专题08 导数的几何意义（切线问题）（学生版+教师版）

这是一份专题08 导数的几何意义（切线问题）（学生版+教师版），文件包含专题08导数的几何意义切线问题教师版docx、专题08导数的几何意义切线问题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
专题8 导数的几何意义（切线问题）
一、考情分析

二、考点梳理
1、切线的定义：在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A.这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线.
（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A附近的点向不断接近，当与距离非常小时，观察直线是否稳定在一个位置上.
（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数在处的切线，与曲线有两个公共点.
（3）在定义中，点不断接近包含两个方向，点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如在处，通过观察图像可知，当左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为，而当右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为，两个不同的方向极限位置不相同，故在处不含切线.
（4）由于点沿函数曲线不断向接近，所以若在处有切线，那么必须在点及其附近有定义（包括左边与右边）
2、函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：
（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置.故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数.
（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数.例如前面例子在处不存在导数.此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可.
（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在.例如：在处不可导.
综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的点存在切线，但没有导数.由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数.
三、题型突破
重难点题型突破1 在某点的切线方程
例1．（1）、（2021·青铜峡市高级中学高三月考（理））已知函数在R上满足，则曲在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据求出函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得到在点处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程.
【详解】
，.
.
将代入，得，
，，
在处的切线斜率为，
函数在处的切线方程为，即.
故选：A.
（2）、（2021·全国高三月考（文））函数的图象在处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】
利用导数的几何意义，求在处的切线方程即可.
【详解】
，
，可得，又，
在处的切线方程为，即.
故答案为：
【变式训练1-1】．（2020·河南省实验中学高三二测）已知函数，若函数在处的切线方程为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
∵，
∴，解得，∴，
∴.故选：B。
【变式训练1-2】．（2020届四川省成都市高三第二次诊断）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由已知，，故切线的斜率为，所以切线方程为，
即，故选D。
【变式训练1-3】．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
又故切线方程为，整理为。
重难点题型突破2 过某点的切线方程
例2．（1）、（2018·义乌市义亭中学高二期中）已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数的值是（ ）
A．6 B．9 C．﹣6 D．﹣9
【答案】B
【分析】
设出切点为，利用导数表示出切线斜率及切线方程，把代入求出x0，可以得到斜率，即为a的值.
【详解】
设切点为，因为，所以
所以在点处的切线方程为,把点A(0,16)代入,得,解得.
所以过点A(0,16)的切线方程为，
∴a=9.
故答案为：9.
（2）、（2022·全国高三专题练习）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则（ ）
A． B． C．e2 D．
【答案】C
【分析】
首先利用导数的几何意义得到切线为，设的切点为，从而得到，代入切线得到切点为，再代入即可得到答案.
【详解】
，，所以切点.
，，切线，即.
设的切点为，
，，所以.
将代入切线得：，的切点为，
将代入得：，解得.
故选：C
【变式训练2-1】．（2020·铜梁中学校高三期中）已知过点可作两条不同的直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设切点坐标为，求出切线的方程，将点的坐标代入切线方程得出关于的二次方程由两个不等的实根，可得出，由此可求得实数的取值范围.
【详解】
设切点坐标为，对函数求导得，切线斜率为，
切线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程可得，化简可得，
由题意可知，关于的二次方程由两个不等的实根，则，
解得或.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用过点引切线的条数求参数的取值范围，解题的关键在于将切线的条数转化为切点的个数问题，进而等价转化为方程的根的个数问题求解.
【变式训练2-2】．（2022·全国高三专题练习）已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为_______________________．
【答案】
【分析】
对函数求导，设切点坐标，表示出与，根据导数的几何意义写出切线方程，且该直线过点，代入求解出的值，即可得切线方程.
【详解】
，设切点坐标为，则，，所以切线方程为，且该直线过点，所以，得，得，所以切线方程为.
故答案为：
【点睛】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
重难点题型突破3 综合问题
例3．（1）、（2021·广东实验中学附属天河学校）已知k为常数，函数，若关于x的函数有4个零点，则实数k的取值范围为________.
【答案】
【分析】
将x的函数有4个零点，转化为与有4个不同的交点，然后利用数形结合法求解.
【详解】
因为函数有4个零点，
所以与有4个不同的交点，
在同一坐标系中作出与的图象，如图所示：

当时，单调递减，
与有一个交点，则；
所以当时，有3个交点，
求出与相切时的k值，
当时，设切点为，
所以，则，
所以切线方程为，
又因为点在切线上，
所以则，
解得，
所以，
由图像知有4个零点，
则，
故答案为：
【点睛】
方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
（2）. 己知曲线上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，即有两个解，且均大于零。即，
，解得,选A.
（3）．（2021·江西临川一中高二月考（理））已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
函数的图象在点处的切线与直线平行，利用导函数的几何含义可以求出，转化求解数列的通项公式，进而由数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可．
【详解】
解：∵函数的图象在点处的切线与直线平行，
由求导得：，
由导函数得几何含义得：，可得，∴，
所以，∴数列的通项为，
所以数列的前项的和即为，
则利用裂项相消法可以得到：
所以数列的前2021项的和为：.
故选：A.
【变式训练3-1】．（2021·全国）已知定义在上的函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
将问题转化为与恰有两个不同的交点的问题；分别在、和三种情况下，结合导数几何意义可确定切线方程，由数形结合的方式可求得结果.
【详解】
恰有个零点等价于与恰有两个不同的交点；
由解析式可得图象如下图所示：

①当时，与恰有两个不同交点，符合题意；
②当时，，设直线与相切于点，
，，又，，解得：，
此时，解得：；

由图象可知：当且仅当时，与恰有两个不同交点；
③当时，，设直线与相切于点，
，，解得：；

由图象可知：当时，与恰有两个不同交点，；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
【变式训练3-2】．（2021·曲周县第一中学高二月考）设曲线上任一点处的切线的斜率为则函数的部分图象可以为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用导数几何意义可得，令，利用奇偶性可排除BD；根据时可排除C.
【详解】
由题意得：，，
令，则，
为定义在上的奇函数，图象关于原点对称，可排除BD；
当时，，，则，可排除C.
故选：A.
【变式训练3-3】． （湖南省长沙市长郡中学2021届高三期中）设直线，分别是函数，图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，的面积的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意可知，，且明显地，分别在分段函数的两段上
设，且
， ，即：
方程为：；方程为：
，
联立可得点横坐标为：

且在上单调递减
，即的面积的取值范围为：
本题正确结果：。
四、迁移应用
一、单选题
1．（2022·全国高三专题练习）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据导数的几何意义写出函数在点、处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，判断单调性，可得出的取值范围．
【详解】
解：当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，，，为该函数图象上的两点，且，
当，或时，，故，
当时，函数在点，处的切线方程为：
；
当时，函数在点，处的切线方程为．
两直线重合的充要条件是①，②，
由①及得，由①②令，则，
且，记
导数为，且在恒成立，
则函数在为减函数，
，
∴实数的取值范围是．
故选：B
2．（2021·榆林市第十中学高三月考（文））若直线与曲线相切，则直线的斜率的最大值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由导数的几何意义可知直线的斜率即为，求出表达式，再利用基本不等式求最大值即可求解.
【详解】
本题考查导数的几何意义，基本不等式的应用．
由可得
因为，当且仅当即，时等号成立，
所以，
所以直线的斜率的最大值为，
故选：C.
3．（2022·全国高三专题练习）已知为奇函数，且时，，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先根据奇函数的性质求解当时，再根据导数的几何意义求解即可
【详解】
由为奇函数，且时，，可得当时，，则，解得.故曲线在点处的切线方程为，即.
故选：C.
4．（2021·江西高三月考（文））设函数的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k=g(t)的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
求出的导函数得函数g(t)，再判断g(t)的奇偶性及在上的函数值和极值点位置即可判断作答.
【详解】
由求导得：，
于是得，显然，即函数k=g(t)是偶函数，C选项不满足；
当时，，且有，则B选项不满足；
当时，，由得，从而得g(t)在上的极小值点，选项D不满足，
所以函数k=g(t)的图象大致为选项A.
故选：A
5．（2021·南昌市豫章中学高三开学考试（文））点是曲线上的点，是直线上的点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设与直线平行的直线与曲线相切于点，则两平行线间的距离最小，求出最小值即可.
【详解】
设与直线平行的直线与曲线相切于点，
则两平行线间的距离即为的最小值，
因为，所以，解得，
所以，即，
所以曲线的切线为，
由平行线间的距离公式可得的最小值为．
故选：A．
6．（2021·广东汕尾·高二期末）若直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】
求出函数的导数，由导数值为1求得切线点坐标（横坐标），再由切线得纵坐标，代入函数式可得值．
【详解】
由得，，即，
易知函数在上是增函数，所以方程有唯一解，
在直线中，代入得，所以切点为，
所以，．
故选：D．
7．（2021·山东省淄博实验中学高三月考）函数的图象存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意将问题转化为“有解”，由此得到在上有解，根据的取值范围求解出的取值范围即可.
【详解】
因为的图象存在与直线垂直的切线，且直线的斜率为，
所以的图象存在斜率为的切线，
所以有解，所以在上有解，
所以在上有解，
因为，所以，
故选：C.
8．（2021·全国（理））已知函数，且曲线点处的切线方程为，则实数和的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】
对函数求导得，进而得到,，即可得到答案；
【详解】
由已知可得，，，
，，
故选：B．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.
9．（2020·广西（理））设直线，分别是函数，图象上点，处的切线，且与垂直相交于点，，分别与轴相交于点A，，则的面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先设切点，依题意得到和切线方程，再令得到点A，，，联立直线得到P点横坐标，即得，根据求得面积范围即可.
【详解】
设，
当时，，；当时，，.
的斜率为，，的斜率为，，
由与垂直知，即，
直线的方程为，即，则点，
直线的方程为，即，由得，则点，所以，
联立直线方程，消去y得P点横坐标，
所以的面积，，
因为对勾函数在是单调递减的，取值范围为，故，即.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：
求曲线切线方程的一般步骤：
（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；
（2）由点斜式求得切线方程.
10．（2021·安徽省舒城中学（理））已知函数，若方程有4个零点，则a的可能的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】
先画出函数图象，由图可知方程有4个零点，只需a小于在区间上的过坐标原点的切线的斜率即可，然后利用导数的几何意义求解
【详解】
解：根据函数的解析式可知，函数的图象如下：


要使方程有4个零点，则的图象与直线有4个不同的交点，
所以只需a小于在区间上的过坐标原点的切线的斜率即可.由，得，设切点坐标为，则切线方程为，又切线过，所以，解得，
故此时切线的斜率为，故，结合选项知，选：A.
故选：A
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
11．（2020·安徽高三月考（文））已知函数与存在公切线，则实数a的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别求出函数与的导数，设出切点写出切线方程，利用对应系数相等列出方程，构造函数，利用导数判断出单调性求出最值，可得实数a的最小值．
【详解】
，
设和的切点分别为，则和切线方程分别为，
即与存在公切线，则方程有解，即，
在上递减，在递增，在处取到最小值，∴的最小值为，即a的最小值为．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查导数研究函数的单调性和最值，解决本题的关键点是利用点斜式方程写出切线，列出方程，并构造函数求出导函数得出单调性和最值，可得a的最小值，考查学生计算能力，属于中档题．
12．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学）已知函数若函数有四个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
转化条件得直线与函数的图象有四个交点，作出函数图象，结合导数的几何意义，数形结合即可得解.
【详解】
函数有四个零点等价于方程有四个解，
即直线与函数的图象有四个交点，
因为直线过定点，
在同一直角坐标系中作出直线与函数的图象，如下图所示，
当直线过原点时，；
当直线与函数的图象相切时，
对函数求导得，
设切点为，则，解得，，
数形结合可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，
即函数有四个零点.
故选：B.

【点睛】
本题考查了函数与方程的综合应用，考查了导数几何意义的应用及数形结合思想，属于中档题.
13．（2020·河北高三（理））已知函数有两个零点，则实数k的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．或
【答案】D
【分析】
令，问题可转化为有两个不等实根，通过图象观察可求出.
【详解】
令，
问题可转化为有两个不等实根，
即与有两个交点，．
作出图象：

设过原点的直线与的切点为，斜率为，
则切线方程为，
把代入，可得，即，切线斜率为，
设与相切，则，，得，
由图可得实数k的取值范围为或．
故选:D．
【点睛】
本题考查函数零点问题，利用图象的交点是解决此类问题的有效办法，属于中档题.
二、填空题
14．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）（文））曲线在点处的切线与曲线的公共点个数为_______.
【答案】2
【分析】
先对函数曲线进行求导可得到，即为切线的斜率，根据点斜式求得切线方程，将曲线方程和切线方程联立求得交点坐标，便可求得答案.
【详解】
解：由题意知，
切线方程为，即
于是联立可得方程
得，因式分解后可得
解得或
于是可以解得或
即所求切线与曲线的交点为，共2个.
故答案为：2
15．（2021·太原市第五十六中学校（理））曲线在点处的切线方程为________.
【答案】
【分析】
根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式即可写出切线方程.
【详解】
，
，
又，，
，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
故答案为：.
16．（2021·重庆市江津中学校高二月考）曲线的切线中，斜率最小的切线方程为______．
【答案】
【分析】
先计算，再由基本不等式求出的最小值以及此时的值，即可得切点和斜率，进而可得所求的切线方程.
【详解】
的定义域为，
由可得：，
因为，所以，
当且仅当即时等号成立，取得最小值，
即切线方程斜率最小为，
因为，所以切点为，
所以切线方程为，即，
故答案为：.
17．（2021·安徽高二月考（理））已知函数，，若直线与曲线及均相切，且切点相同，求公切线的方程为______．
【答案】．
【分析】
由条件可知，求得切点后，再求切线方程.
【详解】
设切点为，
由，得 解得，，
故切线方程为，即．
故答案为：
18．（2021·山东烟台市·高二期末）与有一条斜率为2的公切线，则____________.
【答案】
【分析】
设上切点坐标为，的切点坐标为，根据导数的几何意义求出切线方程，由两切线方程相同且斜率为2可结论．
【详解】
设图象上切点坐标为，图象上切点坐标为，
，则，切线方程为，即，由得，切线方程为，
，则，切线方程为，即，
所以，解得．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，利用导数求切线的斜率，是函数图象上一点时，函数图象在点处的切线方程是，若是平面上任一点，则函数图象过点的切线方程，应设切点为，求出切线方程，利用切线过，代入点坐标求得，得出切线方程．
19．（2021·安徽宣城·高三（文））曲线在点处的切线与曲线相切，则＝_____．
【答案】．
【分析】
由求导，求得曲线在点处的切线方程，然后设该切线与相切于点，利用导数的几何意义求解．
【详解】
解：对求导，得，
∴，
则曲线在点处的切线方程为，即．
设与相切于点，
对求导，得，
由，得，即切点为．
又切点在切线上，∴，即．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数几何意义的应用，解答此类问题的关键是求出切点坐标．若切点已知，则直接求导即可得切线的斜率，若切点未知，在解题时首先要设出切点，然后根据切点在曲线上及导数的几何意义得到关于切点坐标的方程，求出切点坐标后可得切线方程．
20．（2021·河南许昌·（文））曲线在点处的切线方程为________________________．
【答案】．
【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再求出（1）的值，利用直线方程的点斜式得答案．
【详解】
由，得，
（1），
又（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，
即．
故答案为：．
【点睛】
方法点睛：在函数上的点处的切线方程为，在解题时注意灵活运用.
21．（2020·全国（理））已知曲线在点处与曲线在点处的切线相同，则______．
【答案】
【分析】
求出两切线的切线方程，由两切线方程相同得斜率相等，纵截距相等可得的关系．
【详解】
，则，切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即，
由得，切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即，
于是得，，
则，所以，所以，得．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义．求解本题的关键：（1）根据已知得到（2）知道将中的等式进行相互代换，得到．
22．（2021·江西宜春市·（文））若，则曲线在点处的切线方程是______________________．
【答案】
【分析】
求得函数的导数，令，求得，得出函数的解析式，再求得，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
令，可得，解得，
所以，可得，
所以曲线在点处的切线方程是，即.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
23．（2020·四川遂宁市·射洪中学高二期中（文））点是曲线：上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于，两点，点是坐标原点，①；②的面积为定值；③曲线上存在两点使得是等边三角形；④曲线上存在两点，使得是等腰直角三角形，其中真命题的序号是______.
【答案】①②③④
【分析】
利用导数的几何意义求得过点的切线方程，结合函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断和选择.
【详解】
设点，
由得切线方程：，即
∴，，∴为中点，
∴，①正确；
，②正确；
过原点作倾斜角等于和的2条射线与曲线的交点为
由对称性可知中，，又，
∴为等边三角形，③正确；
过原点作2条夹角等于的射线与曲线交于点，

当直线的倾斜角从减少到的过程中，的值从变化到0，
在此变化过程中必然存在的值为和的时刻，
此时为等腰直角三角形，④正确.
∴真命题的个数为4个.
故答案为：①②③④.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，涉及函数性质的应用，属综合中档题.
24．（2020·全国（理））已知函数若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】
根据题意，得到的图象和直线有4个交点，作出函数的图象，结合图像，即可求出结果.
【详解】
若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则的图象和直线有4个交点．
作出函数的图象，如图，故点在直线的下方．
所以，解得.

当直线和相切时，设切点横坐标为，则，
所以，此时，，
的图象和直线有3个交点，不满足条件，
故所求的的取值范围是．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查由方程根的个数求参数的问题，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.
25．（2020·河南洛阳·高二期末（理））已知函数，下面四个结论：①函数在其定义域上为增函数；②对于任意的，都有；③有且仅有两个零点；④若在点处的切线也是的切线，则必是的零点，其中所有正确的结论序号是________.
【答案】②③④
【分析】
利用特殊值法可判断①的正误 ; 推导出当 时 从而可判断②的正误；对函数，化简得，定义域为，
利用函数单调性的性质，得到函数的单调性，结合零点存在定理可判断③的正误; 利用导数的几何意义得到，进而可判断④的正误.
【详解】
，，
所以，函数在其定义域上不是增函数，①错；
当时，，，
则，②正确；
函数，化简得，
定义域为，
由函数单调性的性质，知函数在，单调递增；

即函数 在区间上有且仅有 1个零点

所以，函数区间上有且仅有1个零点.
因此，函数有且仅有两个零点，③正确；
在点 处的切线的方程 ，
即，
又也是的切线, 设切点为，
则，即，
则且，化简得，
则,则，
故必是函数的零点，④正确；
故答案为：②③④.
【点睛】
本题考查了函数单调性、零点个数以及不等式的判断，同时也考查了导数的几何意义，考查了推理能力，属于中等题.
26．（2020·江苏南通市·）已知函数，，在函数的图象上，对任意一点，均存在唯一的点（且、均不为），使得、两点处的切线斜率相等，则实数的取值构成的集合是________.
【答案】
【分析】
求出函数的导函数，根据题意得出，并作出函数的图象，由此可得出关于的等式，进而可求得实数的值.
【详解】
由题意得.
当时，；
当时，，其图象的对称轴为直线.
因为，所以，
所以，函数的图象如下：

因为对任意的，均存在，且，使得，
所以，即实数的取值构成的集合为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用切线斜率相等求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.