浙江省宁波七中教育集团2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年浙江省宁波七中教育集团八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列长度的三段钢条，不能组成一个三角形框架的是单位：(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 已知，下列不等式中，不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，平分，，则点到的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 对于命题“若，则”，下面四组关于，的值中，能说明这个命题是假命题的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6. 点在轴上方，轴左侧，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，为数轴原点，，两点分别对应，，作腰长为的等腰，连结，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点对应的实数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 把一些书分给几名同学，若每人分本，则书本有剩余，条件若根据题意，设有名同学，可得到符合题意的不等式，则“条件”可以是(    )

A. 每人分本，则剩余本
B. 每人分本，则剩余的书可多分给个人
C. 每人分本，则还差本
D. 其中一个人分本，则其他同学每人可分本

9. 如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：；；平分；其中正确结论的个数有(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，中，，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、则等于(    )
     

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共10小题，共30分）

11. “的倍与的和比小”用不等式表示为______ ．
12. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是______命题．填“真”或“假”
13. 如图，，请添加一个条件不得添加辅助线，使得≌那么可添加条件为______ ．

14. 直角三角形的两条直角边为和，则斜边上的中线长是______．
15. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数的值为______．
16. 已知关于的不等式组有解，则实数的取值范围是______．
17. 如图，已知，点，，，，在射线上，点，，，在射线上，，，，均为等边三角形，若，则的边长为______．

18. 如图，在中，，点在内，平分，连结，把沿折叠，落在处，交于，恰有若，，则______．

19. 若关于的不等式组的整数解为，，，求适合条件的有序整数对的个数______．
20. 周长为，各边互不相等且都是整数的三角形共有______个．

三、解答题（本题共7小题，共50分）

21. 计算：
    解不等式；
    解不等式组．
22. 已知：如图，点，在上，，，求证：．

23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标，，．
    请在图中画出关于轴对称的图形其中，，分别是，，的对应点，不写画法；
    直接写出，，三点的坐标：______，______，______；
    在轴上找一点，使得最小，这个最小值为______．

24. 为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买、两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元．
    求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？
    该小区计划用不多于元的资金购买、两种型号的垃圾箱共个，且型号垃圾箱个数不多于型垃圾箱个数的倍，则该小区购买、两种型号垃圾箱的方案有哪些？
25. 如图，在中，，为边的中点，，分别在，上，于点．
    求证：是等腰三角形．
    求的最小值．

26. 概念学习
    规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
    从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
    理解概念：如图，在中，，，和 ______填“是”或者“不是”等角三角形．
    概念应用：如图，在中，为角平分线，，求证：为的等角分割线．
    在中，，是的等角分割线，直接写出的度数．

27. 如图，在中，，，，，点，分别在，边上，且，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，能组成三角形，不合题意；
B、，能组成三角形，不合题意；
C、，不能组成三角形，符合题意；
D、，能组成三角形，不合题意．
故选：．
根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．
此题主要考查了三角形三边关系，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
根据不等式的性质可得，，
选项A不符合题意；
，
根据不等式的性质可得，，
选项B符合题意；
，
根据不等式的性质可得，，
选项C不符合题意；
，
根据不等式的性质可得，，
选项D不符合题意，
故选：．
运用不等式的基本性质判定即可．
此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能根据各选项选择对应的性质，并进行正确的辨别．
 

4.【答案】 

【解析】解：作于，如图，

平分，，，
，
故选：．
根据角平分线的性质作答即可．
本题考查角平分线的性质，能够正确理解距离的概念是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立。
说明命题为假命题，即、的值满足，但不成立，把四个选项中的、的值分别代入验证即可．
【解答】
解：、，，且，满足“若，则”，故A选项不符合题意；
B、，，且，此时虽然满足，但不成立，故B选项符合题意；
C、，，且，满足“若，则”，故C选项不符合题意；
D、，，此时不满足，故D选项不符合题意．
故选B．  

6.【答案】 

【解析】解：点在轴上方，轴左侧，
点在第二象限，
点距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
故选：．
依据点在轴上方，轴左侧，先判断出点在第二象限，再根据点距离轴个单位长度，距离轴个单位长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：为等腰三角形，，
，
在中，，
以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，
，
点对应的数为．
故选：．
先利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后利用画法可得到，于是可确定点对应的数．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么也考查了等腰三角形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：由不等式，可得：把一些书分给几名同学，若每人分本，则书本有剩余，每人分本，则剩余的书可多分给个人．
故选：．
根据不等式表示的意义解答即可．
本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过作于点，于点，

，
，
在和中，
，
≌，
，，故正确；
，
，
，
，
，
，故正确；
≌，
，，
，，
，
平分，
，
，
，故正确；
没有足够的条件证明，
不一定平分，故不正确；
故选：．
过作于点，于点，证明≌，利用全等三角形的性质一一判断即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，有一定难度，解题关键是用的面积表示出．
过作的垂线交于，通过证明；；，进而即可求解．
【解答】
解：过作的垂线交于，

由题意，，，，
≌，
，，，
≌，
所以．
≌，
，，
，，
，
≌，
．
，，，
≌，
．
同理可证：≌，
，
，
故选B．  

11.【答案】 

【解析】解：依题意得．
故答案为：．
根据“的倍与的和比小”，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

12.【答案】假 

【解析】

【分析】
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，如果能就是真命题．
【解答】
解：“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，
根据全等三角形的定义，不符合要求，因此是假命题．
故答案为：假．  

13.【答案】 

【解析】解：添加理由如下：
在与中，
，
≌．
故答案为．
已知，公共，那么这两个三角形的一条边与一个角对应相等，所以根据全等三角形的判定，可以再添加一个对应角相等．本题答案不唯一．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理得，斜边为：，
斜边上的中线为．
故答案为：．
根据勾股定理求得斜边为，再通过斜边上的中线等于斜边的一半得中线长为．
本题主要考查了勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
整数的值为，
故答案为：．
根据第二象限的点的横坐标小于，纵坐标大于列出不等式组，然后求解即可．
本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组有解，
，
故答案为：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由，可求得，
的边长，，的边长，的边长，可归纳得，
的边长为，
故答案为：．
由，可求得，的边长为，，的边长为，的边长为，可归纳得，即可求得此题结果．
此题考查了图形变化类规律归纳能力，关键是能根据图形进行猜想、验证、归纳规律．
 

18.【答案】 

【解析】解：延长，交于点，

，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
．
．
故答案为：．
延长，交于点，由等腰三角形的性质可得出，，，证明是等腰直角三角形，可求出，则根据三角形面积求出的值，即可得解．
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
不等式组，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为． 

【解析】不等式去括号，移项，合并，把系数化为，即可求出解；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据证明≌，由全等三角形的性质即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考基础题．
 

21.【答案】，  ，  ，  

【解析】解：如图所示，即为所求；

，，，
故答案为：，，；
如图所示，点即为所求，
最小值即为线段的长，
故答案为：．
根据轴对称的性质找出对应点即可求解；
根据图形直接写出坐标；
连接交轴于点，则点即为所求，再根据勾股定理求出的即可．
本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元．
依题意，得：，
解得：．
答：每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元；
设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱．
依题意，得：，
解得：．
又为整数，可以为，，，
有种购买方案：方案：购买个型垃圾箱，购买个型垃圾箱；
方案：购买个型垃圾箱，购买个型垃圾箱；
方案：购买个型垃圾箱，购买个型垃圾箱． 

【解析】设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据“购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买型垃圾箱个，则购买型垃圾箱个，根据“购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元”列出不等式组，求出的范围，可得出答案．
本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找准数量关系，正确列出二元一次方程组与不等式组．
 

23.【答案】证明：连结，
，，
，
为边的中点，
，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是等腰三角形．
解：，，
，
，
取中点，连结、，
，
，
，
，
，
的最小值为． 

【解析】连结，由，，得，由为边的中点，得，，，由，得，即可根据全等三角形的判定理“”证明≌，得，则是等腰三角形；
先根据勾股定理求得，则，取中点，连结、，则，所以，由，得，即可求得的最小值为．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】是 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
和是等角三角形；
证明：，，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
，，，
为的等角分割线；
解：当是等腰三角形时，
如图，

当时，则，
，
当时，
，和是等角三角形；
如图，

当时，则，
当时，
，和是等角三角形，
当时，这种情况不存在，
如图，

当时，是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
如图，

当，时，
，
由得，
，
，
，
当是等腰三角形时，时，这种情况不存在，
综上所述：或或或．
推出，，，从而得出结论；
可计算得出，，，，从而得出结论；
分为当是等腰三角形和是等腰三角形，当是等腰三角形时，再分为：，，三种情形讨论，同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论．
本题是在新定义的基础上，考查了等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类．
 

25.【答案】 

【解析】解：由题意可得：
，
的整数解为、、、、、、、、，
的整数解为、、、、、、、，
适合条件的有序整数对的个数为个，
故答案为．
首先根据题意求出、的值，然后可得问题答案．
本题考查一元一次不等式组的综合应用，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：设三角形三边为、、，且．
，，
，
为整数，
为，，，，
当为时，有个三角形，分别是：，，；，，；，，；，，；，，；
当为时，有个三角形，分别是：，，；，，；，，；，，；
当为时，有个三角形，分别是：，，；，，；
当为时，有个三角形，分别是：，，；
故答案为：．
不妨设三角形三边为、、，且，由三角形三边关系定理及题设条件可确定的取值范围，以此作为解题的突破口．
此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．
 

27.【答案】解：过点作，使，作交的延长线于点，连结、，
，，
，
，
，且，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
的最小值是． 

【解析】过点作，使，作交的延长线于点，连结、，则，，所以，得，即可根据勾股定理求得，则，进而由勾股定理求得，再证明≌，得，则，由，得，即可求得的最小值是．
此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．