2023届江西省上饶市、景德镇市六校高三上学期10月联考数学（理）试题含解析

2023届江西省上饶市、景德镇市六校高三上学期10月联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求出集合和，取交集即可，一定要注意集合中元素是什么.

【详解】集合中的元素是，表示函数值的范围，

易知，，

中的元素是，表示自变量的范围，

易知，则有，，

所以.

故选：C

2．著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”，在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像特征，则函数的图像大致是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据函数为偶函数，排除，利用导数得到单调性，根据单调性排除、，由此可得答案.

【详解】令，则，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，故排除；

当时，，，由，得，令，得，所以函数在上递减，在上递增，故排除、；

故选：D

【点睛】本题考查了根据函数的解析式识别函数的图像，考查了函数的奇偶性，考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题.

3．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；

【详解】解：因为，

当时函数单调递减，且，

当时函数单调递减，且，

所以函数在上是单调递减，

所以不等式等价于，解得．

即不等式的解集为；

故选：C

4．下列说法正确的是（    ）

A．函数为实数集上的奇函效，当时，（a为常数），则

B．已知幂函数在单调递减，则实数

C．命题“，”的否定是“，”

D．中.角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则是的充分不必要条件

【答案】B

【分析】根据题意可得，求得，从而可判断A；

根据幂函数的定义及性质可得，从而可求出，即可判断B；

根据全称命题的否定相关知识，即可判断C；

直接利用正弦定理边角互化结合充分条件和必要条件的定义即可判断D.

【详解】对于A，因为函数为实数集上的奇函数，当时，（a为常数），所以，所以，则，故A错误；

对于B，因为幂函数在上单调递减，

所以，解得，故B正确；

对于C，命题“，”的否定是“，”，故C错误；

对于D，在中，由正弦定理可知，所以是的充要条件，故D错误.

故选：B.

5．已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（    ）

A．［－1,0] B． C．［0,2] D．

【答案】B

【分析】根据幂函数经过的点可求解析式，代入中通过分离常数法即可求解.

【详解】解法一：因为幂函数的图象过点 ，所以，可得，所以，．因为，所以，故．因此，函数在区间[1,9]上的值域为．

故选：B．

解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，

所以．因为，所以．因为，

所以，所以，解得，即函数在区间[1,9]上的值域为．

故选：B．

6．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（    ）

A．[－2，2] B．[－1，2] C．[0，4] D．[1，3]

【答案】D

【分析】根据奇函数的性质，并根据函数的单调性求解即可.

【详解】由函数为奇函数，得，

不等式即为，

又在单调递减，∴得，即﹒

故选：D．

7．函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则（    ）

A． B． C． D．.

【答案】D

【分析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在处的切线斜率，再利用二倍角公式和平方关系式得到的值．

【详解】因为，

所以，

当时，，此时，

∴．

故选：D.

8．已知函数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】对函数进行求导可得到：从而可得出函数在上递增，在递减，在递增，根据函数的单调性可知：当时，有成立，即充分性成立；当时，的范围不一定是，可能，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.

【详解】由题意可得：，

令解得或，

即函数在上递增，在递减，在递增，

根据函数的单调性：

当时，有成立，即充分性成立；

当时，的范围不一定是，可能，即必要性不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】本题考查了函数的单调性及充分条件，必要条件的判断，属于一般题.

9．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】整理可得在上有解，令，则只需即可，利用导数求得的单调性和最值，即可得答案.

【详解】∵在上有解，

∴在上有解，

令，，则即可．

又，

令，解得，

∴当时，，则为减函数，

当时，，则为增函数，

∴当时，取得最小值．

∴，则实数的取值范围是．

故选：B．

10．已知函数，若恒成立，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导后分析函数的单调性，令，然后设，构造函数然后求最值.

【详解】解：由题意得：

当时，，函数在上单调递增，无最大值，不符合题意；

当时，令，解得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以.

令，则，所以，设，则

若，即，则，此时单调递减，符合题意；

若，由，得，此时，解得，所以的最小值为.

故选：B

11．已知函数是偶函数，且函数的图像关于点对称，当时，，则（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】A

【分析】先由题给条件求得函数的最小正周期为8，再利用周期、对称轴的性质即可求得的值.

【详解】根据题意，函数是偶函数，则函数的对称轴为，

则有，又由函数的图像关于点成中心对称，

则，则有，则，

则有，则函数是周期为8的周期函数，

则

故选：A．

12．函数，定义域为，有唯一极值点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知，根据题意，分别从，和三种情况借助导数研究函数的单调性，并判断是否满足题意，然后对应列式求解即可.

【详解】由已知，，所以，

当时，因为，所以，所以，因此在区间上单调递减，不符合题意；

，所以，

当时，，所以在在区间上单调递增，而，所以，所以在区间上单调递增，不符合题意；

当时，要使得有唯一极值点，即满足，解得，所以实数a的取值范围为.

故选：A.

二、填空题

13．若函数则与x轴围成的封闭图形的面积为___________.

【答案】

【分析】画出函数的图象，明确与轴围成封闭图形，利用定积分表示后就是即可．

【详解】函数，则的与轴围成封闭图形如，

其面积为：；

故答案为：．

14．若是函数的极值点，则方程在的不同实根个数为__________．

【答案】1

【分析】求导函数，根据列式求解，利用导数判断函数的单调性，再结合函数图象即可判断根的个数.

【详解】由，得，

是函数的极值点，

，

时，，

在上单调递增，

，

结合图象可知，在上有1个实数根.

故答案为：1

15．将边长为的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则的最小值是________．

【答案】

【分析】设，可求得，利用导数法可求得的最小值.

【详解】如图，设，

则梯形的周长为，

梯形的面积为，

所以，，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

故当时，取得最小值.

故答案为：.

16．已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是__________.

【答案】，．

【分析】由，得到，再研究函数的单调性，得到，将表示为的函数，然后利用换元法转化为二次函数求最值．

【详解】解：，，得，

，，

当时，，，

由，得，由，得，

在上单调递减，在上单调递增，

在处取得最小值，，

，

令，则，，

当时，取得最小值，当时，取得最大值0，

的取值范围是，．

故答案为：，．

三、解答题

17．已知命题：实数满足（其中）；命题：实数满足．

(1)若，为真命题，求实数的取值范围；

(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由得命题p： ，然后由为真命题求解；

（2）由得，再根据是的必要不充分条件求解.

【详解】(1)解：当时，，

解得：，

由为真命题，

，

解得；

(2)由（其中）可得，

因为是的必要不充分条件，则，

解得：．

18．已知函数，求：

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在的最小值.

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；

(2)答案见解析.

【分析】（1）对求导，根据导函数的符号求单调区间即可；

（2）讨论、，结合（1）所得函数的单调性求其最小值.

【详解】(1)由题设，，

令，解得；

令，解得.

的单调递减区间为，单调递增区间为.

(2)由（1）知，当时在上单调递减，

，

当时，在上单调递减，在上单调递增，

.

19．如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米

(1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？

(2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；

【答案】(1)

(2)，最小面积为48平方米

【分析】（1）先表达出AMPN的面积表达式，时解出不等式，即可知AN的取值范围.

（2）令，将式子化成对勾函数后求最值.

【详解】(1)解：设的长为米（）

是矩形

由，得

，解得或

即的取值范围为

(2)令，（），则

当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米

20．已知函数是定义在上的奇函数.

(1)求实数a的值；

(2)求不等式的解集；

(3)若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据奇函数满足，即可求解；（2）根据的单调性，即可根据函数值的大小确定自变量的大小，即可转化求解，（3）将恒成立问题转化为最值问题，即可利用二次函数的性质求最值进行求解.

【详解】(1)因为是定义在上的奇函数，所以，

即，即，

因为，所以，所以（经检验，符合题意）

(2)由（1）得，

因为与在上均为增函数，所以在上为增函数，

又，所以，

所以，即，

所以，所以不等式的解集是.

(3)因为关于x的不等式恒成立，即恒成立，

所以恒成立，所以，

因为，

所以当，即时，取得最小值.

所以，即实数k的取值范围是

21．已知函数的图象在点处的切线与直线平行．

（1）若函数在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；

（2）设，若存在∈[e，e2]，使成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】根据，解得，

（1）转化为a≥在[e，2e]上恒成立，利用函数h(x)＝在[e，2e]上递减，求出的最大值即可得解；

（2）等价于存在，使成立，设，则满足即可，利用导数求出的最小值即可得解.

【详解】∵f′(x)＝b－a－aln x，∴f′(1)＝b－a，∴b－a＝1－a，∴b＝1．则f(x)＝x－axln x．

（1）∵y＝f(x)在[e，2e]上为减函数，∴f′(x)＝1－a－aln x≤0在[e，2e]上恒成立，

即a≥在[e，2e]上恒成立．

∵函数h(x)＝在[e，2e]上递减，∴，所以.

∴.

（2）

存在，使成立，即成立

因为，所以等价于存在，使成立

设，则满足即可

因为

，

，；

，在单调递减

-

综上，实数a的取值范围为．

【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究不等式能成立问题，属于中档题.

22．已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，讨论的零点个数．

【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是

(2)答案见解析

【分析】（1）当时，求得，结合导数的符号，求得函数的单调区间；

（2）根据题意得到，令，求得，

令，利用导数求得函数的单调性和最小值，进而求得函数的的单调性与最值，即可求解.

【详解】(1)解：当时，，

则，当时,恒成立，

所以当时，单调递减；

当时单调递增，

即的单调递减区间是，单调递增区间是．

(2)解：由题意，函数，

设，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又由，所以，

令，可得，所以，其中，

令，可得，

令，则，

可得时，单调递减；时，单调递增；

所以，即时，恒成立；

故时，单调递减；时，单调递增；

所以﹐

又由时，，当时，，

函数的图象，如图所示，

结合图象可得：

当时，无零点；当或时，一个零点；当时，两个零点．