贵州省铜仁市沿河县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份贵州省铜仁市沿河县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年贵州省铜仁市沿河县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．在﹣4，﹣2，﹣1，0这四个数中，比﹣3小的数是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0
2．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a2）3＝﹣a5 B．a3•a5＝a15
C．（﹣a2b3）2＝a4b6 D．3a2﹣2a2＝1
3．沙沱水电站位于贵州省东北部沿河土家族自治县境内，系乌江流域梯级规划中的第九级，乌江干流开发选定方案中的第七个梯级，电站以发电为主，兼顾航运、防洪及灌溉等任务，属“西电东送”第二批开工项目的“水工程”之一，电站枢纽为二等工程，主要水工建筑物为二级建筑物，具统计年平均发电量约为4589000000kW⋅h．这个数用科学记数法表示为（　　）
A．45.89×108 B．4.589×109
C．0.4589×1010 D．4.589×1010
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC与l1，l2，l3分别交于点A，B，C，直线DF与l1，l2，l3分别交于点D，E，F．若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是（　　）

A．6 B．8 C．9 D．12
5．对于一元二次方程5x2+13x﹣3＝0，下列说法正确的是（　　）
A．方程无实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．方程的根无法确定
6．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使A、C、O在同一直线上，且竹竿与旗杆的距离DB＝12m，OD＝6m，则旗杆AB的高为（　　）

A．3m B．6m C．9m D．10m
7．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（　　）

A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
8．如图，直线y＝kx与双曲线y＝﹣在同一坐标系中如图所示，则不等式kx＞﹣的解集为（　　）

A．0＜x＜1 B．x＜﹣1
C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）

A．无法确定 B． C．1 D．2
10．如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①AE＝CF；②＝；③∠EPD＝45°；④ED2＝EP•EB．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．把一元二次方程2x2＝3x﹣5化成一般形式是 　 　．
12．若（1，y1）、（2，y2）、（﹣3，y3）都在函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 　 　．
13．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC＝18cm2，则S△DEF＝　 　cm2．
14．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝20cm，则AC的长约是　 　．（精确到0.1cm）
15．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为　 　．

16．如图，点A1，A2，A3，…A2022在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A2021A2022，分别过点A1，A2，A3，…A2022作y轴的平行线与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，…B2022，分别过点B1，B2，B3，…B2022作x轴的平行线，分别于y轴交于点C1，C2，C3，…C2022，连接OB1，OB2，OB3，…OB2022，那么图中从左到右第2022个阴影部分的面积为 　 　．

三、解答题（本大题共8个题，共86分）
17．已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．

18．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④BD＝CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．
已知：　 　．
求证：　 　．
证明：

19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．
（1）①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将△OAB放大为原来的2倍得到的△OA1B1．
②画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2．
（2）判断△OA1B1与△O2A2B2是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．

20．为了解我校九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段（A：50分；B：49﹣45分；C：44﹣40分；D：39﹣30分；E：29﹣0分）统计如下：
学业考试体育成绩（分数段）统计表
分数段
人数（人）
频率
A
40
0.2
B
a
0.25
C
70
0.35
D
30
b
E
10
0.05
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）在统计表中，a＝　 　，b＝　 　，并将统计图补充完整（温馨提示：作图时别忘了0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑）；
（2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数．”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？　 　（填相应分数段的字母）
（3）如果把成绩在40分以上（含40分）定为优秀，那么我校今年1200名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少名？

21．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．

22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．

23．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克樱桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
24．问题提出：
如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边BC、AC上一点，＝＝m，将△DEC绕点C顺时针旋转，点E在△ABC内部，直线AE与BD交于点F．
问题探究：
（1）如图②，探究的值为 　 　（用含m的式子表示）；
（2）如图③，当m＝1，求证：AF＝BD+CD；
问题拓展：
（3）如图④，当m＝时，BF＝2，CF＝6．求AF的长．




参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．在﹣4，﹣2，﹣1，0这四个数中，比﹣3小的数是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得答案．
解：由|﹣4|＞|﹣3|，
得﹣4＜﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数大小比较，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
2．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a2）3＝﹣a5 B．a3•a5＝a15
C．（﹣a2b3）2＝a4b6 D．3a2﹣2a2＝1
【分析】分别依据幂的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项计算可得．
解：A．（﹣a2）3＝﹣a6，此选项错误，不符合题意；
B．a3•a5＝a8，此选项错误，不符合题意；
C．（﹣a2b3）2＝a4b6，此选项正确，符合题意；
D．3a2﹣2a2＝a2，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的运算法则．
3．沙沱水电站位于贵州省东北部沿河土家族自治县境内，系乌江流域梯级规划中的第九级，乌江干流开发选定方案中的第七个梯级，电站以发电为主，兼顾航运、防洪及灌溉等任务，属“西电东送”第二批开工项目的“水工程”之一，电站枢纽为二等工程，主要水工建筑物为二级建筑物，具统计年平均发电量约为4589000000kW⋅h．这个数用科学记数法表示为（　　）
A．45.89×108 B．4.589×109
C．0.4589×1010 D．4.589×1010
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
解：4589000000＝4.589×109．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC与l1，l2，l3分别交于点A，B，C，直线DF与l1，l2，l3分别交于点D，E，F．若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是（　　）

A．6 B．8 C．9 D．12
【分析】利用平行线分线段成比例定理，列出比例式，然后把DE＝3，EF＝6，AB＝4，代入计算即可得到结论．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
∴BC＝8，
∴AC＝AB+BC＝12，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
5．对于一元二次方程5x2+13x﹣3＝0，下列说法正确的是（　　）
A．方程无实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．方程的根无法确定
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
解：∵a＝5，b＝13，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝132﹣4×5×（﹣3）＝229＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
6．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使A、C、O在同一直线上，且竹竿与旗杆的距离DB＝12m，OD＝6m，则旗杆AB的高为（　　）

A．3m B．6m C．9m D．10m
【分析】先证明△OCD∽△OAB，则根据相似三角形的性质得到＝，然后利用比例的性质求AB即可．
解：∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴＝，
又∵DB＝12m，OD＝6m，CD＝3m，
∴＝，
∴AB＝9m，
即旗杆AB的高为9m．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
7．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（　　）

A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
【分析】要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积＝耕地面积，依此列出等量关系解方程即可．
解：设修建的路宽应为x米
根据等量关系列方程得：20×30﹣（20x+30x﹣x2）＝551，
解得：x＝49或1，
49不合题意，舍去，
故选：A．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意：矩形面积在减路的面积时，20x+30x中有一个小正方形的面积是重复计算的，所以要再减去x×x面积．
8．如图，直线y＝kx与双曲线y＝﹣在同一坐标系中如图所示，则不等式kx＞﹣的解集为（　　）

A．0＜x＜1 B．x＜﹣1
C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
【分析】先把y＝3代入双曲线y＝﹣中，求出x＝﹣1，再把x＝﹣1，y＝﹣3代入y＝kx中，求出k＝﹣3，再联立方程组，解方程组求出直线y＝kx与双曲线y＝﹣的交点坐标，结合图象求不等式的解集即可．
解：设直线y＝kx与双曲线y＝﹣的交点为A，B，如图所示：

把y＝3代入y＝﹣得x＝﹣1，
∴A（﹣1，3），
再把（﹣1，3）代入直线y＝kx得，3＝﹣k，
解得k＝﹣3，
∴y＝﹣3x，
联立方程组，
解得或，
∴A（﹣1，3），B（1，﹣3），
由函数图象可得，不等式kx＞﹣的解集为x＜﹣1或0＜x＜1．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，关键是求出一次函数解析式．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）

A．无法确定 B． C．1 D．2
【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．
解：如图，过点G作GH⊥AB于H．

由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①AE＝CF；②＝；③∠EPD＝45°；④ED2＝EP•EB．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【分析】由△BPC是等边三角形，正方形ABCD，可证△ABE≌△DCF（ASA），得BE＝CF，在Rt△ABE中，AE＝BE，即得AE＝CF，判断①正确；由△DHF∽△BHC，得＝，而BC＝CD，CD＝DF，即得＝＝，判断②正确；由△DEP∽△BED，有＝，可判断④正确；根据∠PBD＝15°，∠PDB＝∠ADB﹣∠FDP＝30°，可得∠EPD＝∠PBD+∠PDB＝45°，判断③正确．
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴BE＝CF，
在Rt△ABE中，AE＝BE，
∴AE＝CF，故①正确；
∵DF∥BC，
∴△DHF∽△BHC，
∴＝，
∵BC＝CD，在Rt△CDF中，CD＝DF，
∴＝＝，故②正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠EDP＝∠EBD，
∵∠DEP＝∠DEP，
∴△DEP∽△BED，
∴＝，
∴ED2＝EP•EB，故④正确；
∵∠PBD＝15°，∠PDB＝∠ADB﹣∠FDP＝30°，
∴∠EPD＝∠PBD+∠PDB＝45°，故③正确；
∴正确的有①②③④，
故选：A．
【点评】题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握相关图形的性质和定理．
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．把一元二次方程2x2＝3x﹣5化成一般形式是 　2x2﹣3x+5＝0　．
【分析】根据一元二次方程的定义：一般地，形如ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的方程叫做一元二次方程，即可确定．
解：一元二次方程2x2＝3x﹣5化成一般形式为2x2﹣3x+5＝0，
故答案为：2x2﹣3x+5＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
12．若（1，y1）、（2，y2）、（﹣3，y3）都在函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 　y1＜y2＜y3　．
【分析】先得出此函数在每一象限内的增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
解：∵y＝﹣中，k＝﹣2＜0，
∴图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵2＞1＞0，﹣3＜0，
∴点（1，y1），B（2，y2）在第四象限，（﹣3，y3）在第二象限，
∴y1＜y2＜0，y3＞0．
∴y1＜y2＜y3．
故答案为：y1＜y2＜y3．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
13．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC＝18cm2，则S△DEF＝　32　cm2．
【分析】利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算．
解：∵△ABC∽△DEF，
∴S△ABC：S△DEF＝32：42＝9：16，
而S△ABC＝18cm2，
∴S△DEF＝×18＝32（cm2）．
故答案为：32．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，正确记忆相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题关键．
14．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝20cm，则AC的长约是　12.4cm或7.6cm　．（精确到0.1cm）
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段；则AC＝20×＝10﹣10≈12.4cm或AC＝20﹣（10﹣10）＝30﹣10≈7.6cm．
解：由于点C是线段AB的黄金分割点，
则AC＝20×＝10﹣10≈12.4cm
或AC＝20﹣（10﹣10）＝30﹣10≈7.6cm．
故答案为：12.4cm或7.6cm．
【点评】考查了黄金分割点的概念．特别注意这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金分割的比值进行计算．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为　9　．

【分析】过点M作GH⊥AD交AD于G，交BC于H，证明△EGM≌△FHM，得到MG＝MH，从而可知：点M的轨迹是一条平行于BC的线段，然后证明△EF1B∽△∠EF1F2，求得F1F2＝18，最后根据三角形中位线定理可求得答案．
解：如图所示：过点M作GH⊥AD，交AD于G，交BC于H．

∵AD∥CB，GH⊥AD，
∴GH⊥BC．
在△EGM和△FHM中，

∴△EGM≌△FHM（AAS）．
∴MG＝MH．
∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段．
当点P与A重合时，BF1＝AE＝2，
当点P与点B重合时，∠F2+∠EBF1＝90°，∠BEF1+∠EBF1＝90°，
∴∠F2＝∠EBF1．
∵∠EF1B＝∠EF1F2，
∴△EF1B∽△∠EF1F2．
∴，即：，
∴F1F2＝18，
∵M1M2是△EF1F2的中位线，
∴M1M2＝F1F2＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查的是点的轨迹问题，题目涉及了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，探究出动点经过的路径是解题的关键．
16．如图，点A1，A2，A3，…A2022在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A2021A2022，分别过点A1，A2，A3，…A2022作y轴的平行线与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，…B2022，分别过点B1，B2，B3，…B2022作x轴的平行线，分别于y轴交于点C1，C2，C3，…C2022，连接OB1，OB2，OB3，…OB2022，那么图中从左到右第2022个阴影部分的面积为 　　．

【分析】根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的|k|，得到S△OB1C1＝S△OB2C2＝S△OB3C3＝|k|＝1，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积，找出规律即可得出结论．
解：根据题意可知S△OB1C1＝S△OB2C2＝S△OB3C3＝|k|＝1，
∵OA1＝A1A2＝A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴，
设图中阴影部分的面积从左向右依次为s1，s2，s3
则s1＝|k|＝1，
∵OA1＝A1A2＝A2A3，
∴s2：S△OB2C2＝1：4，s3：S△OB3C3＝1：9，
∴S△OB2C2＝，S△OB3C3＝•••，
∴第n的阴影部分的面积是：，
∴图中从左到右第2022个阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【点评】此题综合考查了反比例函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的|k|．
三、解答题（本大题共8个题，共86分）
17．已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．

【分析】（1）根据反比例函数的图象是双曲线．当k＞0时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原点对称的；
（2）由对称性得到△OAC的面积为3．设A（x、），则利用三角形的面积公式得到关于m的方程，借助于方程来求m的值．
解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m﹣7＞0，则m＞7；

（2）∵点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，
∴△OAC的面积为3．
设A（x，），则
x•＝3，
解得m＝13．

【点评】本题考查了反比例函数的性质、图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．根据题意得到△OAC的面积是解题的关键．
18．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④BD＝CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．
已知：　在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE　．
求证：　∠1＝∠2　．
证明：

【分析】此题无论选择什么作为题设，什么作为结论，它有一个相同点﹣﹣都是通过证明△ABD≌△ACE，然后利用全等三角形的性质解决问题．
解：解法一：如果AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，那么∠1＝∠2．
已知：在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，
求证：∠1＝∠2．
证明：∵AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠1＝∠2．

解法二：如果AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，那么BD＝CE．
已知：在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，
求证：BD＝CE．
证明：∵∠1＝∠2
∴∠BAD＝∠CAE，而AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE
∴BD＝CE．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．
（1）①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将△OAB放大为原来的2倍得到的△OA1B1．
②画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2．
（2）判断△OA1B1与△O2A2B2是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．

【分析】（1）①把A、B的横纵坐标都乘以2得到A1、B1的坐标，然后描点即可；
②利用点平移的坐标规律写出O2、A2、B2的坐标，然后描点即可；
（2）延长A1A2、OO2、B1B2，它们相交于M点，则可判断△OA1B1与△O2A2B2是位似图形．
解：（1）①如图，△OA1B1为所作；
②如图，△O2A2B2为所作；
（2）△OA1B1和△O2A2B2是位似图形；如图，点M为所求，坐标为M（﹣4，2）．

【点评】本题考查了作图﹣位似变换，掌握画位似图形的步骤是解题的关键．
20．为了解我校九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段（A：50分；B：49﹣45分；C：44﹣40分；D：39﹣30分；E：29﹣0分）统计如下：
学业考试体育成绩（分数段）统计表
分数段
人数（人）
频率
A
40
0.2
B
a
0.25
C
70
0.35
D
30
b
E
10
0.05
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）在统计表中，a＝　50　，b＝　0.15　，并将统计图补充完整（温馨提示：作图时别忘了0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑）；
（2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数．”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？　C　（填相应分数段的字母）
（3）如果把成绩在40分以上（含40分）定为优秀，那么我校今年1200名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少名？

【分析】（1）根据频率＝，即可求得总数a的值，进而根据公式求得b的值；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）利用总人数12000乘以对应的频率即可求解．
解：（1）随机抽取部分学生的总人数为：40÷0.2＝200，
∴a＝200×0.25＝50，
b＝30÷200＝0.15，
如图：

故答案为：50，0.15．
（2）∵总人数为200人，
∴根据频率分布直方图知道中位数在C分数段；
故答案为：C．
（3）∵成绩在40分以上（含40分）定为优秀，
∴A、B、C三个分数段的学生均为优秀，
（0.2+0.25+0.35）×1200＝960（名）．
答：该市九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数约有9600名．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图是解题的关键．
21．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．

【分析】（1）根据题意得出A，B点坐标进而利用待定系数法得出一次函数解析式；
（2）求出一次函数与x轴交点，进而利用三角形面积求法得出答案．
解：（1）把x＝3代入y＝﹣，求得y＝﹣4，故A（3，﹣4），
把y＝3代入y＝﹣，求得x＝﹣4，故B（﹣4，3），
把A，B点代入y＝kx+b得：，
解得：，
故直线解析式为：y＝﹣x﹣1；

（2）y＝﹣x﹣1，当y＝0时，x＝﹣1，
故C点坐标为：（﹣1，0），
则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求一次函数解析式、三角形面积求法等知识，正确得出A，B点坐标是解题关键．
22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．

【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝＝13，AD＝12，
∵F是AM的中点，
∴AF＝AM＝6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE﹣AD＝4.9．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
23．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克樱桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【分析】（1）设每千克水果应降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【解答】（1）解：设每千克水果应降价x元，
根据题意，得：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得：x1＝4，x2＝6，
答：每千克水果应降价4元或6元；

（2）由（1）可知每千克水果可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克水果应降价6元．
此时，售价为：60﹣6＝54（元），
×100%＝90%．
答：该店应按原售价的九折出售．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
24．问题提出：
如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边BC、AC上一点，＝＝m，将△DEC绕点C顺时针旋转，点E在△ABC内部，直线AE与BD交于点F．
问题探究：
（1）如图②，探究的值为 　m　（用含m的式子表示）；
（2）如图③，当m＝1，求证：AF＝BD+CD；
问题拓展：
（3）如图④，当m＝时，BF＝2，CF＝6．求AF的长．


【分析】（1）证△ACE∽△BCD，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质得＝＝＝m＝1，则AE＝BD，AC＝BC，CD＝CE，再由勾股定理得DE＝CD，即可得出结论；
（3）过C作CG⊥CF交AF于点G，证△ACG∽△BCF，得AG＝BF＝5，CG＝CF＝3，再由勾股定理得GF＝9，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB﹣∠BCE＝∠ECD﹣∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD，
又∵＝＝m，
∴△ACE∽△BCD，
∴＝＝＝m，
故答案为：m；
（2）证明：同（1）得：△ACE∽△BCD，
∴＝＝＝m＝1，
∴AE＝BD，AC＝BC，CD＝CE，
∴DE＝＝CD，
∵点D与F重合，
∴AF＝AE+DE＝BD+CD；
（3）解：如图④，过C作CG⊥CF交AF于点G，
∵∠ACG+∠BCG＝90°，∠BCF+∠BCG＝90°，
∴∠ACG＝∠BCF，
由（1）可知，△ACE∽△BCD，
∴∠CAG＝∠CBF，
∴△ACG∽△BCF，
∴＝＝＝m＝，
∴AG＝BF＝×2＝5，CG＝CF＝×6＝3，
在Rt△CFG中，由勾股定理得：GF＝＝＝9，
∴AF＝AG+GF＝5+9＝14．

【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．