_江苏省扬州市仪征市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份_江苏省扬州市仪征市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省扬州市仪征市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.）
1．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数是（　　）
A．﹣3 B．2 C．﹣1 D．3
2．一组数据分别为：2、4、5、1、9，则这组数据的中位数是（　　）
A．3 B．1 C．4 D．5
3．已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为，则点P在⊙O（　　）
A．上 B．内 C．外 D．内或外
4．如果关于x的方程（x﹣4）2＝m﹣1可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m＞1 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1
5．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABC＝110°，则∠AOC的度数是（　　）

A．110° B．120° C．130° D．140°
6．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x﹣m+2）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝﹣4，x2＝﹣1 D．无法求解
8．如图，点O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的中心，连接AD、CD'交于点P，则∠APD'＝（　　）

A．72° B．81° C．76° D．80°
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。）
9．某地某日最高气温为12℃，最低气温为﹣4℃，则该日气温的极差是 　 　℃．
10．圆锥侧面积为6πcm2，侧面展开扇形的半径为3cm，则圆锥底圆半径为 　 　cm．
11．一条弦所对的圆心角是100°，那么它所对的圆周角为　 　．
12．已知一组数据16，17，18，19，20，则这组数据的方差是 　 　．
13．为了农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地，大力开展种子实验，该实验基地两年前有64种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子，若培育的种子平均每年的增长率为x，则根据题意可列方程是 　 　．
14．如图，已知点A，B，C依次在⊙O上，∠B﹣∠A＝30°，则∠AOB的度数为 　 　°．

15．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、F、G，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DGF的度数是 　 　°．

16．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0的根的存在情况是 　 　．

17．如图，矩形ABCD，过B、C两点的⊙O恰好与AD相切，若AB＝4，BC＝6，则⊙O的半径为 　 　．

18．新定义，若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”．那么代数式ax2+bx+2022能取得最大值是 　 　．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分。）
19．解方程：
（1）x2﹣x＝0；
（2）（x﹣2）2﹣5（x﹣2）+6＝0．
20．某食品商店将甲、乙、丙3种糖果的质量按5：4：1配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为16元/kg、20元/kg、27元/kg．若将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的单价．
21．某校为了提升九年级学生的身体素质，释放学业压力，锻炼意志，激发进取精神，开展“奔跑吧，你最棒”活动，每天利用大课间让学生在操场上伴随着音乐进行800米跑步．为了解学生跑步后身体状况，随机抽取部分学生测量跑步后1min的脉搏次数，其中脉搏次数x满足140≤x＜150的结果如下（单位：次）：
149 148 147 146 146 144 144 143 141 149 144
根据以上信息回答下列问题：
（1）填写表格：
脉搏次数x（次/分）
130≤x＜140
140≤x＜150
150≤x＜160
160≤x＜170
频数
5
11
21
13
频率
0.1

0.42
0.26
（2）脉搏次数x满足140≤x＜150的这组数据，众数是 　 　；
（3）根据运动后正常脉搏公式可知：九年级学生800米跑步后1分钟脉搏次数130≤x＜160都属于身体素质较好的情况，如果该校九年级有300名学生，那么身体素质较好的学生大约有多少人？
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知5是关于x的方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，求△ABC的周长．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，2），B（0，4），C（4，4）．
（1）△ABC外接圆的圆心P坐标为 　 　，外接圆的半径是 　 　；
（2）作出弧AC，并求弧AC的长度．

24．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，且DE平分∠AEC，作△ABE的外接圆⊙O．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CD＝3，求DE的长．

25．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，如果按每件50元销售，那么可卖出200件．通过市场调查发现，售价每增加1元，销售量减少10件．如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利2000元．问：该商品每件售价多少元？
26．数学兴趣小组的同学在探究等分问题的过程中，得到了很多成果．
成果一：制作了三分角仪．图（1）是示意图，点B在半径OC的延长线上，CD⊥OC，BC＝OC，CD足够长．若要将∠GAH三等分，只需要适当放置三分角仪，使点A在CD上，点B落在AG上，当AH与半⊙O相切时，AC、AO就将∠GAH三等分了；
成果二：创造了只用圆规将圆四等分的方法．如图（2），具体步骤为：①将⊙O六等分，等分点分别是点A、B、C、D、E、F；②分别以点A、D为圆心，AE长为半径作弧，交于点G；③以点A为圆心，OG长为半径作弧，交⊙O于点M、N，则点A、M、D、N将⊙O四等分．

（1）请你说明三分角仪的正确性；
（2）证明点A、M、D、N是⊙O四等分点．

27．阅读下面材料，回答下列问题：
构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法．构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决．
材料：已知，求代数式的值；
分析：这道题如果将代数式化简，再直接将x代入求值比较困难，观察x的值，发现，对比一元二次方程求根公式，不难发现x是方程x2﹣5x+1＝0的根，所以x2＝5x﹣1，x2+1＝5x，所以原式＝．
（1）以2，﹣3为根的方程可以是 　 　；
（2）已知，请用材料中的方法求代数式的值；
（3）求代数式的值．
28．【问题提出】
苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：
1．如图（1），在⊙O的内接四边形ABCD中，BD是⊙O的直径．∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？
2．如图（2），若圆心O不在⊙O的内接四边形ABCD的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？
（1）小明发现问题1中的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：
∵BD是⊙O的直径，
∴　 　，
∴∠A+∠C＝180°，
∵四边形内角和等于360°，
∴　 　．
（2）请回答问题2，并说明理由；
【深入探究】
如图（3），⊙O的内接四边形ABCD恰有一个内切圆⊙I，切点分别是点E、F、G、H，连接GH，EF．

（3）直接写出四边形ABCD边满足的数量关系 　 　；
（4）探究EF、GH满足的位置关系；
（5）如图（4），若∠C＝90°，BC＝3，CD＝2，请直接写出图中阴影部分的面积．




参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.）
1．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数是（　　）
A．﹣3 B．2 C．﹣1 D．3
【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案．
解：方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数是2，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的一般式，本题属于基础题型．
2．一组数据分别为：2、4、5、1、9，则这组数据的中位数是（　　）
A．3 B．1 C．4 D．5
【分析】根据中位数的定义进行求解即可．
解：把这些数从小到大排列为：1、2、4、5、9，
中位数是4．
故选：C．
【点评】此题考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
3．已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为，则点P在⊙O（　　）
A．上 B．内 C．外 D．内或外
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
解：∵⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为cm，2cm＞cm，
∴点P在圆内．
故选：B．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
4．如果关于x的方程（x﹣4）2＝m﹣1可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m＞1 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1
【分析】根据解一元二次方程﹣直接开平方法得到m﹣1≥0，然后解不等式即可．
解：根据题意得m﹣1≥0，
解得m≥1．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
5．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABC＝110°，则∠AOC的度数是（　　）

A．110° B．120° C．130° D．140°
【分析】利用圆周角定理可得∠1＝2∠ABC＝220°，然后利用周角是360°进行计算即可解答．
解：如图：

∵∠ABC＝110°，
∴∠1＝2∠ABC＝220°，
∴∠AOC＝360°﹣∠1＝140°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
解：2x2+4x﹣1＝0，
2x2+4x＝1，
x2+2x＝，
x2+2x+1＝+1，
（x+1）2＝，
x+1＝±，
x+1＝或x+1＝﹣，
x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
所以，这位同学是乙，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法：当二次项系数化为1时，常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键．
7．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x﹣m+2）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝﹣4，x2＝﹣1 D．无法求解
【分析】把方程a（x﹣m+2）2+b＝0变形为a[（﹣x﹣2）+m]2+b＝0，所以可以把方程a（x﹣m+2）2+b＝0看作关于（﹣x﹣2）的一元二次方程，根据题意得﹣x﹣2＝﹣2或﹣x﹣2＝1，然后解一次方程即可．
解：把方程a（x﹣m+2）2+b＝0变形为a[（﹣x﹣2）+m]2+b＝0，
则方程a（x﹣m+2）2+b＝0看作关于（﹣x﹣2）的一元二次方程，
∵a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∴﹣x﹣2＝﹣2或﹣x﹣2＝1，
解得x1＝0，x2＝﹣3，
即方程a（x﹣m+2）2+b＝0的解是x1＝0，x2＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．利用换元法解方程是解决问题的关键．
8．如图，点O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的中心，连接AD、CD'交于点P，则∠APD'＝（　　）

A．72° B．81° C．76° D．80°
【分析】根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理、三角形内角和定理进行计算即可．
解：如图，连接AC、OA、OC、OD、OD′，⊙O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的外接圆，
∵正方形AB'C'D'内接于⊙O，
∴∠ACD′＝∠AOD′＝×＝45°，
又∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠CAD＝∠COD＝×＝36°，
∴∠APD′＝∠CAD+∠ACD′
＝36°+45°
＝81°，
故选：B．

【点评】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的性质，圆周角定理、三角形内角和定理是正确解答的前提．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。）
9．某地某日最高气温为12℃，最低气温为﹣4℃，则该日气温的极差是 　16　℃．
【分析】根据极差的概念求解．
解：极差＝12﹣（﹣4）＝12+4＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查极差，正确理解极差的概念是解题关键．
10．圆锥侧面积为6πcm2，侧面展开扇形的半径为3cm，则圆锥底圆半径为 　2　cm．
【分析】设圆锥底圆半径为rcm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则根据扇形的面积公式得到得×2π×r×3＝6π，然后解方程即可．
解：设圆锥底圆半径为rcm，
根据题意得×2π×r×3＝6π，
解得r＝2，
即圆锥底圆半径为2cm．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11．一条弦所对的圆心角是100°，那么它所对的圆周角为　50°或130°　．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求解．
解：如图，∠AOB＝100°；
则∠C＝∠AOB＝50°；
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠C＝130°；
因此弦AB所对的圆周角度数为50°或130°．
故答案为50°或130°．

【点评】本题考查了圆周角定理，正确理解弦所对的圆周角分两种情况进行讨论是关键．
12．已知一组数据16，17，18，19，20，则这组数据的方差是 　2　．
【分析】根据题意得出这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可．
解：∵这组数据的平均数是（16+17+18+19+20）÷5＝18，
∴这组数据的方差为：
×[（16﹣18）2+（17﹣18）2+（18﹣18）2+（19﹣18）2+（20﹣18）2]
＝
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了方差：一般地设n个数据，x1，x2，…，xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
13．为了农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地，大力开展种子实验，该实验基地两年前有64种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子，若培育的种子平均每年的增长率为x，则根据题意可列方程是 　64（1+x）2＝100　．
【分析】利用该实验基地现有种子种数＝该实验基地两年前种子种数×（1+培育的种子平均每年的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：根据题意得64（1+x）2＝100．
故答案为：64（1+x）2＝100．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．如图，已知点A，B，C依次在⊙O上，∠B﹣∠A＝30°，则∠AOB的度数为 　60　°．

【分析】设AC与OB相交于点D，利用三角形内角和定理以及对顶角相等可得∠O+∠A＝∠C+∠B，从而可得∠O﹣∠C＝∠B﹣∠A＝30°，然后根据圆周角定理可得∠C＝∠O，从而可得∠O﹣∠O＝30°，进行计算即可解答．
解：如图：设AC与OB相交于点D，

∵∠O+∠A+∠ODA＝180°，∠B+∠C+∠BDC＝180°，∠ADO＝∠BDC，
∴∠O+∠A＝∠C+∠B，
∴∠O﹣∠C＝∠B﹣∠A＝30°，
∵∠C＝∠O，
∴∠O﹣∠O＝30°，
∴∠O＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
15．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、F、G，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DGF的度数是 　50　°．

【分析】连接OD，OF．由三角形内角和定理可求得∠A＝80°，由切线的性质可知：∠ODA＝90°，∠OFA＝90°，从而得到∠A+∠DOF＝180°，故可求得∠DOF＝100°，由圆周角定理可求得∠DGF＝50°．
解：如图，连接OD，OF，

∵∠B＝60°，∠C＝40°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
∵AB是圆O的切线，
∴∠ODA＝90°．
同理∠OFA＝90°．
∴∠A+∠DOF＝180°．
∴∠DOF＝100°．
∴∠DGF＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得∠DOF的度数是解题的关键．
16．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0的根的存在情况是 　没有实数根　．

【分析】先根据函数y＝kx+b的图象可得；k＜0，再根据一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0中，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（1﹣k）＝4k＜0，即可得出答案．
解：根据函数y＝kx+b的图象可得；k＜0，b＞0，
则一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0中，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（1﹣k）＝4k＜0，
则一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0中根的存在情况是没有实数根，
故答案为：没有实数根．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点是一次函数图象的性质，关键是根据函数图象判断出Δ的符号．
17．如图，矩形ABCD，过B、C两点的⊙O恰好与AD相切，若AB＝4，BC＝6，则⊙O的半径为 　　．

【分析】先确定圆的圆心O，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
解：作线段BC的垂直平分线交AD于E，交BC于F，作BE的垂直平分线交EF于O，
则OE＝OB＝OC，
∵OE⊥AD，
∴⊙O恰好与AD相切，
在Rt△OBF中，OB2＝OF2+BF2，即OB2＝（4﹣OB）2+32，
解得：OB＝，
故答案为：．

【点评】本题考查的是切线的性质、矩形的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
18．新定义，若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”．那么代数式ax2+bx+2022能取得最大值是 　2023　．
【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值．
解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”，
∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1，
∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7，
∴，
解得：，
∴ax2+bx+2022
＝﹣x2+2x+2022
＝﹣（x﹣1）2+2023，
∴当x＝1时，ax2+bx+2022取得最大值为2023．
故答案为：2023．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分。）
19．解方程：
（1）x2﹣x＝0；
（2）（x﹣2）2﹣5（x﹣2）+6＝0．
【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x＝0或x﹣1＝0，然后解一次方程即可；
（2）把方程看作关于x﹣2的一元二次方程，再利用因式分解法把方程转化为x﹣4＝0或x﹣5＝0，然后解一次方程即可．
解：（1）x2﹣x＝0；
x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝1；
（2）（x﹣2）2﹣5（x﹣2）+6＝0．
（x﹣2﹣2）（x﹣2﹣3）＝0，
x﹣2﹣2＝0或x﹣2﹣3＝0，
所以x1＝4，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20．某食品商店将甲、乙、丙3种糖果的质量按5：4：1配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为16元/kg、20元/kg、27元/kg．若将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的单价．
【分析】根据加权平均数的概念进行解答即可．
解：这样定价不合理，理由如下：
加权平均数：＝16×+20×+27×
＝18.7（元/kg）．
算术平均数＝＝21（元/kg），
21＞18.7，
∴将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数不合理，
答：该什锦糖果合理的单价为18.7元/kg．
【点评】本题考查了加权平均数的计算公式，熟知加权平均数的概念，正确列出算式是解题的关键．
21．某校为了提升九年级学生的身体素质，释放学业压力，锻炼意志，激发进取精神，开展“奔跑吧，你最棒”活动，每天利用大课间让学生在操场上伴随着音乐进行800米跑步．为了解学生跑步后身体状况，随机抽取部分学生测量跑步后1min的脉搏次数，其中脉搏次数x满足140≤x＜150的结果如下（单位：次）：
149 148 147 146 146 144 144 143 141 149 144
根据以上信息回答下列问题：
（1）填写表格：
脉搏次数x（次/分）
130≤x＜140
140≤x＜150
150≤x＜160
160≤x＜170
频数
5
11
21
13
频率
0.1

0.42
0.26
（2）脉搏次数x满足140≤x＜150的这组数据，众数是 　144　；
（3）根据运动后正常脉搏公式可知：九年级学生800米跑步后1分钟脉搏次数130≤x＜160都属于身体素质较好的情况，如果该校九年级有300名学生，那么身体素质较好的学生大约有多少人？
【分析】（1）先根据第一组的频数和频率求出总人数，再用11除以总人数即可；
（2）根据众数的定义即可求出答案；
（3）用样本估计总体即可．
解：（1）∵总人数为＝50（人），
∴＝0.22，
如下表所示：
脉搏次数x（次/分）
130≤x＜140
140≤x＜150
150≤x＜160
160≤x＜170
频数
5
11
21
13
频率
0.1
0.22
0.42
0.26
（2）脉搏次数x满足140≤x＜150的这组数据中，144的最多有3个，所以众数为144；
故答案为：144；
（3）300×（0.1+0.22+0.42）＝222（人），
答：体素质较好的学生大约有222人．
【点评】本题考查了频数（率）分布表，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知5是关于x的方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝k2+8＞0，由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；
（2）先把x＝5代入方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0得k＝，则方程为x2﹣x+＝0，利用因式分解法解方程，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+2），c＝k﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（k﹣1）
＝k2+8，
∵k2+8＞0，
∴Δ＞0，
∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：把x＝5代入方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0
得25﹣5k﹣10+k﹣1＝0，
解得，
方程为，
解得，x2＝5，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
所以这个等腰三角形三边分别为、5、5，
因为+5+5＝，
所以△ABC的周长为．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，2），B（0，4），C（4，4）．
（1）△ABC外接圆的圆心P坐标为 　（2，0）　，外接圆的半径是 　2　；
（2）作出弧AC，并求弧AC的长度．

【分析】（1）线段AB，BC的垂直平分线的交点即为所求；
（2）根据弧长公式计算即可．
解：（1）如图，⊙P即为△ABC的外接圆，P（2，0），外接圆的半径PA＝＝2；
故答案为：（2，0），2；
（2）如图，弧AC即为所求，
∵PA＝PC＝＝2，AC＝＝2，
∴PA2+PC2＝AC2，
∴∠APC＝90°，
∴弧AC的长度＝＝π．

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，弧长的计算等知识，正确地作出图形是解题的关键．
24．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，且DE平分∠AEC，作△ABE的外接圆⊙O．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CD＝3，求DE的长．

【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到OD⊥DC，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点O作OF⊥BE于F，根据勾股定理求出EF，进而求出EC，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵DE平分∠AEC，
∴∠DEC＝∠OED，
∴∠ODE＝∠DEC，
∵∠C＝90°，
∴∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠CDE+∠ODE＝90°，
∴OD⊥DC，
∵OD是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OF⊥BE于F，
则四边形OFCD为矩形，
∴OF＝CD＝3，CF＝OD＝5，
由勾股定理得：EF＝＝4，
∴EC＝CF﹣EF＝1，
∴DE＝＝．

【点评】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
25．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，如果按每件50元销售，那么可卖出200件．通过市场调查发现，售价每增加1元，销售量减少10件．如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利2000元．问：该商品每件售价多少元？
【分析】设该商品每件售价为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，可售出200﹣10（x﹣50）＝（700﹣10x）件，利用总利润＝每件的销售利润×销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设该商品每件售价为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，可售出200﹣10（x﹣50）＝（700﹣10x）件，
根据题意得：（x﹣40）（700﹣10x）＝2000，
整理得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60．
答：该商品每件售价为50元或60元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．数学兴趣小组的同学在探究等分问题的过程中，得到了很多成果．
成果一：制作了三分角仪．图（1）是示意图，点B在半径OC的延长线上，CD⊥OC，BC＝OC，CD足够长．若要将∠GAH三等分，只需要适当放置三分角仪，使点A在CD上，点B落在AG上，当AH与半⊙O相切时，AC、AO就将∠GAH三等分了；
成果二：创造了只用圆规将圆四等分的方法．如图（2），具体步骤为：①将⊙O六等分，等分点分别是点A、B、C、D、E、F；②分别以点A、D为圆心，AE长为半径作弧，交于点G；③以点A为圆心，OG长为半径作弧，交⊙O于点M、N，则点A、M、D、N将⊙O四等分．

（1）请你说明三分角仪的正确性；
（2）证明点A、M、D、N是⊙O四等分点．

【分析】（1）先利用AC垂直平分OB得到AB＝AO，则AC平分∠BAO，再根据切线长定理得到OA平分∠CAH，即∠OAC＝∠OAH，于是判断AC、AO将∠GAH三等分；
（2）如图（2），连接DE、AE、AG、AM、AN、OG，设⊙O的半径为r，先证明为半圆，∠DAE＝30°，则AD为直径，所以∠AED＝90°，再计算出DE＝r，AE＝r，利用由作法得AG＝DG＝AE＝r，AM＝AN＝OG，则OG⊥AD，接着利用勾股定理计算出OG＝r，所以AM＝AN＝r，则可判断△OAM为等腰直角三角形，所以∠AOM＝90°，则M点为的中点，同理可得N点为的中点．
【解答】证明：（1）∵CD⊥OC，BC＝OC，
即AC垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∵AC⊥OB，
∴AC平分∠BAO，
∴∠BAC＝∠OAC，
∵OC⊥AC，
∴AC为⊙O的切线，
∵AH与半⊙O相切，
∴OA平分∠CAH，
∴∠OAC＝∠OAH，
即AC、AO将∠GAH三等分；
（2）如图（2），连接DE、AE、AG、AM、AN、OG，设⊙O的半径为r，
∵点A、B、C、D、E、F为⊙O六等份点，
∴为半圆，∠DAE＝30°，
∴AD为直径，
∴∠AED＝90°，
∴DE＝r，AE＝r，
由作法得AG＝DG＝AE＝r，AM＝AN＝OG，
∴OG⊥AD，
在Rt△AOG中，OG＝＝r，
∴AM＝AN＝r，
∴△OAM为等腰直角三角形，
∴∠AOM＝90°，
∴M点为的中点，
同理可得N点为的中点，
∴点A、M、D、N是⊙O四等分点．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线长定理和正多边形和圆．
27．阅读下面材料，回答下列问题：
构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法．构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决．
材料：已知，求代数式的值；
分析：这道题如果将代数式化简，再直接将x代入求值比较困难，观察x的值，发现，对比一元二次方程求根公式，不难发现x是方程x2﹣5x+1＝0的根，所以x2＝5x﹣1，x2+1＝5x，所以原式＝．
（1）以2，﹣3为根的方程可以是 　2（x﹣2）（x+3）＝0　；
（2）已知，请用材料中的方法求代数式的值；
（3）求代数式的值．
【分析】（1）写出一个满足条件的方程即可；
（2）x是方程的根，可得，把所求式子变形再整体代入即可；
（3）设，知x是方程x2﹣x+a＝0的根，可得x2﹣x＝﹣a，再代入可得答案．
解：（1）以2，﹣3为根的方程可以是2（x﹣2）（x+3）＝0，
故答案为：2（x﹣2）（x+3）＝0，
（2）∵，
∴，
∴x是方程的根，
∴，
∴
＝
＝
＝；
（3）设，
∴，
∵，
∴x是方程x2﹣x+a＝0的根，
∴x2﹣x＝﹣a，
∴x3﹣x2+ax﹣2
＝x（x2﹣x）+ax﹣2
＝﹣ax+ax﹣2
＝﹣2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，涉及分式，一元二次方程等知识，解题的关键是读懂题意，仿照阅读材料的方法解决问题．
28．【问题提出】
苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：
1．如图（1），在⊙O的内接四边形ABCD中，BD是⊙O的直径．∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？
2．如图（2），若圆心O不在⊙O的内接四边形ABCD的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？
（1）小明发现问题1中的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：
∵BD是⊙O的直径，
∴　∠A＝∠C＝90°　，
∴∠A+∠C＝180°，
∵四边形内角和等于360°，
∴　∠ABC+∠ADC＝180°　．
（2）请回答问题2，并说明理由；
【深入探究】
如图（3），⊙O的内接四边形ABCD恰有一个内切圆⊙I，切点分别是点E、F、G、H，连接GH，EF．

（3）直接写出四边形ABCD边满足的数量关系 　AD+BC＝AB+CD　；
（4）探究EF、GH满足的位置关系；
（5）如图（4），若∠C＝90°，BC＝3，CD＝2，请直接写出图中阴影部分的面积．


【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，四边形的内角和定理进行求解即可；
（2）连接AC、BD，根据同弧所对的圆周角相等，三角形的内角和定理进行求解即可；
（3）连接AI、BI、CI、DI，根据切线长定理进行求解即可；
（4）连接EH、IH、IG、IF、GF，根据切线的性质，四点共圆的性质可得∠GIF＝∠ADC，再由同弧所对的圆周角相等，可得∠GFE＝∠GHE，根据三角形内角和定理，可得∠DEH＝∠GFE，则∠FEH+∠EHG＝∠FEH+∠IEF+∠DEH＝∠EID＝90°，即可证明EF⊥GH；
（5）连接BD，可得BD是圆O的直径，连接IF、IH，先推导出∠BIF+∠DIH＝90°，再证明四边形IHCF是正方形，可得∠HIF＝90°，即可知I点在BD上，根据已知求出S四边形ABCD＝3×2＝6，通过证明△DHI∽△IFB，求出IH＝，可求S⊙I＝π，则阴影部分的面积＝6﹣π．
解：【问题提出】（1）∵BD是⊙O的直径，
∴∠A＝∠C＝90°，
∴∠A+∠C＝180°，
∵四边形内角和等于360°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°；
故答案为：∠A＝∠C＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）成立，理由如下：
连接AC、BD，
∵∠DAC＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，
∴∠DAC+∠ACD＝∠DBC+∠ABD＝∠ABC，
∵∠DAC+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°；
同理，∠BAD+∠BCD＝180°；
【深入探究】（3）AD+BC＝AB+CD，理由如下：
连接AI、BI、CI、DI，
∵圆I是四边形ABCD的内切圆，
∴AG＝AE，DE＝DH，CH＝CF，BF＝BG，
∴AD+BC＝AE+ED+BF+CF＝AG+DH+BG+CH＝AB+CD，
即AD+BC＝AB+CD，
故答案为：AD+BC＝AB+CD；
（4）EF⊥GH，理由如下：
连接EH、IH、IG、IF、GF，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
∵BG⊥IG，IF⊥BF，
∴∠BGI＝∠IFB＝90°，
∴∠B+∠GIF＝180°，
∴∠GIF＝∠D，
∵GI＝IF，
∴∠GFI＝90°﹣∠GIF，
∵ED＝DH，
∴∠DEH＝90°﹣∠D，
∴∠GFI＝∠DEH，
∵＝，
∴∠GFE＝∠GHE，
∴∠GHE＝∠GFI+∠IFE，
∵IF＝IE，
∴∠IFE＝∠IEF，
∴∠FEH+∠EHG＝∠FEH+∠IEF+∠DEH＝∠EID＝90°，
∴EF⊥GH；
（5）连接BD，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝90°，
∵ABCD是圆O的内接圆，
∴BD是圆O的直径，
连接IF、IH，
∵I是四边形ABCD的内切圆圆心，
∴∠ADI＝∠IDH，∠ABI＝∠FBI，
∵IH⊥CD，IF⊥BC，
∴∠BIF＝90°﹣∠IBF，∠DIH＝90°﹣∠IDH，
∴∠BIF+∠DIH＝180°﹣（∠IBF+∠IDH）＝180°﹣（∠ADC+∠ABC），
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BIF+∠DIH＝90°，
∵IF⊥FC，IH⊥CD，∠C＝90°，IH＝IF，
∴四边形IHCF是正方形，
∴∠HIF＝90°，
∴I点在BD上，
∵BC＝3，CD＝2，
∴S四边形ABCD＝3×2＝6，
∵∠DIH+∠IDH＝90°，∠IBF+∠IDH＝90°，
∴∠DIH＝∠IBF，
∵∠IHD＝∠IFB＝90°，
∴△DHI∽△IFB，
∴＝，即＝，
解得IH＝，
∴S⊙I＝π，
∴阴影部分的面积＝6﹣π．




【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握四边形的内切圆性质，外接圆性质，三角形相似的判定及性质，切线的性质，四点共圆的性质是解题的关键．