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    高中数学复习专题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

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    高中数学复习专题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

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    这是一份高中数学复习专题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用,共21页。试卷主要包含了y=Asin的有关概念等内容,欢迎下载使用。
    §4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
    最新考纲
    考情考向分析
    1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图象.
    2.了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.
    3.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
    以考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主,常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查,加强数形结合思想的应用意识.题型为选择题和填空题,中档难度.



    1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
    y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈R
    振幅
    周期
    频率
    相位
    初相
    A
    T=
    f==
    ωx+φ
    φ

    2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点
    如下表所示:
    x





    ωx+φ
    0

    π


    y=Asin(ωx+φ)
    0
    A
    0
    -A
    0

    3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径

    知识拓展
    1.函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.
    2.由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
    3.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ+,k∈Z确定;对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标.

    题组一 思考辨析
    1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
    (1)y=sin的图象是由y=sin的图象向右平移个单位长度得到的.( √ )
    (2)将函数y=sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数y=sin(ωx-φ)的图象.( × )
    (3)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( √ )
    (4)由图象求函数解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( √ )
    题组二 教材改编
    2.[P55T2]为了得到函数y=2sin的图象,可以将函数y=2sin 2x的图象(  )
    A.向右平移个单位长度
    B.向右平移个单位长度
    C.向左平移个单位长度
    D.向左平移个单位长度
    答案 A
    3.[P58A组T3]函数y=2sin的振幅、频率和初相分别为(  )
    A.2,4π, B.2,,
    C.2,,- D.2,4π,-
    答案 C
    解析 由题意知A=2,f===,初相为-.
    4.[P62例4]如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,则这段曲线的函数解析式为__________________________.

    答案 y=10sin+20,x∈[6,14]
    解析 从图中可以看出,从6~14时的是函数
    y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期,
    所以A=×(30-10)=10,
    b=×(30+10)=20,
    又×=14-6,
    所以ω=.
    又×10+φ=2π+2kπ,k∈Z,取φ=,
    所以y=10sin+20,x∈[6,14].
    题组三 易错自纠
    5.要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 4x的图象(  )
    A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
    C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
    答案 B
    解析 ∵y=sin=sin,
    ∴要得到y=sin的图象,只需将函数y=sin 4x的图象向右平移个单位长度.
    6.(2016·全国Ⅰ)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为
    (  )
    A.y=2sin B.y=2sin
    C.y=2sin D.y=2sin
    答案 D
    解析 函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图象向右平移个周期即个单位长度,
    所得函数为y=2sin=2sin,
    故选D.
    7.(2018·长春模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为____________________.

    答案 f(x)=sin
    解析 由题图可知A=,
    =-=,
    所以T=π,故ω=2,
    因此f(x)=sin(2x+φ),
    又为最小值点,
    所以2×+φ=2kπ+,k∈Z,
    所以φ=2kπ+,k∈Z,
    又|φ|<π,
    所以φ=.
    故f(x)=sin.


    题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
    典例 已知函数y=2sin.
    (1)求它的振幅、周期、初相;
    (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;
    (3)说明y=2sin的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.
    解 (1)y=2sin的振幅A=2,
    周期T==π,初相φ=.
    (2)令X=2x+,则y=2sin=2sin X.
    列表如下:
    x





    X
    0

    π


    y=sin X
    0
    1
    0
    -1
    0
    y=2sin
    0
    2
    0
    -2
    0

    描点画出图象,如图所示:

    (3)方法一 把y=sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin的图象;
    再把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象;
    最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.
    方法二 将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin 2x的图象;
    再将y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象;
    再将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即得到y=2sin的图象.
    思维升华 (1)y=Asin(ωx+φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标.
    (2)由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
    跟踪训练 (1)(2018·石家庄调研)若把函数y=sin的图象向左平移个单位长度,所得到的图象与函数y=cos ωx的图象重合,则ω的一个可能取值是(  )
    A.2 B. C. D.
    答案 A
    解析 y=sin和函数y=cos ωx的图象重合,可得π-=+2kπ,k∈Z,则ω=6k+2,k∈Z.∴2是ω的一个可能值.
    (2)把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把所得函数图象向左平移个单位长度,得到的函数图象的解析式是________.
    答案 y=cos 2x
    解析 由y=sin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,所得图象的解析式为y=sin 2x,再向左平移个单位长度得y=sin 2,即y=cos 2x.
    题型二 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式
    典例 (1)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=________________.

    答案 2sin
    解析 由题图可知,A=2,T=2=π,所以ω=2,由五点作图法可知2×+φ=,所以φ=-,所以函数的解析式为y=2sin.
    (2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ) 的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为________.

    答案 
    解析 根据所给图象,周期T=4×=π,故π=,∴ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),另外图象经过点,代入有2×+φ=π+2kπ(k∈Z),再由|φ|0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象关于点对称,则m的值可能为(  )

    A. B.
    C. D.
    答案 D
    解析 依题意得解得
    ==-=,
    故ω=2,则f(x)=sin(2x+φ)+.
    又f=sin+=,
    故+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=+2kπ(k∈Z).
    因为|φ|0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点,求当m取得最小值时,g(x)在上的单调递增区间.
    解 (1)函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为,得函数f(x)的最小正周期为T=2×=,得ω=1,
    故函数f(x)的解析式为f(x)=sin.
    (2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)=sin=sin的图象,根据g(x)的图象恰好经过点,
    可得sin=0,即sin=0,
    所以2m-=kπ(k∈Z),m=+(k∈Z),
    因为m>0,
    所以当k=0时,m取得最小值,且最小值为.
    此时,g(x)=sin.
    因为x∈,所以2x+∈.
    当2x+∈,即x∈时,g(x)单调递增,
    当2x+∈,即x∈时,g(x)单调递增.
    综上,g(x)在区间上的单调递增区间是和.
    思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.
    (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
    (3)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.
    跟踪训练 (1)(2018·兰州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2,且过点,则函数f(x)的解析式为__________.
    答案 f(x)=sin
    解析 据已知两个相邻最高点和最低点的距离为2,可得 =2,解得T=4,
    故ω==,即f(x)=sin.
    又函数图象过点,
    故f(2)=sin=-sin φ=-,
    又-≤φ≤,解得φ=,故f(x)=sin.
    (2)若函数f(x)=sin(ω>0)满足f(0)=f,且函数在上有且只有一个零点,则f(x)的最小正周期为________.
    答案 π
    解析 ∵f(0)=f,∴x=是f(x)图象的一条对称轴,∴f=±1,∴×ω+=+kπ,k∈Z,
    ∴ω=6k+2,k∈Z,∴T=(k∈Z).
    又f(x)在上有且只有一个零点,
    ∴≤≤-,∴≤T≤,
    ∴≤≤(k∈Z),∴-≤k≤,
    又∵k∈Z,∴k=0,∴T=π.

    三角函数图象与性质的综合问题
    典例 (12分)已知函数f(x)=2sin·cos-sin(x+π).
    (1)求f(x)的最小正周期;
    (2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
    思维点拨 (1)先将f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求周期;
    (2)将f(x)解析式中的x换成x-,得g(x),然后利用整体思想求最值.
    规范解答
    解 (1)f(x)=2sincos
    -sin(x+π)=cos x+sin x[3分]
    =2sin,[5分]
    于是T==2π.[6分]
    (2)由已知得g(x)=f=2sin,[8分]
    ∵x∈[0,π],∴x+∈,
    ∴sin∈,[10分]
    ∴g(x)=2sin∈[-1,2].[11分]
    故函数g(x)在区间[0,π]上的最大值为2,最小值为-1.[12分]

    解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤
    第一步:(化简)将f(x)化为asin x+bcos x的形式;
    第二步:(用辅助角公式)构造f(x)=·;
    第三步:(求性质)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质;
    第四步:(反思)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.


    1.(2017·全国Ⅰ)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是(  )
    A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
    B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
    C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
    D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
    答案 D
    解析 因为y=sin=cos=
    cos,所以曲线C1:y=cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到曲线y=cos 2x,再把得到的曲线y=cos 2x向左平移个单位长度,得到曲线y=cos 2=cos.故选D.
    2.(2018·洛阳统考)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是(  )
    A. B.
    C. D.
    答案 C
    解析 f(x)=sin 2x+cos 2x=cos,将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y=cos,且该函数为偶函数,
    故2φ+=kπ(k∈Z),所以φ的最小正值为.
    3.(2017·衡水中学模拟)若函数y=sin(ωx-φ)在区间上的图象如图所示,则ω,φ的值分别是(  )

    A.ω=2,φ= B.ω=2,φ=-
    C.ω=,φ= D.ω=,φ=-
    答案 A
    解析 由题图可知,T=2=π,
    所以ω==2,
    又sin=0,
    所以-φ=kπ(k∈Z),
    即φ=-kπ(k∈Z),
    而|φ|0)个单位长度,所得函数图象关于y轴对称,则a的最小值是(  )
    A. B. C. D.
    答案 B
    解析 依题意得f(x)=2sin,
    因为函数f(x-a)=2sin的图象关于y轴对称,
    所以sin=±1,a+=kπ+,k∈Z,
    即a=kπ+,k∈Z,
    因此正数a的最小值是,故选B.
    6.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数,则函数f(x)在上的最小值为(  )
    A.- B.-
    C. D.
    答案 A
    解析 由函数f(x)的图象向左平移个单位长度,
    得g(x)=sin的图象,
    因为是奇函数,所以φ+=kπ,k∈Z,
    又因为|φ|<,所以φ=-,
    所以f(x)=sin.
    又x∈,所以2x-∈,
    所以当x=0时,f(x)取得最小值-.
    7.(2017·青岛质检)将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是______________.
    答案 y=sin
    解析 y=sin x y=sin
    y=sin.
    8.(2017·河南洛阳统考)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,已知图象经过点A(0,1),B,则f(x)=________.

    答案 2sin
    解析 由已知得=,∴T=,
    又T=,∴ω=3.
    ∵f(0)=1,∴sin φ=,
    又∵0

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