专题14 导数之证明题目处理（学生版+教师版）

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专题14 导数之证明题目处理
一、考情分析
导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍证明题目处理解题思路，以飨读者.
二、题型突破
例1．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【答案】
（1）答案见解析；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）的定义域为，求出，分别讨论，，时不等式和的解集即可得单调递增区间和单调递减区间，即可求解；
（2）的定义域为，不等式等价于，，
令，只需证，令，利用导数判断单调性和最值即可求证.
（1）
的定义域为，
由可得：，
当时，令，解得；令，解得或；
此时在上单调递增，在和上单调递减：
当时，，此时在和上单调递减；
当时，令，解得，令，解得或，
此时在上单调递增，在和上单调递减：
综上所述：当时，在上单调递增，在和上单调递减；
当时，在和上单调递减；
当时，在上单调递增，在和上单调递减.
（2）
因为，的定义域为，
所以即，
即证：，
令，只需证，
令，则，
令，解得：；，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，所以，
所以，即成立.
【点睛】
利用导数研究函数单调性的方法：
（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；
（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.
例2．（河南省2021-2022学年高三上学期第五次联考文科数学试题）已知函数.
（1）判断的单调性.
（2）证明：.
【答案】
（1）在R上单调递增，无单调递减区间；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）对求导，令并应用导数求最值，确定的符号，即可知的单调性.
（2）利用作差法转化证明的结论，令结合导数研究其单调性，最后讨论的大小关系判断的符号即可证结论.
（1）
由题设，.
令，则.
当时，单调递减；当时，单调递增.
故，即，则在R上单调递增，无单调递减区间.
（2）
.
令，则.
令，则，显然在R上单调递增，且，
∴当时，单调递减；当时，单调递增.
故，即，在R上单调递增，又，
∴当时，，；当时，，；当时，.
综上，，即.
【点睛】
关键点点睛：第二问，应用作差法有，构造中间函数并应用导数研究单调性，最后讨论的大小证结论.
例3．（2021·云南·模拟预测（理））已知函数．
（1）若有两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）当时，证明：．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）由题意在上有两解，构造函数，利用导数得出其单调性，由的图象与直线有两个交点得出实数a的取值范围；
（2）令，利用导数得出其单调性进而证明不等式.
（1）
解：的定义域为，，
由题意在上有两解，
即，即有两解．
令，即的图象与直线有两个交点．
，得，
当时，，递增；
当时，，递减，
∴，．
时，；时，，
∴，∴，∴a的取值范围是．
（2）
证明：当时，，
即证，即证，
令，，
令，则，
当时，，∴在递增．
，，
∴存在唯一的，使得，
当时，，递减；
当时，，递增，
∴．
又∵，，∴，
∴，
∴，∴．
例4．（山东2021-2022学年高三上学期12月名校大联考数学试题）已知，．
（1）求在处的切线方程；
（2）已知的两个零点为，且为的唯一极值点．
①求实数的取值范围；
②求证：．
【答案】
（1）;
（2）①;②证明见解析.
【分析】
（1）求导，进而得到，写出切线方程；
（2）①证明：由，知函数在其定义域内为单调函数，不可能有两个零点，得到，然后利用导数求得函数的极值点，由求解；②根据，令，由，得到，再将证，转化为证，令，用导数法证明即可.
（1）
解：因为，
所以定义域为
所以，
所以切线方程为；
（2）
①证明：，
若，则函数在其定义域内为单调函数，不可能有两个零点，
所以,
由，得，
当，；，；
所以在上单调递减，上单调递增，
因为当趋近时，趋近；当趋近0时，趋近，
要使有两个零点，只要满足，
即；
②因为，令，由，
所以，即，
因此，
而要证，只需证，
即证，即证，
由，只需证，
令，则，
令，则，
故在上递增，，
故在上递增，，
所以．
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是对要证明不等式作等价的变形，不断简化问题.
三、迁移应用
1．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知函数.
（1）若函数f（x）的最小值为0，求m值；
（2）设，证明：.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）对函数求导，研究函数的单调性，进而得到函数最值；（2）设对函数求导，得到函数的极小值为，根据函数单调性得到，设对该函数求导，得到在上为减函数，从而得到结果.
（1）
函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+1.
令f′（x）=0，解得x=.
当0