高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程教案及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程教案及反思，共5页。教案主要包含了教学内容，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
【教学内容】
直线的两点式、截距式方程的探究推导；运用直线的两点式、截距式求直线的方程的方法.
【教学目标】
1．推导并掌握直线的两点式、截距式方程；
2．能正确运用直线的两点式、截距式求直线的方程；
3．深化直线的几何特征与方程之间的关系，进一步培养学生利用几何与代数转化的解析思想，培养提高逻辑推理，数学运算和直观想象核心素养
【教学重难点】
教学重点：推导直线的两点式、截距式方程.
教学难点：理解直线上点的几何特征与直线上点坐标满足的直线方程间的对应关系.
【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）
（一）探究新知
问题1 如何表示出经过两点，的直线的方程？
引导学生明确探究思路：利用两点，求出斜率，代入其中一点求直线的点斜式方程.
解：已知两点的坐标，，（），求出直线l的斜率，将点及斜率k代入直线l的点斜式方程，得.
意图：梳理探究思路， 探究经过两点的直线的方程.
追问1：是否可以将进行变形？
引导学生讨论：若直线上的两点横纵坐标均不相同，则，，直线的斜率存在且不为0，可将两侧同时除以，得到直线l方程可表示为.
小结：可利用方程将直线的几何特征进行代数表示，这就是经过两点，，（其中，且）的直线的两点式方程，简称两点式.
意图：完善思考过程，推导直线的两点式方程.
问题2 能否说明直线的两点式的几何意义？
引导学生思考：过已知横纵坐标均不相同的两点的直线，其几何特征为直线上任意点到与已知两点连线的斜率，都等于这两点连线的斜率，即这条直线的斜率.
梳理探究过程：已知直线l上的两个点，，（其中，且），在直线l上任取一点，则需要满足；其中， ，，即.即点需要满足的方程；但该式中且，只能表示直线上除去点之外的其他点；而由于，将该式进行变形，得到，即可表示直线l.进一步说明直线两点式方程的记忆方式.
意图：深化直线的两点式方程的研究思路及形式的认识.
追问1：直线的两点式方程能表示什么样的直线？
引导学生明确：直线的两点式方程需满足，且，其中，表示直线的倾斜角，即直线不能垂直于x轴；表示直线的倾斜角，即直线不能平行于x轴，换言之，直线的两点式方程只能表示除了平行或垂直于x轴之外的其他直线.
意图：说明直线的两点式方程的适用范围.
问题3 如果已知直线l上的两点分别落在x轴、y轴上，即已知点,，其中，如何表示这条直线l？
引导学生思考并讨论：将点，其中代入直线的两点式方程：，即，，也就是；
意图：借助直线的两点式方程，利用特殊点，探究直线的截距式方程.
追问1：如何理解？
引导学生明确推导过程：该式由已知直线过特殊的两个点，即x轴与y轴上的两个点，利用直线的两点式方程推导而来.式子中的为直线与x轴交点的横坐标和直线与y轴交点的纵坐标；
小结：b叫做直线l在y轴上的截距；a叫做直线l在x轴上的截距
我们将该式称为直线的截距式方程，简称截距式，因此直线的截距式方程也是特殊的两点式方程.
意图：完善思考过程，明确直线的截距式方程及其常数的几何意义.
追问2：如何记忆并应用直线的截距式方程？
引导学生深化：截距式的形式简洁，等式左侧为直线上任意点的横纵坐标分别于直线在x轴，y轴上的截距的比值的和，右侧是常数1.
在应用时，只需通过直线的截距，即可表示直线的方程，其中，由题意与等式形式可知，直线在x轴，y轴上的截距均不能为0，即，由此可知：截距式方程作为特殊的两点式方程，除了不能表示平行于x轴和y轴的直线外，当a，b都不为0，直线不能过原点.
意图：掌握直线的截距式方程的形式特点和适用范围.
知识小结
已知直线上的两个点，表示直线的方程.
引导学生思考：已知直线过两点，若想利用直线的两点式方程表示直线，关键要考虑两点横纵坐标之间的关系：
若两点横纵坐标均不相等，则可用直线的点斜式方程来表示直线；
若两点是直线与横纵坐标的交点，且截距都不为0，则可用直线的截距式方程来表示直线；
若两点横坐标相等，无法应用两点式方程，直线的方程表示为.
若两点纵坐标相等，无法应用两点式方程，直线的方程表示为.
意图：小结核心知识，强化直线的两点式方程和截距式方程的适用条件.
（二）典型例题
例1 已知△的三个顶点，，，求边BC、边AC所在直线的方程，以及边BC上的中线AM所在的直线的方程.
引导学生明确解题思路：已知三角形的三个顶点，求其中两条边和一条边上中线所在直线的方程，各自均需要通过两个点来确定，在检验点坐标的关系满足条件后，可利用直线的两点式方程来求解，因此只需利用三个顶点的坐标，再利用中点坐标公式求出点M即可.
梳理解题过程：解：如图，过，的两点式方程为，可整理得，这就是边BC所在直线的方程.
过，的截距式方程为，可整理得，这就是边AC所在直线的方程.
边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段，由中点坐标公式，可得点M的坐标为，即.
过， 两点的直线方程为，可整理得：.
这就是边BC上的中线AM所在直线的方程.
意图：明确问题思考过程，应用本节课所学知识解决问题.
（三）课堂小结
核心知识：
研究方法：对于已知直线上两个点表示直线的方程：
方法一：借助直线的点斜式方程，利用方程思想，推导直线的两点式方程；
方法二：利用直线上任意点的几何特征，利用解析思想，得到了直线的代数表示；同时，直线的方程也能表明直线上任意点的几何特征；