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人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.3 函数的奇偶性教课内容ppt课件
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这是一份人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.3 函数的奇偶性教课内容ppt课件，共32页。PPT课件主要包含了学习目标等内容，欢迎下载使用。
3.1.3 函数的奇偶性
课前预习 课中探究 课堂评价
探究点一 函数奇偶性的判断探究点二 奇函数、偶函数的图像及应用探究点三 利用函数的奇偶性求值
第1课时 函数的奇偶性
1.结合具体函数了解函数奇偶性的概念, 掌握函数奇偶性的判断和证明方法;2.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题.
知识点 函数奇偶性的概念及图像特点
(1)奇偶性定义:如果一个函数是 或是 ,则称这个函数具有奇偶性. (2)既不是奇函数也不是偶函数定义:设函数f(x)的定义域为D,如果存在x0∈D,但-x0∉D,即函数f(x)的定义域不关于原点对称,或对任意的x∈D,都有-x∈D,且存在x1,x2∈D,f(-x1)≠-f(x1),f(-x2)≠f(x2),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
【诊断分析】 (1)为什么奇、偶函数的定义域一定要关于原点对称?(2)对于定义在R上的函数f(x),若f(-2)=f(2),则函数f(x)一定是偶函数吗?(3)函数f(x)=c(c≠0)是偶函数吗?(4)若函数y=f(x)的图像关于原点对称,则y=f(x)的图像是否一定过点(0,0)?
解:(1)由定义知,若x是定义域内的一个元素,-x也一定是定义域内的一个元素,所以函数具有奇偶性的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.如果所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.(2)不一定.仅有f(-2)=f(2),不足以确定函数的奇偶性,不满足定义中的“任意”,故f(x)不一定是偶函数.(3)是.f(x)=c(c≠0)符合偶函数的定义.(4)不一定.因为f(x)的定义域不一定包含{0}.
探究点一 函数奇偶性的判断
(6)方法一:作出函数f(x)的图像如图所示,因为函数f(x)的图像关于原点对称,所以函数是奇函数.方法二:当x>0时,f(x)=1-x2,此时-x<0,所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1,所以f(-x)=-f(x);当x<0时,f(x)=x2-1,此时-x>0,f(-x)=1-(-x)2=1-x2,所以f(-x)=-f(x);当x=0时,f(-0)=-f(0)=0.故对任意x∈R,总有f(-x)=-f(x),所以f(x)为R上的奇函数.
变式 (1)如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中一定为偶函数的是( )A.g(x)=x+f(x) B.h(x)=xf(x)C.p(x)=x2+f(x) D.q(x)=x2f(x)
[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).对于A,g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x),所以g(x)=x+f(x)是奇函数;对于B,h(-x)=-xf(-x)=xf(x)=h(x),所以h(x)=xf(x)是偶函数;对于C,p(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-f(x),所以p(x)=x2+f(x)为非奇非偶函数;对于D,q(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-q(x),所以q(x)=x2f(x)是奇函数.故选B.
[素养小结]判断函数奇偶性的方法:(1)定义法:(2)图像法:若函数的图像关于原点对称,则函数为奇函数;若函数的图像关于y轴对称,则函数为偶函数.此方法多用在解选择题和填空题中.注意:对于分段函数奇偶性的判断,应分段讨论,要注意根据x的取值范围取相应的函数解析式.
拓展 已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y,恒有f(xy)=f(x)+f(y),求证:f(x)是偶函数.
证明:在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0.令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),则f(-1)=0.则f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x),故f(x)是偶函数.
例2 (1)[2021·苏州高一期末] 已知函数y=f(x)的图像如图3-1-23所示,则函数y=xf(x)的图像可能是( )
探究点二 奇函数、偶函数的图像及应用
[解析] 由题图可得f(x)为偶函数,令g(x)=xf(x),则g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),所以g(x)=xf(x)为奇函数,排除C,D.当x→+∞时,f(x)>0,g(x)=xf(x)>0,排除B.故选A.
A B C D
(2)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像,如图3-1-25所示.①请补全函数y=f(x)的图像;②根据图像写出函数y=f(x)的单调递增区间;③根据图像写出使f(x)<0的x的取值集合.
解:①由题意补全函数图像如图所示.②由图可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[1,+∞).③由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2
[解析] 由题意,函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),又当x≥0时,函数为减函数,所以f(1)>f(2)>f(3),所以f(1)>f(-2)>f(3).故选A.
(2)上例中(2)若将“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,如何解答本题?
解:①由题意补全函数图像如图所示.②由图可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,1].③由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-22}.
[素养小结]巧用奇、偶函数的图像求解问题(1)依据:奇函数⇔图像关于原点对称,偶函数⇔图像关于y轴对称.(2)求解:根据奇、偶函数图像的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
[探索] ①若函数f(x)为奇函数,在区间[-a,a]上有最大值m,则其是否有最小值?若有,则最小值是多少?②若函数f(x)是偶函数,且过点(a,b),则满足f(x)=b的x值有哪些?
探究点三 利用函数的奇偶性求值
解:①因为函数f(x)为奇函数,其图像关于原点对称,所以其有最大值,则一定有最小值,由对称性可知其最小值为-m;②因为偶函数的图像关于y轴对称,所以函数f(x)的图像也过点(-a,b),所以满足f(x)=b的x值至少有-a,a.
例3 (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a= ,b= .
[素养小结]利用奇偶性求值的常见类型:(1)求参数值:若解析式含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求参数.(2)求函数值:利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解,有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
1. 已知函数f(x)=x3+ax+b为奇函数,则b=( )A.-1B.0C.1D.2
[解析] 因为f(x)=x3+ax+b为奇函数,且f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,即b=0,经检验符合题意.故选B.
3. (多选题)[2021·大连八中高一期中] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,则( )A.f(x)·f(-x)是奇函数B.f(x)·f(-x)是偶函数C.f(x)·f(-x)<0D.f(x)·f(-x)≤0
4. 已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为( )A.4B.0C.2mD.-m+4
[解析] 由已知得f(x)+f(-x)=4,故f(-5)+f(5)=4.故选A.
5. 已知f(x)为奇函数,y=f(x)的部分图像如图3-1-27所示,则( )A.f(2)=2B.f(2)=-2C.f(2)>-2D.f(2)<-2
[解析] 由函数f(x)的图像知,f(-2)-f(-1)=-2,又f(x)为奇函数,所以f(2)=-f(-2),则f(2)>-2,故选C.
1.理解函数的奇偶性要注意:(1)函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说函数f(x)是奇(或偶)函数;(2)函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件:定义域关于原点对称,换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.例如,函数y=x2在区间(-∞,+∞)上是偶函数,但在区间[-1,2]上却无奇偶性可言;(3)若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0;(4)若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数,既奇又偶的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的非空实数集.
2.复合函数的奇偶性:①若f(x+a)是偶函数,则f(-x+a)=f(x+a);②若f(x+a)是奇函数,则f(-x+a)=-f(x+a).③若函数f(x+a)是R上的奇函数,则f(0+a)=0.3.判断函数的奇偶性除了定义法,还有图像法,分类讨论法等.(1)分类讨论法判断分段函数的奇偶性,通常用分类讨论法.
[解析] 由题知,f(x)的定义域关于原点对称.当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-(-x)+1=x2+x+1=-f(x);当x>0时,-x<0,f(-x)=-(-x)2-(-x)-1=-x2+x-1=-f(x).综上可知,f(x)为奇函数.
3.1.3 函数的奇偶性
课前预习 课中探究 课堂评价
探究点一 函数奇偶性的判断探究点二 奇函数、偶函数的图像及应用探究点三 利用函数的奇偶性求值
第1课时 函数的奇偶性
1.结合具体函数了解函数奇偶性的概念, 掌握函数奇偶性的判断和证明方法;2.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题.
知识点 函数奇偶性的概念及图像特点
(1)奇偶性定义:如果一个函数是 或是 ,则称这个函数具有奇偶性. (2)既不是奇函数也不是偶函数定义:设函数f(x)的定义域为D,如果存在x0∈D,但-x0∉D,即函数f(x)的定义域不关于原点对称,或对任意的x∈D,都有-x∈D,且存在x1,x2∈D,f(-x1)≠-f(x1),f(-x2)≠f(x2),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
【诊断分析】 (1)为什么奇、偶函数的定义域一定要关于原点对称?(2)对于定义在R上的函数f(x),若f(-2)=f(2),则函数f(x)一定是偶函数吗?(3)函数f(x)=c(c≠0)是偶函数吗?(4)若函数y=f(x)的图像关于原点对称,则y=f(x)的图像是否一定过点(0,0)?
解:(1)由定义知,若x是定义域内的一个元素,-x也一定是定义域内的一个元素,所以函数具有奇偶性的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.如果所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.(2)不一定.仅有f(-2)=f(2),不足以确定函数的奇偶性,不满足定义中的“任意”,故f(x)不一定是偶函数.(3)是.f(x)=c(c≠0)符合偶函数的定义.(4)不一定.因为f(x)的定义域不一定包含{0}.
探究点一 函数奇偶性的判断
(6)方法一:作出函数f(x)的图像如图所示,因为函数f(x)的图像关于原点对称,所以函数是奇函数.方法二:当x>0时,f(x)=1-x2,此时-x<0,所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1,所以f(-x)=-f(x);当x<0时,f(x)=x2-1,此时-x>0,f(-x)=1-(-x)2=1-x2,所以f(-x)=-f(x);当x=0时,f(-0)=-f(0)=0.故对任意x∈R,总有f(-x)=-f(x),所以f(x)为R上的奇函数.
变式 (1)如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中一定为偶函数的是( )A.g(x)=x+f(x) B.h(x)=xf(x)C.p(x)=x2+f(x) D.q(x)=x2f(x)
[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).对于A,g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x),所以g(x)=x+f(x)是奇函数;对于B,h(-x)=-xf(-x)=xf(x)=h(x),所以h(x)=xf(x)是偶函数;对于C,p(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-f(x),所以p(x)=x2+f(x)为非奇非偶函数;对于D,q(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-q(x),所以q(x)=x2f(x)是奇函数.故选B.
[素养小结]判断函数奇偶性的方法:(1)定义法:(2)图像法:若函数的图像关于原点对称,则函数为奇函数;若函数的图像关于y轴对称,则函数为偶函数.此方法多用在解选择题和填空题中.注意:对于分段函数奇偶性的判断,应分段讨论,要注意根据x的取值范围取相应的函数解析式.
拓展 已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y,恒有f(xy)=f(x)+f(y),求证:f(x)是偶函数.
证明:在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0.令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),则f(-1)=0.则f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x),故f(x)是偶函数.
例2 (1)[2021·苏州高一期末] 已知函数y=f(x)的图像如图3-1-23所示,则函数y=xf(x)的图像可能是( )
探究点二 奇函数、偶函数的图像及应用
[解析] 由题图可得f(x)为偶函数,令g(x)=xf(x),则g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),所以g(x)=xf(x)为奇函数,排除C,D.当x→+∞时,f(x)>0,g(x)=xf(x)>0,排除B.故选A.
A B C D
(2)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像,如图3-1-25所示.①请补全函数y=f(x)的图像;②根据图像写出函数y=f(x)的单调递增区间;③根据图像写出使f(x)<0的x的取值集合.
解:①由题意补全函数图像如图所示.②由图可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[1,+∞).③由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2
[解析] 由题意,函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),又当x≥0时,函数为减函数,所以f(1)>f(2)>f(3),所以f(1)>f(-2)>f(3).故选A.
(2)上例中(2)若将“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,如何解答本题?
解:①由题意补全函数图像如图所示.②由图可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,1].③由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2
[素养小结]巧用奇、偶函数的图像求解问题(1)依据:奇函数⇔图像关于原点对称,偶函数⇔图像关于y轴对称.(2)求解:根据奇、偶函数图像的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
[探索] ①若函数f(x)为奇函数,在区间[-a,a]上有最大值m,则其是否有最小值?若有,则最小值是多少?②若函数f(x)是偶函数,且过点(a,b),则满足f(x)=b的x值有哪些?
探究点三 利用函数的奇偶性求值
解:①因为函数f(x)为奇函数,其图像关于原点对称,所以其有最大值,则一定有最小值,由对称性可知其最小值为-m;②因为偶函数的图像关于y轴对称,所以函数f(x)的图像也过点(-a,b),所以满足f(x)=b的x值至少有-a,a.
例3 (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a= ,b= .
[素养小结]利用奇偶性求值的常见类型:(1)求参数值:若解析式含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求参数.(2)求函数值:利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解,有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
1. 已知函数f(x)=x3+ax+b为奇函数,则b=( )A.-1B.0C.1D.2
[解析] 因为f(x)=x3+ax+b为奇函数,且f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,即b=0,经检验符合题意.故选B.
3. (多选题)[2021·大连八中高一期中] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,则( )A.f(x)·f(-x)是奇函数B.f(x)·f(-x)是偶函数C.f(x)·f(-x)<0D.f(x)·f(-x)≤0
4. 已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为( )A.4B.0C.2mD.-m+4
[解析] 由已知得f(x)+f(-x)=4,故f(-5)+f(5)=4.故选A.
5. 已知f(x)为奇函数,y=f(x)的部分图像如图3-1-27所示,则( )A.f(2)=2B.f(2)=-2C.f(2)>-2D.f(2)<-2
[解析] 由函数f(x)的图像知,f(-2)
1.理解函数的奇偶性要注意:(1)函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说函数f(x)是奇(或偶)函数;(2)函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件:定义域关于原点对称,换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.例如,函数y=x2在区间(-∞,+∞)上是偶函数,但在区间[-1,2]上却无奇偶性可言;(3)若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0;(4)若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数,既奇又偶的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的非空实数集.
2.复合函数的奇偶性:①若f(x+a)是偶函数,则f(-x+a)=f(x+a);②若f(x+a)是奇函数,则f(-x+a)=-f(x+a).③若函数f(x+a)是R上的奇函数,则f(0+a)=0.3.判断函数的奇偶性除了定义法,还有图像法,分类讨论法等.(1)分类讨论法判断分段函数的奇偶性,通常用分类讨论法.
[解析] 由题知,f(x)的定义域关于原点对称.当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-(-x)+1=x2+x+1=-f(x);当x>0时,-x<0,f(-x)=-(-x)2-(-x)-1=-x2+x-1=-f(x).综上可知,f(x)为奇函数.
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