的外角的性质可得到∠BHC的度数；
（2）依据面积法可得到AB•FC＝AC•BE，从而可求得问题的答案．
解：（1）∵△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣50°＝68°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠A＝90°﹣68°＝22°；
∵CF⊥AB，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BHC＝∠ABF+∠BFH＝90°+22°＝112°．
（2）∵S△ABC＝AB•FC＝AC•BE，
∴AB•FC＝AC•BE，即8BE＝40，解得：BE＝5．
【点评】本题主要考查的是三角形内角和定理的应用和三角形的面积公式，面积法的应用是解题的关键．
18．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE、CD交于G点，求证：
（1）∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）BG∥DF．
【分析】（1）由四边形的内角和是360°，即可证明；
（2）由角平分线的定义，两锐角互余的概念，即可证明．
【解答】证明（1）∵四边形的内角和是360°，
∴∠ABC+∠ADC+∠A+∠C＝360°，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CBG＝∠ABC，∠FDC＝∠ADC，
∴∠CBG+∠FDC＝（∠ABC+∠ADC）＝90°，
∵∠CFD+∠CDF＝90°，
∴∠CBG＝∠CFD，
∴DF∥BG．
【点评】本题考查四边形的有关知识，平行线的判定，关键是掌握四边形的内角和是360°，两直线平行线的判定方法．
19．已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA．
求证：（1）△BEC≌△DEA；
（2）DF⊥BC．
【分析】（1）根据已知利用SAS即可判定△BEC≌△DEA；
（2）根据第一问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到∠B＝∠D，从而不难求得DF⊥BC．
解：（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEA＝90°，
在△BEC和△DEA中，
，
∴△BEC≌△DEA（SAS）；
（2）∵△BEC≌△DEA，
∴∠B＝∠D．
∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，
∴∠BAF+∠B＝90°．
即DF⊥BC．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，做题时要注意思考，认真寻找全等三角形全等的条件是解决本题的关键．
20．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
【分析】（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB＝AC，AD＝AE，需它们的夹角∠BAD＝∠CAE，而由∠BAC＝∠DAE＝90°很易证得．
（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE＝90°，需证∠ADB+∠ADE＝90°可由直角三角形提供．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
21．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC．
求证：（1）△BDO≌△CEO；
（2）∠1＝∠2．
【分析】（1）由条件可证明△BOD≌△COE（AAS）；
（2）证明Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），可得AD＝AE．
【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO＝∠CEO．
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（AAS）；
（2）∵△BOD≌△COE，
∴DO＝EO，
在Rt△AOD和Rt△AOE中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是 50 度．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM＝BM，然后求出△MBC的周长＝AC+BC，再代入数据进行计算即可得解；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∴∠A＝40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM＝90°，
∴∠NMA＝50°，
故答案为：50；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴△MBC的周长＝BM+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC，
∵AB＝8，△MBC的周长是14，
∴BC＝14﹣8＝6；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，
理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，
∴P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小，
∴△PBC周长的最小值＝AC+BC＝8+6＝14．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
23．如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，分别过A、B向过点C的直线作垂线，垂足分别为点M、N．
（1）如图1，过C的直线与斜边AB不相交时，
求证：①△AMC≌△CNB；
②MN＝AM+BN．
（2）如图2，过C的直线与斜边AB相交时，其他条件不变，若AM＝10，BN＝3，试求MN的长．
【分析】（1）①判断出∠CAM＝∠BCN，即可得出结论；
②由△ACM≌△CBN得出CM＝BN，AM＝CN，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ACM≌△CBN，得出CM＝BN，AM＝CN，即可求出答案．
【解答】（1）证明：①∵AM⊥MN，BM⊥MN，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠CAM+∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠BCN＝90°，
∴∠CAM＝∠BCN，
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△CBN（AAS）；
②∵△ACM≌△CBN，
∴CM＝BN，AM＝CN，
∴MN＝CM+CN＝BN+AM；
（2）解：∵AM⊥MN，BM⊥MN，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠CAM+∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠BCN＝90°，
∴∠CAM＝∠BCN，
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝CN，
∴MN＝CN﹣CM＝AM﹣BN，
∵AM＝10，BN＝3，
∴MN＝10﹣3＝7．
即MN的长为7．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出两三角形全等是解本题的关键．
24．如图，△ABC中，AB＝BC，点D为AB的中点，且CD⊥AB．点P在线段BC上以acm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以bcm/秒的速度由C点向A点运动，连结PD，DQ．
（1）求证：∠A＝∠B；
（2）在点P、Q运动过程中，当△PBD≌△DAQ时，求的值；
（3）设△ADQ的面积为S1，△BPD的面积为S2，在点P、Q运动过程中，当点C、D关于直线PQ对称时，求的值．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）设BP＝atcm，CQ＝btcm，AB＝4x，BC＝5x，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）根据点C、D关于直线PQ对称，得到PQ垂直平分CD，求得CQ＝DQ，根据直角三角形的性质得到AQ＝DQ，求得AQ＝CQ，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵点D为AB的中点，CD⊥AB，
∴AC＝BC，
∴∠A＝∠B；
（2）解：设BP＝atcm，CQ＝btcm，AB＝4x，BC＝5x，
∵AC＝BC，点D为AB的中点，
∴AQ＝5x﹣bt，AD＝BD＝2x，
∵△PBD≌△DAQ，
∴BP＝AD，BD＝AQ，
∴，
解得3at＝2bt，
∴＝；
（3）解：∵点C、D关于直线PQ对称，
∴PQ垂直平分CD，
∴CQ＝DQ，
∴∠QDC＝∠QCD，
∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ADQ+∠CDQ＝90°，
∴∠A＝∠ADQ，
∴AQ＝DQ，
∴AQ＝CQ，
∴S1＝S△ACD＝S△ACB，
同理S2＝S△ABC，
∴＝1．
【点评】本题考查了几何变换综合题，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，正确地理解题意是解题的关键．
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