2023届江苏省徐州市第七中学高三上学期10月学情调研数学试题含解析

这是一份2023届江苏省徐州市第七中学高三上学期10月学情调研数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江苏省徐州市第七中学高三上学期10月学情调研数学试题

一、单选题
1．若为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则化简可得，然后依据题意可得虚部为0计算即可.
【详解】，要使原式是实数，则，，
故选：B .
2．设集合M，N，P均为的非空真子集，且，，则（    ）
A．M B．N C． D．
【答案】D
【分析】利用文氏图，表示集合的关系，求解.
【详解】如图，中间的阴影和左边的空白是集合，中间的阴影和右边的空白表示集合，如图，表示两边空白区域，则表示集合的空白区域，即表示为

故选：D
3．江南的周庄、同里、用直、西塘、号镇、南浔古镇，并称为江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴，清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴依软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外．这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处，某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合组合数公式求得基本事件的总数为种，再求得至少选一个苏州古镇的不同的选择种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，共有种不同的选择方式，
则至少选一个苏州古镇，有种不同的选择方式，
所以至少选一个苏州古镇的概率为.
故选：D.
4．已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式最可能是（   ）

A．y＝xcosx B．y＝sinx－x2 C． D．y＝sinx＋x
【答案】A
【分析】由图象判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，运用排除法可得结论.
【详解】由f（x）的图象关于原点对称，可得f（x）为奇函数，
对于选项B，f（x）＝sinx－x2，f（－x）＝－sinx－x2≠－f（x），f（x）不为奇函数，故排除B；
对于选项C，f（x）＝，f（－x）＝＝2x（1－cosx）≠－f（x），f（x）不为奇函数，故排除C；
对于选项D，f（x）＝x＋sinx，f（－x）＝－sinx－x＝－f（x），可得f（x）为奇函数，
由f（x）＝0，可得sinx＝－x，f（0）＝0，由y＝sinx和y＝－x的图象可知它们只有一个交点，故排除D；
对于选项A，f（x）＝xcosx，f（－x）＝－xcos（－x）＝－xcosx＝－f（x），可得f（x）为奇函数，
且f（x）＝0时，x＝0或x＝kπ＋（k∈Z），f（）＜0，f（π）＜0，
故选项A最可能正确.
故选：A.
5．已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的系数为（    ）
A．160 B． C．60 D．
【答案】B
【分析】由二项式系数的性质求出，写出二项展开式的通项公式，令的指数为3，即可得出答案.
【详解】由展开式中各项的二项式系数之和为64，得，得．
∵的展开式的通项公式为，
令，则，所以其展开式中的系数为．
故选：B.
6．“角谷猜想”最早流传于美国，不久传到欧洲，后来日本数学家角谷把它带到亚洲．该猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，经过有限步演算，最终都能得到1．若正整数经过5步演算得到1，则的取值不可能是（    ）
A．32 B．16 C．5 D．4
【答案】B
【分析】根据得数为1，可倒推出第4次计算后得数一定是2，第3次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可．
【详解】利用倒推法可得：
由第5次计算后得1，可得第4次计算后的得数一定是2，
由第4次计算后得2，可得第3次计算后的得数一定是4，
由第3次计算后得4，可得第2次计算后的得数是1或8，
若由第2次计算后得8，可得第1次计算后的得数一定是16，
由第1次计算后得16，可得原数是5或32；
若由第2次计算后得1，可得第1次计算后的得数一定是2，
由第1次计算后得2，可得原数是4.
综上可知，原数可能为5或32 或4
故选：B
7．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论错误的是（    ）
A．是奇函数 B．
C．的图像关于（1，0）对称 D．
【答案】A
【分析】根据题设有、，进而可得，即可判断的对称性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求，最后结合在上的单调性及对称性和周期性判断上的单调性，比较函数值大小.
【详解】由题设，，即，则关于对称，C正确；
，即，关于对称，
所以，即周期为4，
且，即为偶函数，A错误；
则，
因为函数的定义域为R，关于对称，则，B正确；
又，且，都有，即在上递增，
综上，在上递增，则上递减，故，D正确.
故选：A
8．设，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据，判断的大小，由，构造函数，利用导数判断单调性，即可得到.
【详解】由不等式可得，即；，
设，
因为，所以在上单调递增，
所以当，所以，即.
所以.
故选：C

二、多选题
9．如图，已知正方体，分别是，的中点，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C．平面 D．平面
【答案】AC
【分析】连接，由线面垂直的判定定理可证明平面，进而可判断A，B；由线面平行的判定定理可判断C；先假设平面，则，进而，从而可判断D
【详解】连接，如图：
由正方体可知，
因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，故A 正确，B错误；
由题意知为的中位线，
所以，
又,
所以
又平面，平面，
所以平面，故C正确；
若平面，BD1在平面BDD1B1中，则，进而，
在中易知与不垂直，故D错误；
故选：AC

10．下列说法正确的是（    ）
A．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为16
B．若随机变量服从正态分布，，则
C．若随机变量服从二项分布：，则
D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则
【答案】BCD
【分析】对于A，根据方差的性质求解即可，对于B，利用正态分布的性质求解，对于C，利用二项分布的性质和期望的性质求解判断，对于D，将样本中心点坐标代入回归方程可求出.
【详解】对于A，因为样本数据，，…，的方差为2，
所以数据，，…，的方差为，所以A错误，
对于B，因为随机变量服从正态分布，，
所以，所以B正确，
对于C，因为随机变量服从二项分布：，所以，
所以，所以C正确，
对于D，由题意得，解得，所以D正确，
故选：BCD
11．已知函数，则（    ）
A．函数的图象可以由的图象向左平移得到；
B．函数的图象关于点对称；
C．函数的图象关于直线对称；
D．函数在上单调递增
【答案】ABD
【分析】对A，利用图象变换判断，注意平移时要先提出前面的系数2，对B和C，可由函数的对称性判断，对D可由函数的单调性判断.
【详解】A.左平移得到，所以A对；
B.令，，所以，，
所以时，对称中心为，所以B对；
C.令，，所以，，所以取不到，
所以C错；
D.令，所以单调递增区间为，，
当时，单调递增区间为，故在上单调递增，所以D对.
故选：ABD.
【点睛】本题考查了余弦型函数的对称性，单调性，图象变换，属于中档题.
12．设函数的导函数存在两个零点、，当变化时，记点构成的曲线为，点构成的曲线为，则（    ）
A．曲线恒在轴上方
B．曲线与有唯一公共点
C．对于任意的实数，直线与曲线有且仅有一个公共点
D．存在实数，使得曲线、分布在直线两侧
【答案】AD
【分析】求出曲线、对于的方程，数形结合可判断ABC选项；求出函数在处的切线方程，数形结合可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则，
令可得或，
因为函数存在两个零点、，则，即.
当时，即当时，，则，
当时，即当时，，则，
则曲线为函数的图象以及射线，
且当时，，所以，曲线在轴上方，A对；
对于B选项，当时，即当时，，
则，
当时，即当时，，则
所以，曲线为函数的图象以及射线，
由图可知，曲线、无公共点，B错；
对于C选项，对于函数，，
此时函数在上单调递减，且，
结合图象可知，当时，直线与曲线没有公共点，C错；
对于D选项，对于函数，，则，
又因为，所以，曲线在处的切线方程为，即.
构造函数，则，
，
令，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，所以，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，
当时，，即，
当时，，即，
所以，曲线、分布在直线的两侧，D对.

故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的相关问题，解题的关键在于求出两曲线的方程，作出图形，利用图形以及导数的相关知识求解.

三、填空题
13．若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________．
【答案】
【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径和高，结合体积公式，即可求解．
【详解】由题意，圆锥侧面展开图的半径为，所以圆锥的母线长为，
设圆锥的底面半径为，高为，则 ，解得，
可得圆锥的高为，
所以圆锥的体积．
故答案为：．
14．已知常数，，若函数为偶函数，则___________.
【答案】
【分析】利用偶函数的性质，结合多项式相等可得，即可求.
【详解】由题设，，
∵，
∴，
∴，解得，故.
故答案为：
15．设正数，，当取最小值时，的值为___________.
【答案】
【分析】利用基本不等式求题设代数式的最小值，确定等号成立时条件，即可知的值.
【详解】∵，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立.
∴题设代数式取最小值时，的值为.
故答案为：
16．已知函数和的图像关于y轴对称，当函数和在区间上同时递增或者同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间[1,2]为函数的“不动区间”，则实数t的取值范围是_____
【答案】
【详解】解：因为函数y＝f（x）与y＝F（x）的图象关于y轴对称，
所以F（x）＝f（﹣x）＝|2﹣x﹣t|，
因为区间[1，2]为函数y＝|2x﹣t|的“不动区间”，
所以函数y＝|2x﹣t|和函数F（x）＝|2﹣x﹣t|在[1，2]上单调性相同，
因为y＝2x﹣t和函数y＝2﹣x﹣t的单调性相反，
所以（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，
即1﹣t（2x+2﹣x）+t2≤0在[1，2]上恒成立，即2﹣x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，
得t≤2；
故答案为[]
点睛：已知函数单调性求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．

四、解答题
17．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先求出集合，再根据并集的定义即可求出.
（2）由题可得，讨论和两种情况可求出.
【详解】（1）由，解得，所以，
当时，，
所以；
（2）由，得，
当时，，解得．
当时，，解得．
综上实数的取值范围为．
18．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）利用，结合已知条件，即可容易求得通项公式；
（2）根据（1）中所求，对数列进行裂项求和，即可求得.
【详解】（1）当时，.
当时，，
因为当时，，
所以.
（2）因为，
所以，
故数列的前项和 .
19．为了迎接2022年成都第31届世界大学生夏季运动会，普及大运知识，某校开展了“大运”知识答题活动，现从参加活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为四组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示，将成绩在[80，100]内定义为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”

男生
女生
合计
优秀
30


非优秀

10

合计





(1)求a的值：并根据答题成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中随机抽取2名，求抽取的2名学生的成绩中恰有一名优秀的概率；
(2)请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关？
参考公式及数据: .

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)​；
(2)列联表见解析，没有

【分析】（1）由各组的频率和为1可求出，求出成绩非优秀的频率，再乘以总人数可得成绩非优秀的人数，然后根据分层抽样的定义求出抽取的5名学生成绩优秀的人数和成绩非优秀的人数，再利用列举法求所求概率，
（2）根据题意完成列联表，然后根据公式求出，再与临界值表比较可得结论
【详解】（1）由题可得 ​，
解得 ​，
由题可得， 这 100 名学生中成绩非优秀的有 ​名，
所以抽取的 5 名学生中成绩非优秀的有 ​名， 成绩优秀的有​名， 记成绩优秀的 3 名学生为​， 成绩非优秀的 2 名学生为​，
从这 5 名学生中随机抽取 2 名， 有 ​， 共 10 种情况，
其中这 2 名学生的成绩恰有一名优秀共有 6 种情况，
所以这 2 名学生的成绩恰有一名优秀的概率为 ​；
（2）补充完整的 ​列联表如下表所示：

男生
女生
合计
优秀
30
30
60
非优秀
30
10
40
合计
60
40
100

则 ​的观测值​，
所以没有 ​的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关.
20．已知在中，，，．
（1）求边的长；
（2）设为边上一点，且的面积为，求．
【答案】（1）5；（2）．
【分析】（1）利用三角形内角和定理，将角转化为角，化简已知条件求得角，然后求得角，利用等腰三角形求得的长.
（2）利用三角形面积列方程，求得的值，利用余弦定理求得的值，利用正弦定理求得的值.
【详解】解：（1）由及，得，
整理得，即，
又，所以．
所以，即，
所以．
（2）由，，
解得．
在，有余弦定理得，，所以，
在中，由正弦定理得，，
即，所以．
21．图1是由正方形组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E与F重合，如图2．

（1）设平面平面，证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由已知得平面，再由面面平行的性质可得答案；
（2）以O为原点，与平行的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量由数量积公式可得，可得.
【详解】（1）因为，平面，平面，
所以平面，    
又平面，平面平面，所以.
（2）因为，，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
过E作于点O，则O是的中点，
因为平面平面，平面，
所以平面，
以O为原点，与平行的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，   

设，则，
，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
所以平面的一个法向量，
，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
同理可求得平面的一个法向量为，
所以，解得或，
当时，，
可判断二面角的平面角为锐角且向量夹角与二面角相等，故舍去，
所以，此时，,
所以.
【点睛】本题考查了线面平行的性质，二面角、模长的向量求法，解题的关键点是建立空间直角坐标系，考查了学生的空间想象力和计算能力.
22．已知函数，.
（1）当时，求证：在上单调递增；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）首先求函数的二阶导数，根据二阶导数，并结合零点存在性定理，判断二阶导数存在零点，并判断一阶导数的单调性，即得的最小值，证明的最小值是正数，即可证明；（2）解法一：不等式等价于在恒成立，因为，等价于，即，再证明时，不等式恒成立；解法二：不等式转化为在上恒成立，时，不等式转化为在上恒成立，再设，，利用导数求函数的最大值，即得的取值范围.
【详解】解：（1）当时，，则，
又在上单调递增，且，，
∴存在，使得，
当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∵，∴，，∴，
∴在上单调递增.
（2）解法一：问题等价于(记为式)在上恒成立，
令，，
∵，∴要使式在上恒成立，则必须，即，
下面证明当时，在上恒成立.
∵，∴，∴，
易证，∴，
∴当时，在上单调递增，∴，即式在上恒成立.
故的取值范围是.
解法二：依题意得在上恒成立，
当时，式恒成立，∴，
当时，∵，式等价于在上恒成立.
令，.
易证，∴，
令，∴，
∴在上单调递减，∴，即，
∴，
令，，
∴在上单调递减，∴，即，
∴，即的取值范围是.
【点睛】方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：
1.讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；
2.分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.