2.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 -(人教A版2019选择性必修第一册) (学生版+教师版)

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

知识点1 直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角

定义

当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.

特别地，当直线与轴平行或重合时，规定.

范围

与轴垂直时，.

直线的斜率

定义

直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作.

当直线与轴平行或重合时，，

当直线与轴垂直时，不存在.

倾斜角与斜率之间的关系

，，

如左图，当时，是递增的；

右图中斜率为的直线对应的倾斜角为，其中，而；

如左图，当时，也是递增的；

右图中斜率为的直线对应的倾斜角为，

其中，而.

(简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值越大)

斜率公式

经过两点的直线的斜率公式是

使用斜率公式的时候要注意的前提条件.

(4)求斜率的方法

已知直线上两点，根据斜率公式求斜率；

已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率.

(5) 利用斜率证明三点共线的方法

已知，

若 或，则有三点共线.

知识点  直线的方程

1 直线方程的几种形式

2 易错点

(1) 利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.

(2) 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零.距离的值是非负数.

(3) 用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.

【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系

【典题1】已知直线过两点且倾斜角为，则的值为     .

【典题2】直线的倾斜角的取值范围是       .

【典题3】设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围为      .

巩固练习

1(★) 下列叙述正确的是(　　)

A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 

B．直线倾斜角的取值范围是 

C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 

D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或

2 (★) 若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为      .

3 (★★) 已知在直角坐标系中，等边中与原点重合，若的斜率为，则的斜率可能为      .

4(★★) 已知，则直线的倾斜角的取值范围是       .

5(★★) 直线经过点，，则直线倾斜角的取值范围是     .

6(★★★) 已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是       .

7(★★★) 在线段上运动，已知，则的取值范围是       .

【题型二】求直线方程

【典题1】根据所给条件求直线方程

直线过点，倾斜角的正弦值为；

直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为；

直线过点，.

【典题2】 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，分别以，为边向外作正方形与，则点的坐标为　   　，直线的一般式方程为　    　．

巩固练习

1(★) 【多选题】下列说法中，正确的有(　　)

A．过点且在轴截距相等的直线方程为

B．直线在y轴上的截距为 

C．直线 的倾斜角为 

D．过点并且倾斜角为的直线方程为

2(★)【多选题】下列有关直线的说法中不正确的是(　　)

A．直线的斜率为 B．直线的斜率为 

C．直线过定点 D．直线过定点

3(★) 已知直线在两个坐标轴上截距之和为，则实数的值为       .

4 (★★)若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有      条.

5 (★★) 已知等边的两个顶点，且第三个顶点在第四象限，则边所在的直线方程是       .

【题型三】直线方程的综合运用

【典题1】设直线：．

求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；

若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；

设直线与轴、轴的正半轴交于点，求当点为中的定点)取得最小值时直线的方程．

 【典题2】 如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中部分内部，不含边界)受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成．

求直线的斜率的取值范围；

若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程；

如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值．

巩固练习

1(★★) 已知直线的方程为：．

求证：不论为何值，直线必过定点；

过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．

2(★★★) 已知直线经过点．

若直线在轴、轴上的截距互为相反数，求直线的方程；

若直线与轴、轴的正半轴分别交于两点．当取得最小值时，求直线的方程．

3(★★★) 如图，射线与轴正半轴的夹角分别为和，过点的直线分别交，于点．

(1)当线段的中点为时，求的方程；

(2)当线段的中点在直线上时，求的方程．

4 (★★★) 已知直线：．

证明：直线过定点；

若直线不经过第四象限，求的取值范围；

若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求的最小值并求此时直线的方程．

5 (★★★) 在直角坐标系中，已知射线：，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点．

当的中点为时，求直线的方程；求的最小值．