数学必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.2 函数的单调性课文配套ppt课件

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3.1.2　函数的单调性
课前预习 课中探究 课堂评价
探究点一　由函数图像判断函数的单调性或单调区间探究点二　函数单调性的判断及证明探究点三　函数单调性的应用
第1课时　单调性的定义与证明、函数的最值
1.理解函数单调性的定义,会运用函数的图像理解和研究函数的单调性;2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性,会求具体函数的单调区间;3.理解函数的最大值和最小值的概念,能借助函数的图像和单调性求简单函数的最值.
知识点一　增函数与减函数
两种情况下,都称函数在I上具有单调性(当I为区间时,称I为函数的　　　　　　,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间). 
【诊断分析】 (1)在增函数和减函数的定义中,能否把“∀x1,x2∈I”改为“∃x1,x2∈I”?(2)如果函数f(x)在其定义域内的两个子区间D1,D2上都是增函数,那么f(x)在D1∪D2上也是增函数吗?
知识点二　函数的最大(小)值及几何意义
【诊断分析】 (1)函数f(x)=x2+1≥-1总成立,f(x)的最小值是-1吗?(2)有位同学说:“因为f(x)=-x2≤-1,所以f(x)的最大值是-1.”这个说法对吗?
解:(1)不是.f(x)=x2+1≥-1总成立,但不存在x使f(x)=-1,所以f(x)的最小值不是-1.(2)不对.因为对于任意x∈R,f(x)=-x2≤-1并不总成立,所以f(x)的最大值不是-1.
知识点三　求函数最值的常用方法
(1)图像法:作出y=f(x)的图像,观察最高点与最低点,最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.(2)运用已学函数的值域.(3)运用函数的单调性:①若函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数,则f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　. 
②若函数y=f(x)在区间[a,b]上是减函数,则f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　. ③若函数y=f(x)是定义在区间(a,b)或R上的连续函数,则函数y=f(x)的最大(小)值要根据具体函数而定.(4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中的最大(小)的那个.
【诊断分析】 (1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的最值是什么?常用哪些方法求二次函数的最值.(2)要确定f(x)=ax+2(a≠0)在[-1,3]上的最值,需要先确定什么?
例1 (1)已知函数y=f(x)在区间[-5,5]上的图像如图3-1-12所示,则函数f(x)的单调递减区间是　　　　、　　　　,单调递增区间是　　　　、　　　　. 
探究点一　由函数图像判断函数的单调性或单调区间
[解析] (1)由题图可知,函数f(x)的单调递减区间是[-2,1],[3,5],单调递增区间是[-5,-2],[1,3].
(-∞,1),(1,+∞)
(3)画出函数y=x2-2|x|+2的图像,并讨论该函数的单调性.
变式 (1)画出函数y=|x|(x-2)的图像,并指出函数的单调区间.
(2)已知函数y=f(x)的图像如图3-1-13所示.①根据函数图像,写出f(x)的单调区间;②若f(x)在[a-1,a+1]上单调递增,求实数a的取值范围.
解:(2)①由图像知,函数的单调递减区间为[-1,2],单调递增区间为(-∞,-1],[2,+∞).②若f(x)在[a-1,a+1]上单调递增,则a+1≤-1或a-1≥2,解得a≤-2或a≥3,故实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[3,+∞).
[素养小结]求函数的单调区间时,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,可根据其单调性写出函数的单调区间,若函数不是上述函数且函数图像容易作出,可作出其图像,根据图像写出其单调区间.
探究点二　函数单调性的判断及证明
[素养小结]证明函数f(x)在区间D上的单调性应遵循以下步骤:(1)任取:任取x1,x2∈D,且x1拓展 (1)已知函数f(x)对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,试判断函数f(x)的单调性.(2)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),对任意正实数x,y均有f(xy)=f(x)f(y),且当x>1时,0角度1　应用单调性比较大小
探究点三　函数单调性的应用
[素养小结]利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在比较函数值的大小时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
角度2　应用单调性求解不等式
例4 [2022·陕西安康高一期末] 已知函数f(x)在定义域(-1,1)上是增函数,且f(1-a)角度3　应用单调性求解参数范围
(2)若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　 　　　. 
[解析] (2)因为f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-a-1].因为f(x)在区间(-∞,3]上单调递增,所以3≤-a-1,解得a≤-4,故实数a的取值范围是(-∞,-4].
[素养小结](1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法:视参数为已知数,依据函数的图像或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.(2)求分段函数单调性问题要保证两点:一是各段单调,二是“节点”单调.例如上例(1)中,可判断该分段函数为单调递增函数,则当x<1时,函数为增函数,且当x=1时,要满足左侧的函数值小于右侧的函数值,即整体体现上升的趋势,反之若分段函数为减函数,则各段均为减函数,且在节点处的函数值满足左大右小,即整体体现出下降的趋势.
角度4　应用单调性求最值
[素养小结](1)利用单调性求最值的一般步骤:①判断函数的单调性;②利用单调性写出最值.(2)函数的最值与单调性的关系:①若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b);②若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a);③求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
1. 若函数f(x)在R上单调递减,且f(2m)>f(1+m),则实数m的取值范围是(　 )A.(-∞,-1)B.(-∞,1)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)
[解析] ∵函数f(x)在R上单调递减,且f(2m)>f(1+m),∴2m<1+m,解得m<1.故选B.
5. 函数f(x)=1-|x|的单调递减区间是　 　　　. 
1.利用图像判断函数的单调区间与最值单调性反映在图像上,图像在区间M上的部分从左到右是上升(下降)的,说明函数在区间M上单调递增(单调递减).函数最大值的几何意义是函数图像最高点的纵坐标,函数最小值的几何意义是函数图像最低点的纵坐标.
例1 如图所示的是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图像,该函数的单调递增区间为　 　. 
[-2,1],[3,5]
[解析] 函数f(x)在区间[-2,1]和[3,5]上的图像呈上升趋势,故函数在这两个区间上单调递增,故函数的单调递增区间是[-2,1]和[3,5].
例2 如图,将气温θ关于时间t的函数记为θ=f(t),观察这个函数的图像,说出函数的最大值、最小值在函数图像的什么位置取得?函数的最大值、最小值各是什么?
解:曲线的最高点的纵坐标为函数的最大值,最大值为9;曲线的最低点的纵坐标为函数的最小值,最小值为-2.
2.利用函数单调性的定义求参数的取值范围可利用函数单调性的定义,建立关于参数的不等式(组)或方程,同时注意利用数形结合的思想,运用逆向思维思考问题.
3.利用函数的单调性解不等式利用函数单调性的定义解决某些不等式问题.
例4 若函数y=f(x)在定义域(-1,1)上单调递增,且f(m+1)>f(-m),则实数m的取值范围是  　. 
4.利用单调性求函数最值利用单调性求函数的最值的步骤为:第一步,利用函数单调性的定义判断函数在所给定义域内的单调性.第二步,根据单调性确定函数的最大值、最小值.