高中数学选择性必修第一册（综合检测）（附答案）—2022-2023学年高二上学期数学选择性必修第一册（人教A版(2019））

这是一份高中数学选择性必修第一册（综合检测）（附答案）—2022-2023学年高二上学期数学选择性必修第一册（人教A版(2019）），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线eq \r(3)x－y－2021＝0的倾斜角等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.不存在
2.已知向量＝(0,1,1)，＝(1，－2,1)．若向量＋与向量＝(－2，m，－4)平行，则实数m的值是( )
A.2 B.－2 C.10 D.－10
3.直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长是( )
A.10 B.5 C.eq \r(10) D.eq \f(\r(10),2)
4.已知点A(2，－1,2)在平面α内，＝(3,1,2)是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是( )
A.(1，－1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(3,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3，－\f(3,2)))
5.已知直线l过定点A(2,3,1)，且＝(0,1,1)为直线l的一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为( )
A.eq \f(3\r(2),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(10),2) D.eq \r(2)
6.以Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))(p＞0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2－y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为( )
A.y2＝2eq \r(6)x B.y2＝4eq \r(6)x
C.x2＝4eq \r(6)y D.x2＝2eq \r(6)y
7.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(\r(15),5) D.eq \f(\r(10),5)
8.已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9.下列说法中，正确的有( )
A.直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3,2)
B.直线y＝3x－2在y轴上的截距为2
C.直线x－eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角为30°
D.点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离为7
10.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，C1D1中点，则下列结论正确的是( )
A.A1C1∥平面CEF B.B1D⊥平面CEF
C.eq \(CE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up7(→))＋eq \(DD1,\s\up7(→))－eq \(DC,\s\up7(→)) D.点D与点B1到平面CEF的距离相等
11.已知P是椭圆E：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是( )
A.点P的纵坐标为3 B.∠F1PF2>eq \f(π,2)
C.△F1PF2的周长为4(eq \r(2)＋1) D.△F1PF2的内切圆半径为eq \f(3,2)(eq \r(2)－1)
12.已知双曲线C的标准方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，则( )
A.双曲线C的离心率等于半焦距
B.双曲线y2－eq \f(x2,4)＝1与双曲线C有相同的渐近线
C.双曲线C的一条渐近线被圆(x－1)2＋y2＝1截得的弦长为eq \f(4\r(5),5)
D.直线y＝kx＋b与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13.与＝(2，－1,2)共线且满足·＝－9的向量＝________
14.已知点P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上的一点，点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，则|PQ|的最小值为________
15.若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________，|AB|＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
16.已知点E，F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.
18.(12分)如图所示，点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且eq \f(PM,MC)＝3，N为PD的中点．
(1)求满足eq \(MN,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋yeq \(AD,\s\up7(→))＋zeq \(AP,\s\up7(→))的实数x，y，z的值；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝2，求MN的长．
19.(12分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为eq \f(1,2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若eq \(AM,\s\up7(→))＝2eq \(MB,\s\up7(→))，求直线l的方程．
20.(12分)如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1C的中点，AD＝AA1＝2，AB＝eq \r(2).
(1)求证：EF∥平面ADD1A1；(2)求平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值；
(3)在线段A1D1上是否存在点M，使得BM⊥平面EFD？若存在，求出eq \f(A1M,A1D1)的值；若不存在，请说明理由．
21.(12分)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE­BCF和一个正四棱锥P­ABCD组合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；
(2)求正四棱锥P­ABCD的高h，使得二面角C­AF­P的余弦值是eq \f(2\r(2),3).
22.(12分)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，离心率e＝eq \f(\r(3),2)，O为坐标原点，圆O：x2＋y2＝eq \f(4,5)与直线AB相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥DC．记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，试问k1·k2是不是定值？证明你的结论．
参考答案：
单项选择题
1.B 2.A 3.C 4.B 5.A 6.C 7.D 8.B
多项选择题
9.ACD 10.AC 11.CD 12.AD
填空题
13.答案：(－2,1，－2) 14.答案：eq \f(3\r(5),4) 15.答案：2，2eq \r(3) 16.答案：eq \f(\r(2),3)
解答题
17.解：线段AB的中点为(1,3)，kAB＝eq \f(2－4,3－－1)＝－eq \f(1,2)，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋1，,x＝0，))得(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间距离公式得圆半径r为eq \r(0＋12＋1－42)＝eq \r(10)，∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
18.解：(1)取PC的中点E，连接NE(图略)，则
eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(EN,\s\up7(→))－eq \(EM,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up7(→))－(eq \(PM,\s\up7(→))－eq \(PE,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up7(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)\(PC,\s\up7(→))－\f(1,2)\(PC,\s\up7(→))))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up7(→))－eq \f(1,4)eq \(PC,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f(1,4)(－eq \(AP,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→)))＝－eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(AP,\s\up7(→))，所以x＝－eq \f(3,4)，y＝－eq \f(1,4)，z＝eq \f(1,4).
(2)因为PA＝AB＝1，AD＝2，且PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD，
而|eq \(MN,\s\up7(→))|2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)\(AB,\s\up7(→))－\f(1,4)\(AD,\s\up7(→))＋\f(1,4)\(AP,\s\up7(→))))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)\(AB,\s\up7(→))))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)\(AD,\s\up7(→))))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)\(AP,\s\up7(→))))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,16)＋eq \f(4,16)＋eq \f(1,16)＝eq \f(7,8)，
所以|eq \(MN,\s\up7(→))|＝eq \f(\r(14),4).故MN的长为eq \f(\r(14),4).
19.解：(1)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
因为焦距为2，所以c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以a＝2，b＝eq \r(3)，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，
则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由eq \(AM,\s\up7(→))＝2eq \(MB,\s\up7(→))得x1＝－2x2.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(－8k,3＋4k2)，,x1x2＝\f(－8,3＋4k2)，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＝\f(－8k,3＋4k2)，,－2x\\al(2,2)＝\f(－8,3＋4k2)，))消去x2，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8k,3＋4k2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,3＋4k2)，解得k2＝eq \f(1,4)，k＝±eq \f(1,2).
所以直线l的方程为y＝±eq \f(1,2)x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
20.证明：(1)连接AD1，A1D，交于点O，所以点O是A1D的中点，连接FO.
因为F是A1C的中点，所以OF∥CD，OF＝eq \f(1,2)CD．
因为AE∥CD，AE＝eq \f(1,2)CD，所以OF∥AE，OF＝AE.所以四边形AEFO是平行四边形．
所以EF∥AO.
因为EF⊄平面ADD1A1，AO⊂平面ADD1A1，所以EF∥平面ADD1A1.
解：(2)以点A为坐标原点，直线AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
因为点E，F分别是AB，A1C的中点，AD＝AA1＝2，AB＝eq \r(2)，
所以B(eq \r(2)，0,0)，D(0,2,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1，1)).
所以eq \(DE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－2，0))，eq \(EF,\s\up7(→))＝(0,1,1)．
设平面EFD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DE,\s\up7(→))＝0，,n·\(EF,\s\up7(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)x－2y＝0，,y＋z＝0.))
令y＝1，则z＝－1，x＝2eq \r(2).所以n＝(2eq \r(2)，1，－1)．
由题知，平面DEC的一个法向量为m＝(0,0,1)，所以cs〈n，m〉＝eq \f(－1,\r(10)×1)＝－eq \f(\r(10),10).
所以平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值是eq \f(\r(10),10).
(3)假设在线段A1D1上存在一点M，使得BM⊥平面EFD．
设点M的坐标为(0，t,2)(0≤t≤2)，则eq \(BM,\s\up7(→))＝(－eq \r(2)，t,2)．
因为平面EFD的一个法向量为n＝(2eq \r(2)，1，－1)，而eq \(BM,\s\up7(→))与n不平行，
所以在线段A1D1上不存在点M，使得BM⊥平面EFD．
21.(1)证明：在直三棱柱ADE­BCF中，AB⊥平面ADE，AD⊂平面ADE，所以AB⊥AD．
又AD⊥AF，AB∩AF＝A，AB⊂平面ABFE，AF⊂平面ABFE，所以AD⊥平面ABFE.
因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABFE.
(2)解：由(1)知AD⊥平面ABFE，以A为原点，AB，AE，AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，－h,1)，eq \(AF,\s\up7(→))＝(2,2,0)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(2,0,2)，eq \(AP,\s\up7(→))＝(1，－h,1)．
设平面AFC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(AF,\s\up7(→))＝2x1＋2y1＝0，,m·\(AC,\s\up7(→))＝2x1＋2z1＝0，))取x1＝1，则y1＝z1＝－1，所以m＝(1，－1，－1)．
设平面AFP的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AF,\s\up7(→))＝2x2＋2y2＝0，,n·\(AP,\s\up7(→))＝x2－hy2＋z2＝0，))
取x2＝1，则y2＝－1，z2＝－1－h，所以n＝(1，－1，－1－h)．
因为二面角C­AF­P的余弦值为eq \f(2\r(2),3)，
所以|cs〈m，n〉|＝eq \f(|m·n|,|m||n|)＝eq \f(|1＋1＋1＋h|,\r(3)×\r(2＋h＋12))＝eq \f(2\r(2),3)，解得h＝1或h＝－eq \f(3,5)(舍)，
所以正四棱锥P­ABCD的高h＝1.
22.解：(1)直线AB的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0，
由圆O与直线AB相切，得eq \f(ab,\r(a2＋b2))＝eq \r(\f(4,5))，即eq \f(a2b2,a2＋b2)＝eq \f(4,5)，①
设椭圆的半焦距为c，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，∴eq \f(b2,a2)＝1－e2＝eq \f(1,4)，②
由①②得a2＝4，b2＝1.故椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)k1·k2＝eq \f(1,4)，为定值，证明过程如下：
由(1)得直线AB的方程为y＝－eq \f(1,2)x＋1，
故可设直线DC的方程为y＝－eq \f(1,2)x＋m，显然m≠±1.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)．联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝－\f(1,2)x＋m，))消去y，得x2－2mx＋2m2－2＝0，
则Δ＝8－4m2>0，解得－eq \r(2)