人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法教学ppt课件

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3.1.1　函数及其表示方法
课前预习 课中探究 课堂评价
探究点一　函数概念的理解探究点二　函数的定义域探究点三　抽象函数的定义域探究点四　函数求值问题和简单函数的值域探究点五　同一个函数的判断
1.能用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念;2.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域、值域.
知识点一　函数的有关概念
一般地,给定两个　　　　 　　A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的　　　 　　　　,在集合B中都有　 　　　　的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x称为自变量,y称为因变量,自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的　　　　,所有函数值组成的集合{y∈B|y=f(x),x∈A}称为函数的　　　　. 
【诊断分析】 (1)怎样理解函数概念中非空、任意性和唯一确定性?(2)如果值域记作C,上述定义中,集合B,C有什么关系?(3)已知函数y=f(x),x∈A,a∈A,则f(x)与f(a)有什么关系?
解:(1)①A,B必须为非空数集,②集合A中元素具有任意性,③集合B中元素必须有唯一确定性.(2)C⊆B.(3)f(a)是f(x)值域中的一个值,即当x=a时的函数值.
知识点二　同一个函数的概念
如果两个函数表达式表示的函数　 　　　　　,　 　　　　　　,则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 
【诊断分析】 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗?
解:不一定.因为定义域和值域不能确定函数的对应关系.如y=x+1与y=x-1两个函数的定义域和值域均为实数集R,但这两个函数不是同一函数,原因是对应关系不同.
知识点三　常见函数的定义域、值域
[探索] y=x2是关于x的函数,那么反之x是关于y的函数吗?
探究点一　函数概念的理解
解:给定任意一个x值都有唯一的y值与之对应,反之给定任意一个y值存在两个x值与之对应,故x不是关于y的函数.
例1 (1)[2022·江苏淮安高一期中] 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤3}.下列四个图形中,能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　 )① ② ③ ④图3-1-1A.3个 B.2个C.1个D.0个
[解析] (1)对于①,集合M中有元素未取到,不符合题意;对于②,集合M中每个元素都能取到,属于函数关系,且值域[0,2]是集合N的子集,符合题意;对于③,集合M中每个元素都能取到,属于函数关系,且值域就是集合N,符合题意;对于④,一个x值对应两个y值,不属于函数关系,不符合题意.故能表示从集合M到集合N的函数关系的有2个,故选B.
(2)下列对应关系中,是A到B的函数的有　　　　个. ①A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A中的数的平方;②A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数的开方; ③A=Z,B=Q,f:A中的数的倒数;④A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值;⑤A={1,2,3,4},B={2,4,6,8,10},f:n=2m,其中n∈A,m∈B.
[解析] (2)①满足函数的定义,正确;②∵(±1)2=1,∴1有2个对应元素,不满足唯一性,不是函数关系;③∵0的倒数不存在,∴0没有对应元素,不是函数关系;④∵0的绝对值是0,∴0没有对应元素,不是函数关系;⑤不是A到B的函数.故是A到B的函数的个数为1.
变式 (1)[2021·北京海淀区高一期中] 下列四个图形中,不可作为函数的图像的是(　 )A B C D图3-1-2
[解析] (1)选项A,C,D中的图形都满足函数的定义,是函数的图像,只有B中的图形不是函数的图像.故选B.
(2)(多选题)[2021·湖北孝感期中] 已知集合A,B与对应关系f如图3-1-3所示,则下列说法正确的是(　 )A.f:A→B是从集合A到集合B的函数B.f:A→B不是从集合A到集合B的函数C.f(3)=5D.f(3)=3f(5)
[解析] (2)对于集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应,满足函数的定义,故f:A→B是从集合A到集合B的函数,故A正确,B错误;易知f(3)=9,f(5)=3,则f(3)=3f(5),故C错误,D正确.故选AD.
[素养小结](1)根据图像判断对应关系是否为函数的方法:①作一条垂直于x轴的直线l;②在x的取值范围内平移直线l;③若直线l在平移的过程中与图像始终有且只有一个交点,则是函数,若没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.(2)判断对应关系是否为函数的两个条件:①A,B必须是非空实数集;②A中任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应,对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系.
探究点二　函数的定义域
[素养小结]求函数定义域的常用依据:(1)若f(x)是分式,则分母不为零;(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零;(3)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义;(4)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义;(5)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不同区间应该用“∪”连接.
[探索] 函数f(3x+1)的定义域是指“x”和“3x+1”谁的取值范围?
探究点三　抽象函数的定义域
解:定义域都是指表达式中“x”的取值范围,所以函数f(3x+1)的定义域是指“x”的取值范围.
变式 (1)若函数f(x)的定义域为[-3,5],则函数φ(x)=f(-x)+f(x)的定义域为　 　　　. 
[素养小结]求抽象函数定义域的方法:(1)当对应关系f所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时,应将左、右两端统一,也可以用“换元法”,将较难配凑的式子化简.(2)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即得.若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数g(x)在x∈[a,b]时的取值范围即为所求函数f(x)的定义域.
探究点四　函数求值问题和简单函数的值域
探究点五　同一个函数的判断
[素养小结]判断两个函数为同一个函数的条件:(1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同,定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是同一个函数;(2)函数是两个非空实数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的,另外,在化简解析式时,必须是等价变形.
1. 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到N的函数关系的有(　 )图3-1-4A.1个B.2个C.3个D.4个
[解析] 由函数的定义可知,M中任意一个x在N中都有唯一确定的y与之对应,故(1)(2)(4)能表示函数关系.故选C.
[解析] 因为函数有意义当且仅当x-1>0,解得x>1,所以函数f(x)的定义域为(1,+∞).故选B.
1.整体法根据函数解析式或实际问题求出函数的自变量的取值范围.
2.代入法 根据函数的定义域结合函数的对应关系求出函数值的取值范围.
例2 求函数y=2x+1,x∈{1,2,3,4}的值域.
解:当x=1时,y=3;当x=2时,y=5;当x=3时,y=7;当x=4时,y=9.所以函数y=2x+1,x∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}.