2023届河南省名校高三上学期10月联考数学（理）试题含解析

2023届河南省名校高三上学期10月联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先解不等式把集合求出来，然后利用集合的基本运算得到结果.

【详解】∵，∴.

故选D.

2．已知，则“”是“是直角三角形”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合条件即得.

【详解】∵A为的内角，

∴，∴当时，，

∴充分性成立；

反过来，若是直角三角形，则A不一定是直角，

∴必要性不成立.

故选：A.

3．无线电在传播过程中会进行衰减，假设某5G基站的电磁波功率衰减量L（单位：dB）与发射器的发射功率P（单位：W/mW）之间的关系式为，取，则P从5变化到10时，衰减量的增加值约为（    ）

A．2dB B．3dB C．4dB D．5dB

【答案】B

【分析】根据题中关系式，结合对数运算性质求解即可.

【详解】当P＝5时，；当P＝10时，.

∴衰减量的增加值为.

故选：B.

4．如图，在中，已知AB＝8，AC＝6，D为BC中点，则（    ）

A．－7 B． C． D．7

【答案】A

【分析】由题意得，，代入进行数量积运算即可.

【详解】∵，，

∴.

故选：A.

5．在等差数列中，为前n项和，若，则（    ）

A．11 B．19 C．25 D．33

【答案】D

【分析】根据等差数列的性质可得，然后利用等差数列的求和公式即得.

【详解】∵，

∴，即，

∴.

故选：D.

6．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由函数的奇偶性与周期性判断.

【详解】由题意得函数定义域为，且，∴为偶函数，故排除选项B，

∵，，为最大值，∴排除选项D，

∵，∴是为周期的周期函数，∴排除选项A.

故选：C

7．在中，已知，AC＝4，则的面积为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】由正弦定理得，由三角形面积公式结合三角恒等变换得．

【详解】依题意，

∴由正弦定理得

∴．

故选：C．

8．已知平面向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由向量数乘及和差公式得，由诱导公式、倍角公式得

【详解】∵，∴.

∴.

故选：B.

9．已知定义在实数集上的函数满足，且当时，，若，则的最小值为（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】B

【分析】根据函数的周期性以及函数表达式可得，进而根据基本不等式乘“1”法，即可求解.

【详解】∵，∴是周期为6的周期函数.

又，∴.∴.

∴，当且仅当，即，时，取等号.

故选：B.

10．已知函数的图象在内有且仅有2个最低点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简，根据，可得，结合在内有且仅有2个最低点分析即得解.

【详解】由题意

.

当时，.

∵在内有且仅有2个最低点，

∴，∴.

故选：D.

11．设，，，则a，b，c之间的大小关系为（    ）

A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b

【答案】A

【分析】构造函数，，借助函数的单调性分别得出c＜b与a＞b，从而得出答案.

【详解】构造函数， x＞－1，则，

当－1＜x＜0时，，单调递增，当x＞0时，，单调递减，

∴，∴（当x＝0时等号成立），

∴，则c＜b，

构造函数，0＜x＜1，则，

令，0＜x＜1，∴，单调递增，

∴，∴，单调递增，

从而，∴，即，则a＞b．

∴c＜b＜a．

故选：A．

12．已知不等式对恒成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由可得到，故构造，通过导数可得单调递增，故可得到，即，故构造，通过导数求的最大值即可求解

【详解】∵，∴，∴，即，

令，则不等式化为，

∵，

当时，，∴在上单调递增，

∴，即，

令，则，

令，解得，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以，

所以，

∴实数的最小值为.

故选：

【点睛】关键点睛：这道题的关键在于将不等式转化成，然后构造函数，利用导数进行求解，故构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键

二、填空题

13．已知向量，，则与的夹角为______.

【答案】

【分析】根据向量坐标分别计算数量积与模长，再结合夹角公式求解.

【详解】向量，，，，，

，

又

，

故答案为：.

14．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为______.

【答案】-2

【分析】画出可行域，利用的几何意义求出最小值.

【详解】由约束条件作出可行域如图，联立解得:.

表示可行域内的点与点连线的斜率，

从斜率的定义及性质可以看出当直线过时，斜率最小，

∴的最小值为.

故答案为：-2

15．已知数列满足，，为数列的前n项和，则______．

【答案】

【分析】由已知得，用累加法求得，然后用裂项相消法求出，从而得出答案．

【详解】由题意可知，满足，，

∴，，，，，

累加得，

又由符合，∴

∴，

∴，则．

故答案为：．

16．如图，在四边形ABCD中，已知，∠BAD＝60°．若AB＝AD，则的最大值为______．

【答案】

【分析】设AB＝AD＝2，CD＝x，作，，求出，的表达式，结合基本不等式求出的最大值，得出答案.

【详解】设AB＝AD＝2，CD＝x，

如图，作于点F，∴AF＝BF＝1，，

作交直线AB于点E，则，，

∴，

又，

∴，当且仅当x＝2时取等号，

∴，即的最大值为．

故答案为：．

三、解答题

17．当时，已知函数，设命题p：“的定义域为”，命题q：“的值域为”.

(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若命题为真命题，且为假命题，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）转化为恒成立，分与，列出不等式组，求出实数a的取值范围；

（2）若命题q为真命题，等价于能取遍所有的正数，分与两种情况，得到命题q为真命题时a的取值范围，根据为真命题，且为假命题，分“p真q假”,“p假q真”，两种情况求出答案.

【详解】（1）若命题p为真命题，等价于恒成立，

当时，，不恒成立，

当时，则满足，

解得：，

∴实数a的取值范围为；

（2）若命题q为真命题，等价于能取遍所有的正数，即其值域包含，

当时，单调递增，能取遍所有的正数，满足要求，

当时，需要满足，解得：，

综上：，

若命题为真命题，且为假命题，则“p真q假”或“p假q真”，

若“p真q假”，则，即，

若“p假q真”，则，解得：，

综上：实数a的取值范围为.

18．已知等比数列的前n项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据与的关系可得，结合条件即得；

（2）根据等比数列的求和公式即得.

【详解】（1）∵，

∴当时，，

∴，

∴，

故等比数列的公比q＝3，

令n＝1，得，

∴，

∴；

（2）由题可知，

∴，

∵，

∴.

19．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

(1)求A；

(2)设向量，，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知利用正弦定理得，化简再利用余弦定理即可得出；

（2）由已知得，又，结合三角恒等变换得，利用三角函数的性质即可得出答案.

【详解】（1）由正弦定理，得，

∴，即，

由余弦定理得，

∵，∴；

（2）∵，又，

∴，

∵，∴，

∴当，即，时，取最小值．

20．若函数的图像经过点，其导函数的部分图像如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若关于的方程在区间上有两个不同的解，，求的值及实数的范围.

【答案】(1)

(2)；

【分析】（1）结合图像及题目条件可得解析式，之后结合导数知识与题目已知可得答案.

（2）先由题目所涉变换得解析式，之后画出在间的图像.结合图像可得答案.

【详解】（1）根据图像可知，得，，

又图像过点，则，其中，

得，因，取，有，故.

注意到，其中C为常数.

则，

又过点，则，得.

所以；

（2）据题意及（1），

得.画出在图像.

关于的方程在区间上有两个不同的解，，

即在图像与直线有两个交点.由图，两交点关于对称.

则，得，

又结合图像有，∴实数的范围是.

21．已知函数，.

(1)求函数的最小值；

(2)设数列的通项公式为，证明：.

【答案】(1)1

(2)证明见解析

【分析】（1）构造函数，,求导，得到函数的单调性，从而求出函数的最小值；

（2）在第一问的基础上，得到时，，令，得，从而利用放缩法证明出不等式.

【详解】（1）令，,

，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

在处取得极小值，也是最小值，

∵，

∴的最小值为1；

（2）证明：由（1）知时，，即，

令，得，

∴.

【点睛】构造函数来证明不等式，常常用到构造函数，利用放缩法来进行证明，常见的构造函数有，，，，等，本题解决第二问，需要用到第一问的结论：时，，即，再令，得，再求和即可.

22．已知函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为.

(1)求实数的值；

(2)证明：函数在区间上有且仅有两个零点.

【答案】(1)2

(2)证明见解析

【分析】(1)根据导数的几何意义，求出函数在处的导数及函数值，即可得到切线方程，再根据切线方程与坐标轴围成的三角形的面积即可求出实数的值；

(2)根据(1)可得到函数，对其求导，利用导数分析的单调性，得出当时，函数单调递增；，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，根据极值和端点值的大小可证明结论.

【详解】（1）∵，

∴.∴，

又∵，∴过点的切线方程为，

令，得；令，得，

∴，解得；

（2）证明：由（1）可知，∴，

∴当时，，，

∴，单调递增，

当时，令，

则，，∴，

∴函数在上单调递减，∴，

当时，，单调递增，

∵，，∴，使，

∴当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

当时，，单调递增，，函数单调递增，

综上所述，当时，函数单调递增；

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．