贵州省铜仁市石阡县2022-2023学年八年级上学期期中质量监测数学试题 (含答案)

这是一份贵州省铜仁市石阡县2022-2023学年八年级上学期期中质量监测数学试题 (含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年贵州省铜仁市石阡县八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数比﹣2小的是（　　）
A．﹣5 B．﹣ C．0 D．2
2．下列图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知长为a，b，c的三条线段首尾顺次相接组成一个三角形．若a＝7，b＝9，则c的取值范围是（　　）
A．c＞2 B．c＜16 C．2≤c≤16 D．2＜c＜16
4．叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．数0.00005用科学记数法表示为（　　）
A．5×10﹣5 B．0.5×10﹣5 C．5×10﹣4 D．0.5×10﹣4
5．如图，△ACE≌△DBF，若AD＝11cm，BC＝5cm，则AB长为（　　）

A．6cm B．7cm C．4cm D．3cm
6．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝a6 B．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
C．＝ D．（a4﹣4a）÷a＝a3
7．如图，直线a∥b，将含30°角的三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）

A．50° B．80° C．60° D．75°
8．对于分式下列说法正确的是（　　）
A．当x＝0时分式无意义 B．当x＝2时分式的值为零
C．当x＝±2时分式的值为零 D．当x＝﹣2时分式有意义
9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
10．某超市用2000元购进普罗旺斯西红柿，面市后供不应求，超市又用5000元购进第二批这种西红柿，所购数量是第一批进货量的2倍，但进货单价涨了0.5元．设第一批西红柿的进货单价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
11．下列命题：
①经过一点有且只有一条直线；
②线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等；
③有两边及其一角对应相等的两个三角形全等；
④等腰三角形底边上的高线和中线重合．
其中是真命题的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，△ABC是边长为10的等边三角形，D为AC的中点，E是边AB上一点，连接DE，作∠EDF＝120°，交BC的延长线于点F．若AE＝4BE，则CF的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．因式分解：x2y﹣9y＝　 　．
14．某书店与一所中学建立帮扶关系，连续6个月向该中学赠送书籍的数量（单位：本）分别为：200，300，400，200，500，550，则这组数据的中位数是 　 　本．
15．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN，分别交边AB，BC于点D和E，连接CD．若∠BCA＝90°，AB＝8，则CD的长为　 　．

16．已知a+＝6，且＝2，则m＝　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共98分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成下面的问题．
先化简，再求值：（）•，其中x＝﹣3．
解：原式＝[]•……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝x+2……第五步
当x＝﹣3时，原式＝﹣3+2＝﹣1．
（1）以上解题过程中，第 　 　步是约分，其变形依据是 　 　；
（2）请你用更简便的方法，完成化简求值．
18．（1）计算：﹣12022+（3﹣π）0﹣×﹣2；
（2）解方程：＝1﹣．
19．近年来网约车给人们的出行带来了便利．小明和数学兴趣小组的同学对网约车公司司机的月收入进行了抽样调查，在甲、乙两家公司分别调查了10名司机的月收入（单位：千元），并将所得数据绘制成如下统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：

10名司机平均月收入（千元）
中位数
众数
方差
甲公司
6
6
c
1.2
乙公司
a
b
4
7.6
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）王乐的叔叔计划从甲、乙两家公司中选择一家去应聘网约车司机．如果你是王乐，你建议他选哪家公司？请说明理由．

20．“油纸伞”是汉族古老的传统工艺品之一（如图1），其制作工艺十分巧妙．如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨AB＝AC，BD＝CD．问：伞柄AP是否始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC？请说明理由.

21．说理填空：如图，点E是DC的中点，EC＝EB，∠CDA＝120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，求证：△BEC为等边三角形．
解：因为DF平分∠CDA（已知）
所以∠FDC＝∠　 　．　 　
因为∠CDA＝120°（已知）
所以∠FDC＝　 　°．
因为DF∥BE（已知）
所以∠FDC＝∠　 　．（　 　）
所以∠BEC＝60°，又因为EC＝EB，（已知）
所以△BCE为等边三角形．（　 　）

22．绿豆粉是石阡的特色美食．某粉店推出两款经典美食绿豆粉，一款是“小黄牛手工绿豆粉”，另一款是“干拌石墨绿豆粉”．已知2份“小黄牛手工绿豆粉”和1份“干拌石墨绿豆粉”需34元；1份“小黄牛手工绿豆粉”和3份“干拌石墨绿豆粉”需42元
（1）分别求“小黄牛手工绿豆粉”和“干拌石墨绿豆粉”的单价；
（2）绿豆是制作绿豆粉的原材料之一，该粉店老板发现今年第三季度平均每千克绿豆的价格比第二季度涨了50%，第三季度花360元买到的绿豆数量比第二季度花同样的钱买到的绿豆数量少了20千克，求第三季度绿豆的单价．
23．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D．
（1）试利用尺规作图，求作：线段BM，使得BM⊥AD，垂足为点M（保留作痕迹，不写作法与证明过程）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝10，BM＝4，AC＝18，求证：∠ABC＝3∠C．

24．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：　 　（填序号）；①；②；③．
（2）判断分式是否为和谐分式，并说明你的理由．
（3）当整数x取 　 　时，的值为整数．
25．已知△ABC≌△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）如图1，当C、A、D在同一直线上时，连CE、BD，判断CE和BD位置关系，填空CE　 　BD．
（2）如图2，把△ADE绕点A旋转到如图所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立，写出你的结论，并说明理由．
（3）如图3，在图1的基础上，将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置，连接BE′、DC′，过点A作AN⊥BE′于点N，反向延长AN交DC′于点M．求的值．



参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数比﹣2小的是（　　）
A．﹣5 B．﹣ C．0 D．2
【分析】把各数在数轴上表示出来，根据数轴的特点即可得出结论．
解：如图所示，

由数轴上各点的位置可知，﹣5在﹣2的左侧，所以﹣5比﹣2小．
故选：A．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
2．下列图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．已知长为a，b，c的三条线段首尾顺次相接组成一个三角形．若a＝7，b＝9，则c的取值范围是（　　）
A．c＞2 B．c＜16 C．2≤c≤16 D．2＜c＜16
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，计算即可．
解：由题意得：9﹣7＜c＜9+7，
∴2＜c＜16，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边．
4．叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．数0.00005用科学记数法表示为（　　）
A．5×10﹣5 B．0.5×10﹣5 C．5×10﹣4 D．0.5×10﹣4
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.00005＝5×10﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．如图，△ACE≌△DBF，若AD＝11cm，BC＝5cm，则AB长为（　　）

A．6cm B．7cm C．4cm D．3cm
【分析】根据全等三角形的性质得到AC＝BD，结合图形计算，得到答案．
解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝BD，
∴AC﹣BC＝BD﹣BC，即AB＝CD，
∵AD＝11cm，BC＝5cm，
∴AB＝（11﹣5）÷2＝3（cm），
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
6．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝a6 B．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
C．＝ D．（a4﹣4a）÷a＝a3
【分析】根据分式的乘除运算法则、整式的除法运算、完全平方公式以及积的乘方运算即可求出答案．
解：A、原式＝a6，故A符合题意．
B、原式＝a2﹣2ab+b2，故B不符合题意．
C、原式＝﹣，故C不符合题意．
D、原式＝a2﹣4，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查分式的乘除运算法则、整式的除法运算、完全平方公式以及积的乘方运算，本题属于基础题型．
7．如图，直线a∥b，将含30°角的三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）

A．50° B．80° C．60° D．75°
【分析】由平行线的性质可知，∠1＝∠3＝50°，由三角形外角的性质可知∠2＝∠3+30°，由此可得出结论．
解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝50°．
∴∠2＝∠1+30°＝80°，
故选：B．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
8．对于分式下列说法正确的是（　　）
A．当x＝0时分式无意义 B．当x＝2时分式的值为零
C．当x＝±2时分式的值为零 D．当x＝﹣2时分式有意义
【分析】根据分式有意义，无意义以及分式值为零的条件解答即可．
解：∵对于分式，
当x+2＝0，即x＝﹣2时无意义，
当x+2≠0，即x≠﹣2是有意义，
当|x|﹣2＝0且x+2≠0，即x＝2时值为零．
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义，无意义以及分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】延长BD交AC于E，如图，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判断△BCE为等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再证明EA＝EB＝2，然后计算AE+CE即可．
解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：D．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
10．某超市用2000元购进普罗旺斯西红柿，面市后供不应求，超市又用5000元购进第二批这种西红柿，所购数量是第一批进货量的2倍，但进货单价涨了0.5元．设第一批西红柿的进货单价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
【分析】设第一批西红柿的进货单价为x元，则西红柿的进货单价是（x+0.5）元，根据第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，列出方程即可．
解：设第一批西红柿的进货单价为x元，则西红柿的进货单价是（x+0.5）元，
依题意有：＝2×．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．
11．下列命题：
①经过一点有且只有一条直线；
②线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等；
③有两边及其一角对应相等的两个三角形全等；
④等腰三角形底边上的高线和中线重合．
其中是真命题的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定方法、等腰三角形的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：①经过一点有无数条直线，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等，正确，是真命题，符合题意；
③有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④等腰三角形底边上的高线和中线重合，正确，是真命题，符合题意，
真命题有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
12．如图，△ABC是边长为10的等边三角形，D为AC的中点，E是边AB上一点，连接DE，作∠EDF＝120°，交BC的延长线于点F．若AE＝4BE，则CF的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过点D作DK∥BC交AB于K．证明△EDK≌△FDC（SAS），由全等三角形的性质即可解决问题．
解：过点D作DK∥BC交AB于K．

设BE＝a，则AE＝4a，AK＝BK＝a，△ADK是等边三角形，
∴∠ADK＝60°，∠EDF＝∠KDC，
∴∠KDE＝∠CDF，
在△EDK和△FDC中，
，
∴△EDK≌△FDC（SAS），
∴EK＝CF＝a，
∵BC＝5a＝10，
∴a＝2，
∴CF＝3，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．因式分解：x2y﹣9y＝　y（x+3）（x﹣3）　．
【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：x2y﹣9y，
＝y（x2﹣9），
＝y（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．某书店与一所中学建立帮扶关系，连续6个月向该中学赠送书籍的数量（单位：本）分别为：200，300，400，200，500，550，则这组数据的中位数是 　350　本．
【分析】根据中位数的概念求解即可．
解：将数据200，300，400，200，500，550按照从小到大的顺序排列为：200，200，300，400，500，550．则其中位数为：＝350．
故答案为：350．
【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
15．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN，分别交边AB，BC于点D和E，连接CD．若∠BCA＝90°，AB＝8，则CD的长为　4　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
解：连接CD，
由作图可知：点M、点N在线段BC的垂直平分线上，
∴MN垂直平分线段BC
∴CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠BCA＝90°，
∴∠A+∠B＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠ACD，
∴CD＝AD，
∴CD＝AB，
∵AB＝8，
∴CD＝4，
故答案为：4．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质等、等腰三角形的性质知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16．已知a+＝6，且＝2，则m＝　　．
【分析】把分式分子与分母同时除以a2得，即可变为，因为a+＝6，所以＝2，解得m即可．
解：∵a+＝6，
∴
＝
＝
＝＝2，
解得m＝，
经检验m＝是方程的解．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式方程，关键是变出已知式子a+，再整体代入解方程．
三、解答题（本大题共9小题，共98分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成下面的问题．
先化简，再求值：（）•，其中x＝﹣3．
解：原式＝[]•……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝x+2……第五步
当x＝﹣3时，原式＝﹣3+2＝﹣1．
（1）以上解题过程中，第 　五　步是约分，其变形依据是 　等式的基本性质　；
（2）请你用更简便的方法，完成化简求值．
【分析】任务一：根据分式的基本性质判断即可；
任务二：根据乘法分配律、分式的约分法则计算．
解：任务一：第五步是约分，其变形依据是分式的基本性质，
故答案为：五，分式的基本性质；
任务二：原式＝•﹣•
＝﹣
＝
＝x+2，
当x＝﹣3时，原式＝﹣3+2＝﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式的基本性质，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18．（1）计算：﹣12022+（3﹣π）0﹣×﹣2；
（2）解方程：＝1﹣．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
解：（1）﹣12022+（3﹣π）0﹣×﹣2
＝﹣1+1﹣×4
＝﹣1+1﹣
＝﹣；
（2）＝1﹣，
x＝x﹣3+5﹣2x，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣3≠0，
∴x＝1是原方程的根．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．近年来网约车给人们的出行带来了便利．小明和数学兴趣小组的同学对网约车公司司机的月收入进行了抽样调查，在甲、乙两家公司分别调查了10名司机的月收入（单位：千元），并将所得数据绘制成如下统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：

10名司机平均月收入（千元）
中位数
众数
方差
甲公司
6
6
c
1.2
乙公司
a
b
4
7.6
（1）填空：a＝　6　，b＝　4.5　，c＝　6　．
（2）王乐的叔叔计划从甲、乙两家公司中选择一家去应聘网约车司机．如果你是王乐，你建议他选哪家公司？请说明理由．

【分析】（1）利用平均数、中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
解：（1）∵“6千元”对应的百分比为1﹣（10%+20%+10%+20%）＝40%，
∴a＝4×10%+5×20%+6×40%+7×20%+8×10%＝6，c＝6，
b＝＝4.5，
故答案为：6、4.5、6；
（2）选甲公司，理由如下：
因为平均数一样，中位数、众数甲公司大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定．
【点评】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式．
20．“油纸伞”是汉族古老的传统工艺品之一（如图1），其制作工艺十分巧妙．如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨AB＝AC，BD＝CD．问：伞柄AP是否始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC？请说明理由.

【分析】理由SSS公理证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质证明结论．
解：AP平分∠BAC，
理由如下：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AP平分∠BAC．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
21．说理填空：如图，点E是DC的中点，EC＝EB，∠CDA＝120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，求证：△BEC为等边三角形．
解：因为DF平分∠CDA（已知）
所以∠FDC＝∠　ADC　．　角平分线意义　
因为∠CDA＝120°（已知）
所以∠FDC＝　60　°．
因为DF∥BE（已知）
所以∠FDC＝∠　BEC　．（　两直线平行，同位角相等　）
所以∠BEC＝60°，又因为EC＝EB，（已知）
所以△BCE为等边三角形．（　有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形　）

【分析】利用角平分线的性质得出∠FDC的度数，再利用平行线的性质得出∠FDC的度数，进而得出△BEC为等边三角形．
解：因为DF平分∠CDA，（已知）
所以∠FDC＝∠ADC．（角平分线意义）
因为∠CDA＝120°，（已知），
所以∠FDC＝60°．
因为DF∥BE，（已知），
所以∠FDC＝∠BEC．（两直线平行，同位角相等），
所以∠BEC＝60°，又因为EC＝EB，（已知），
所以△BCE为等边三角形．（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
故答案为：ADC；角平分线意义；60；BEC；两直线平行，同位角相等；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及平行线的性质，根据已知得出∠FDC＝∠BEC是解题关键．
22．绿豆粉是石阡的特色美食．某粉店推出两款经典美食绿豆粉，一款是“小黄牛手工绿豆粉”，另一款是“干拌石墨绿豆粉”．已知2份“小黄牛手工绿豆粉”和1份“干拌石墨绿豆粉”需34元；1份“小黄牛手工绿豆粉”和3份“干拌石墨绿豆粉”需42元
（1）分别求“小黄牛手工绿豆粉”和“干拌石墨绿豆粉”的单价；
（2）绿豆是制作绿豆粉的原材料之一，该粉店老板发现今年第三季度平均每千克绿豆的价格比第二季度涨了50%，第三季度花360元买到的绿豆数量比第二季度花同样的钱买到的绿豆数量少了20千克，求第三季度绿豆的单价．
【分析】（1）设“小黄牛手工绿豆粉”的单价为x元，“干拌石墨绿豆粉”的单价为y元，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设第二季度绿豆的单价为m元/千克，则第三季度绿豆的单价为（1+50%）m元/千克，利用数量＝总价÷单价，结合第三季度花360元买到的绿豆数量比第二季度花同样的钱买到的绿豆数量少了20千克，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值，再将其代入（1+50%）m中，即可求出第三季度绿豆的单价．
解：（1）设“小黄牛手工绿豆粉”的单价为x元，“干拌石墨绿豆粉”的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：“小黄牛手工绿豆粉”的单价为12元，“干拌石墨绿豆粉”的单价为10元．
（2）设第二季度绿豆的单价为m元/千克，则第三季度绿豆的单价为（1+50%）m元/千克，
根据题意得：﹣＝20，
解得：m＝6，
经检验，m＝6是所列方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）m＝（1+50%）×6＝9．
答：第三季度绿豆的单价为9元/千克．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
23．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D．
（1）试利用尺规作图，求作：线段BM，使得BM⊥AD，垂足为点M（保留作痕迹，不写作法与证明过程）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝10，BM＝4，AC＝18，求证：∠ABC＝3∠C．

【分析】（1）根据作垂线的方法作图即可．
（2）延长BM，交AC于点N，结合已知条件证明△ABM≌△ANM，可得AB＝AN＝10，BM＝MN＝4，∠ABN＝∠ANB，进而可得BN＝CN，则∠C＝∠NBC，由此可证明．
【解答】（1）解：如图，线段BM即为所求．

（2）证明：延长BM，交AC于点N，
∵BM⊥AD，
∴∠AMB＝∠AMN＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAM＝∠NAM，
∵AM＝AM，
∴△ABM≌△ANM（ASA），
∴AB＝AN＝10，BM＝MN＝4，∠ABN＝∠ANB，
∴BN＝BM+MN＝8，NC＝AC﹣AN＝8，
∴BN＝CN，
∴∠C＝∠NBC，
∵∠ANB＝∠C+∠NBC，
∴∠ANB＝∠ABN＝2∠C，
∴∠ABC＝∠ABN+∠NBC＝2∠C+∠C＝3∠C．
【点评】本题考查尺规作图、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
24．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：　①③　（填序号）；①；②；③．
（2）判断分式是否为和谐分式，并说明你的理由．
（3）当整数x取 　﹣3　时，的值为整数．
【分析】（1）根据给出的“和谐分式”的定义，逐个判断得结论；
（2）可仿照定义后的例子，把分式变形为“和谐分式”；
（3）先化简分式，再把分式化为“和谐分式”的形式，根据值为整数，确定x的值．
解：（1）
＝+＝1+，是“和谐分式”；
不能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，所以这个分式不是“和谐分式”；

＝+
＝y+，是“和谐分式”；
故答案为：①③；

（2）是和谐分式，
理由：＝＝x﹣1+，
∴是和谐分式；

（3）﹣÷
＝﹣×
＝﹣
＝
＝+
＝2+，
当x＝﹣3，﹣2，0，1时，2+的值为整数．
由于x＝﹣1，0，1，﹣2时，原分式没有意义，
所以当x＝﹣3时，分式的值为整数，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义．注意（二）（3）x的取值范围．
25．已知△ABC≌△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）如图1，当C、A、D在同一直线上时，连CE、BD，判断CE和BD位置关系，填空CE　⊥　BD．
（2）如图2，把△ADE绕点A旋转到如图所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立，写出你的结论，并说明理由．
（3）如图3，在图1的基础上，将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置，连接BE′、DC′，过点A作AN⊥BE′于点N，反向延长AN交DC′于点M．求的值．

【分析】（1）根据△ABC≌△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，可得出∠C+∠D＝90°，从而得出CE⊥BD；
（2）延长CE交BD于M，设AB与EM交于点F．由等量关系可知∠CAE＝∠BAD，从而证明∠ACE＝∠ABD．再根据三角形的内角和为180°，得出∠BMC＝90°，得出结论仍然成立；
（3）过C′作C′G⊥AM于G，过D作DH⊥AM交延长线于点H．通过证明∴△ANE′≌△C′GA（AAS），得出AN＝C′G；△BNA≌△AHD，得出AN＝DH．则C′G＝DH．再通过证明△C′GM≌△DHM，即可得出的值．
解：（1）CE⊥BD．

（2）延长CE交BD于M，设AB与EM交于点F．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD．
又∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，
∴∠ACE＝，∠ABD＝，
∴∠ACE＝∠ABD．
又∵∠AFC＝∠BFM，∠AFC+∠ACE＝90°，
∴∠ABD+∠BFM＝90°，
∴∠BMC＝90°，
∴CE⊥BD．

（3）过C′作C′G⊥AM于G，过D作DH⊥AM交延长线于点H．
∵∠E′NA＝∠AGC′＝90°，
∴∠NE′A+∠NAE′＝90°，∠NAE′+∠C′AG＝90°，
∴∠NE′A＝∠C′AG，
∵AE′＝AC′
∴△ANE′≌△C′GA（AAS），
∴AN＝C′G．
同理可证△BNA≌△AHD，AN＝DH．
∴C′G＝DH．
在△C′GM与△DHM中，
∠C′GM＝∠DHM＝90°，∠C′MG＝∠DMH，C′G＝DH，
∴△C′GM≌△DHM，
∴C′M＝DM，
∴＝．


【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质，由三角形内角和等于180°，得出其中两个角的和为90°来证明垂直，此证法是比较常用的证垂直的作法，学生应该掌握．