2023届安徽省江淮十校高三上学期11月第二次联考数学试题含解析

2023届安徽省江淮十校高三上学期11月第二次联考数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】化简集合M、N，根据集合交集定义运算即可.

【详解】由，得，又，所以，

故选：C．

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】分别求解“”与“”的充要条件再判断即可.

【详解】易得当时, .当时, .

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】本题主要考查了三角函数值求定义域的方法以及充分与必要条件的判定,属于基础题.

3．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如，，等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为.则函数的周期为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】函数的周期主要由 验证

【详解】由

对A：

，故A不正确

对B：

，故B正确；

对C：

，故C不正确；

对D：

，故D不正确；

故选：B.

4．已知数列满足，则当取得最大值时的值为（    ）

A．2024 B．2023或2022 C．2022 D．2022或2021

【答案】D

【分析】由，可得出数列的单调性，即可求出答案.

【详解】解析：∵，

∴当时，；

当时，，，

当时，取得最大值．

故选：D．

5．函数在区间上的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数奇偶性及取特殊值进行分析.

【详解】由题可得是偶函数．排除A，C两个选项．

又，当时，，，，

当时，，，，

所以当时，仅有两个零点．

故选:D．

6．已知向量，，.若在方向上投影向量模长为，则实数为（    ）

A．-2 B．-1 C．±1 D．±2

【答案】C

【分析】先将化简，然后利用投影向量模长公式列出方程即可求解.

【详解】由题意可知：，

因为在方向上投影向量模长为，

所以，

故选：C．

7．已知实数，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数函数和对数函数的切线放缩即可判断大小.

【详解】易证对恒成立，当且仅当时等号成立，

取，所以，即．

又易证对恒成立，当且仅当时等号成立，

取，所以，即，

综上，

故选：B．

8．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一；次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少？”.记这个人原来持金为斤，设，则（    ）

A．0 B．1 C．-1 D．2

【答案】C

【分析】设这个人原来持金为斤，分别计算每关收税金，让5关所收税金之和为1斤，列出方程，求出的值.

【详解】由题意知：这个人原来持金为斤，

第1关收税金为：斤；

第2关收税金为斤；

第3关收税金为斤，

以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤，

所以，

即，解得，

又由，所以．

故选：C．

二、多选题

9．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．导函数为

B．函数的图像关于点对称

C．函数在区间上是增函数

D．函数的图像可由函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到

【答案】BC

【分析】利用积化和差公式化简，然后逐一分析即可.

【详解】解析：对于A：因为

，

所以，即选项A错误；

对于B：由，

∴，

∴的对称中心坐标为，B正确．

对于C：当时，，

故在上是增函数，故C正确；

对于D：因为，

所以的图像可出的图像向左平移个单位长度，

再向上平移个单位长度得到，故 D错误．

故选：BC．

10．已知函数是定义在上的奇函数，且.若时，，则下列结论正确的有（    ）

A．函数的值域为

B．函数图像关于直线对称

C．当实数时，关于的方程恰有三个不同实数根

D．当实数时，关于的方程恰有四个不同实根

【答案】ABD

【分析】根据已知利用周期性得到函数的图像，数形结合判断方程根的个数即可求得的范围进行判断.

【详解】解析：由，函数周期为4．

又为奇函数，而时，，

即，变形整理得．

可得函数图像：

由图像可知，函数的值域为且关于对称，

选项A、B正确．

记，

由，

所以为偶函数，当时，，当时，，

图像为：

又方程有四个不同的根，当时，

即直线与函数，，有四个交点，

即直线与函数，，有四个交点，

数形结合可得，又因为为偶函数，

所以，同时时恰有一个交点，

选项C错误，D正确．

故选：ABD

11．已知，均为正实数，下列结论正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．当且仅当时，取得最大值

【答案】ABCD

【分析】利用基本不等式逐项进行检验即可求解（解题的关键是熟练掌握基本不等式）.

【详解】对于A：由，∴，故A正确．

对于B：∵a，b为正实数，且，

∴

当且仅当，时，等号成立．故B正确；

对于C：由，即，由柯西不等式，即，故C正确；

对于D：因为a，b均为正数，所以，令，

则

，

等号成立．条件为，故D正确．

故选：ABCD.

12．已知函数，若在区间上有零点，则的值可以为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】BCD

【分析】由函数在区间上有零点，则，结合函数可知点在直线，由可以表示原点到点的距离，问题进行转化，然后构造新函数进行分析求出的值的范围.

【详解】设在区间上零点为，则，

所以点在直线上，

由，其中О为坐标原点．

又，

记函数，，

因为，所以在上单调递增

所以最小值为，

所以，

故选：BCD.

三、填空题

13．命题，的否定是______.

【答案】，.

【分析】根据给定条件利用含有一个量词的存在量词命题的否定直接写出即可得解.

【详解】命题，是存在量词命题，其否定是全称量词命题，

所以命题，的否定是，.

故答案为：，.

14．函数的极大值与极小值的和为_______．

【答案】

【分析】对函数求导，求出单调区间，找出极值点，求出极值相加即可.

【详解】因为

所以

令，则，所以在区间上单调递增；

令，则或，所以在区间上单调递减；

所以极小值为

极大值点为

所以的极大值与极小值之和为

故答案为：.

15．已知函数，为直线上一点，过点作函数图象的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为____________．

【答案】##-1.5625

【分析】利用导数得到切线和，联立可得，结合题意可得，，然后利用数量积和二次函数的性质即可得到答案

【详解】设，．由求导得，

则直线：即，同理可得直线：，

联立，解得，即，

由在直线上，得，且，（当且仅当时，取等号，故等号不成立）

因而

，

故答案为：

16．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________．

【答案】

【分析】由正弦定理和三角恒等变换将题干中等式化简求得角B，再根据的外接圆的面积求得其直径，代入三角形面积公式中，化为三角函数求其值域即可.

【详解】由

∴

得

，

所以，

因为所以，所以，

而，所以．

又由的外接圆的面积为，所以外接圆直径，

所以，

因为为锐角三角形，所以，

的面积取值范围为．

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为．

(1)当时，求；

(2)若是的充分条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）求出函数定义域A，当时求B，根据补集及并集运算求解即可；

（2）由题意可转化为B是的子集，分类讨论求出B，列出不等式求解即可.

【详解】（1）由，所以集合．

由，

当时，不等式为：，即集合，

又或，所以或．

（2）因为是的充分条件，所以B是的子集，或；

当时，．满足题意；

当时，，所以或得；

当时，，所以或得；

综上，实数的取值范围为：.

18．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)若，其中，求函数的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由函数图象可得，从而得到，分与两种情况，代入特殊点的坐标，求出相应的与，舍去不合要求的解，得到，，得到函数解析式；

（2）利用三角函数恒等变换得到，从而利用整体法求解函数的值域.

【详解】（1）由得：，

当得，，

又，所以，（舍去）；

当时，，，

又，所以，又，

所以．

（2）由题意得：，

故

，

又，所以，．

，即函数的值域为．

19．2022年是合肥一六八中学建校20周年，学校届时将举行20周年校庆活动，其中会建立校史展览馆并向各界校友及友好人士展出一六八中学自建校以来的大事记．已知展览馆的某一部分平面图如图所示，AB的长为18米，点C到x轴和y轴的距离分别是6米和9米，其中边界ACB是函数图像的一部分，前一段AC是函数图像的一部分，后一段CB是一条线段，现要在此处建一个陈列馆，平面图为直角梯形DEBF（其中BE、DF为两个底边）．

(1)求函数的解析式；

(2)求梯形DEBF面积的最大值．

【答案】(1)

(2)44

【分析】（1）由题意结合图像分别求出分段函数

（2）先把梯形DEBF面积表示出来，得到一个函数得形式，然后利用函数导数求出面积得最大值.

【详解】（1）因为点C到x轴和y轴的距离分别是6米和9米

所以

又前一段AC是函数图像的一部分，经过点C

所以，所以

所以当时，

又后一段CB是一条线段且过和

所以当，由直线的两点式得

综上所述得函数得解析式为

（2）设点，

所以，

所以梯形的面积为

设，

令

由

所以令，则有在单调递增，

令，则有在单调递减，

所以

即时，梯形DEBF面积的最大值为44．·

20．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量与向量共线．

(1)求角；

(2)请从条件①、条件②条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求AC边上中线的长．

条件①：，；条件②：，；条件③，．

【答案】(1)

(2)选③；

【分析】（1）利用向量共线的性质，得到，再利用边化角即可求出的值.

（2）利用正弦定理，面积公式和余弦定理，列方程，计算可得答案.

【详解】（1）由向量与向量共线得：

∴

又因为，∴，

∴，又，∴；

（2）由①可知：

所以，或，不唯一确定（舍去）

由②可知：

又，所以，

即或，

不唯一确定（舍去）

由③可知：，，

，

∴

21．设各项均为正数的数列满足．

(1)若，求数列的通项公式；

(2)在（1）的条件下，设，数列的前项和为，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）对已知等式分解因式化简变形，结合各项均为正数可得，然后利用累乘法可求出数列的通项公式；

（2）由（1）得（），然后利用裂项求和可证得结论.

【详解】（1）由得：

因为数列为正项数列，所以，

所以

因为，所以，

又当时，，

所以

（2）由（1）知，

当，时，因为，

所以，

所以

所以.

22．已知函数．

(1)若时，函数恰好有一个零点，求的最大值；

(2)讨论函数的零点个数．

【答案】(1)

(2)有一个零点

【分析】（1）当时，函数恰好有一个零点，对函数求导，利用函数单调性进行分析得，于是，则为只含的表达式，然后构造新函数，利用函数导数求最值.

（2）将代入中，化简整理，对函数求导，分类讨论零点的个数即可

【详解】（1）∵，，

∴，

∵，

∴在单调递增，单调递减,

∴，

又当时，；当时，；

∴

∴，

设

∴，

∴在单调递增，单调递减

∴

所以的最大值为．

（2） ，

∴，

当时，在恒成立，在单调递增

又当时，；当时，；

所以，函数在只有一个零点；

当时，由得方程有两个根，分别为

且

所以在单调递增，单调递减，单调递增

即为函数的极大值，为函数的极小值．

因此主要讨论极值与零的大小，又

设，

∴，在单调递增

∴，所以在区间内没有零点，又，

而

所以在上有一个零点；

综上所述：在上有一个零点．

【点睛】本题作为压轴题出现，通常有以下几种考法：

1.不含参数时讨论函数的单调区间

2.含参数时讨论函数的单调区间

3.求极值、最值

4.求切线方程

5.函数零点个数问题（或已知零点个数求参数的取值范围）

6.证明不等式问题

解决方法：构造新函数利用函数导数性质进行分析、求解、证明，常常伴随这分类讨论的思想.