2023届陕西省安康市高三上学期9月联考数学（理）试题含解析

这是一份2023届陕西省安康市高三上学期9月联考数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省安康市高三上学期9月联考数学（理）试题 一、单选题1．设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤2}，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合A，B，利用交集定义能求出．【详解】集合，集合，∴．故选：D．2．设i为虚数单位，若复数z满足，则（    ）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】先将复数化简，然后求出其模，最后代入求出答案即可.【详解】由已知得，所以，所以.故选:C.3．在中，D，E分别是线段AB，BC上的点，且，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理将用表示，从而可求出的值，进而可求得.【详解】因为，，所以，，所以，所以，，所以.故选：A.4．下列函数中，既是偶函数且在上又是减函数的是（    ）①；②；③；④．A．①④ B．②③ C．③ D．②【答案】C【分析】根据偶函数的定义和函数的单调性逐个分析判断.【详解】对于①，因为，所以此函数是偶函数，但在上不是单调函数，所以①错误，对于②，因为，所以此函数不是偶函数，所以②错误，对于③，定义域为，因为，所以此函数为偶函数，且在上单调递减，所以③正确，对于④，定义域为，因为，所以此函数为奇函数，所以④错误，故选：C．5．若，则（    ）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由题意，根据同角三角函数的关系式进行弦化切，结合正切函数的和角公式，可得答案.【详解】因为，所以，解得，所以．故选：B．6．已知，，，，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C．或 D．且【答案】C【分析】分类讨论为真和为真时，的取值，进而利用集合的交集关系，即可求解【详解】若p真，则；若q真，则或．又因为“p且q”是真命题，所以或．故选：C．7．在中，“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用同角的三角函数关系和诱导公式分别证明充分性和必要性，进而得出结果.【详解】若，则，即，所以，所以，即，所以，所以，所以，所以“”是“”的充分条件．若，则，则，即，所以，所以或，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A．8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《算书九章大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道同余式组问题:将正整数中， 被4除余1且被6除余3的数，按由小到大的顺序排成一列数，记的前项和为，则 （    ）A．495 B．522 C．630 D．730【答案】C【分析】归纳出被4除余1且被6除余3的正整数的形式，即得通项公式，确定数列是等差数列，再由等差数列前项和公式得结论．【详解】被4除余1的正整数为形式，被6除余3的正整数为形式，被4除余1且被6除余3的数最小的正整数是9，它们可表示为，即，是等差数列，，，，故选：C．9．已知函数．则关于说法错误的是(    )A．的图象向右平移个单位长度后所得的函数为B．的图象与的图象关于y轴对称C．的单调递减区间为D．在上有3个零点，则实数a的取值范围是【答案】D【分析】利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式.根据图象平移对解析式的影响即可判断A，根据正弦函数对称性即可判断B，根据正弦函数单调性即可判断C，根据正弦函数图象的性质可判断D．【详解】﹒对于选项A，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，∴选项A正确；对于选项B，∵，∴与图象关于y轴对称，∴选项B正确；对于C，由得，即的单调递减区间为，∴选项C正确；对于D，如图为的图象， 由图可知，在上有3个零点，则，解得，∴选项D错误．故选：D．10．已知椭圆，其左､右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由离心率的值，可得的关系，由三角形的内切圆的面积，求出内切圆的半径，再由及余弦定理可得的值，进而求出的面积，再由，可得的值，进而求出椭圆的方程．【详解】由离心率，得，即．因为的内切圆的面积为，设内切圆的半径为，所以，解得，由椭圆的定义可知，在中，，由余弦定理得，即，∴，∴，可得，所以，而，所以可得，解得，，由，得，所以该椭圆的方程为．故选：A．11．下列函数中，最大值是1的函数是（     ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由可判断出A错误；由可判断B错误；由可判断C错误；令，则的值域即为直线的斜率的范围，即可判断出D正确.【详解】对于A，，当且仅当，即时取“=”，即当时，，A不正确；对于B，，当时，，故B错误；对于C，，显然最大值为1，此时，而时，函数无意义，即取不到1，故C不正确；对于D，令，则的值域即为直线的斜率的范围，显然点在圆上，设直线的方程为，即，则圆心到的距离，解得．故，故D正确．故选：D．12．已知函数，对任意的实数，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】不妨设，则由题意可得，令，则在上单调递增，所以在上恒成立，再次转化为．在上恒成立，令，利用导数求出其最大值即可.【详解】不妨设，由，得，即，令，所以对任意的实数时，都有，即在上单调递增，所以在上恒成立，即．在上恒成立．令．则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即实数a的取值范围是．故选：B．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是设，然后将原不等式化为，令，将问题转化为在上单调递增，即可得在上恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可，考查数学转化思想，属于较难题. 二、填空题13．若角的终边在第四象限，且，则________．【答案】0.75【分析】求出，，再根据诱导公式得到答案.【详解】因为角的终边在第四象限，且，所以，，所以．故答案为：.14．已知曲线的一条切线是，则实数________．【答案】1【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，对比列方程求解即可.【详解】设切点为，又，所以，所以切线方程为，即，所以，解得，．故答案为：1.15．如图，在中，，，.点D是线段BC上的一点，且，则CD长为___________.【答案】1.6【分析】过A作BC的垂线，垂足为E，由题可得，进而可得，即得.【详解】如图，过A作BC的垂线，垂足为E，在△ABC中，，，，所以，所以，在△ABE中，，，，所以，在△AED中，，，，所以，所以.故答案为：.16．对于定义域为D的函数，若存在且．使得，则称函数具有性质M，若函数具有性质M．则实数a的最小值为______．【答案】【分析】由题意，明确自变量取值范围，列出方程，求得对于自变量取值，可得答案.【详解】因为具有性M．所以，因为函数在上递减，在上递增，所以可设，由得，，则，故，∴，又，∴，即，∵，∴，，∵，∴，则实数a的最小值为．故答案为：. 三、解答题17．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.(1)求角B的大小；(2)若，，求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，利用正弦定理得到化简求解；（2）由，再由，结合正弦定理和三角形面积公式求解.【详解】(1)解：由，得，因为B，，则且，所以，即，则，得，所以.(2)，，，又，所以，所以，故.18．设数列的前n项和为，已知.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列是等差数列，且，.设，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据，消元得到，故为等比数列，进而求出通项公式；（2）由题意，得到的通项公式，进一步得到，利用错位相减法，得到数列的前项和.【详解】(1)因为，所以，两式相减，可得，整理得，即，因为在中当时，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.(2)易知，，所以公差，所以，所以，因为，则，两式相减可得，即.19．如图，在三棱锥中，平面PAB，，，，.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再利用勾股定理可得，从而可证得平面ABC，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】(1)证明：∵平面PAB，平面PAB，∴，又，，，所以，∴，∵，AB，平面ABC，∴平面ABC，又平面ABC，∴；(2)解：以点B为坐标原点，BA，BP所在直线分别为y，z轴，以过点B平行于AC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，1，0），B（0，0，0），C（2，1，0），P（0，0，），则，，，，设平面PBC的法向量，则，令，则，，所以平面PBC的一个法向量，设平面PAC的法向量，同理可得平面PAC的一个法向量，则，由图易知二面角为锐角，∴二面角的余弦值为.20．国庆节期间，某大型服装团购会举办了一次“你消费我促销”活动，顾客消费满300元（含300元） 可抽奖一次， 抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）.方案一: 从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个， 黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元.方案二: 从装有10个形状，大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中， 不放回地摸出3个球，中多规则为:若摸出2个红球，1个白球，享受免单优惠;若摸出2个红球和1个黑球则打5折;若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折;其余情况不打折.(1)某顾客恰好消费300元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望;(2)若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理?【答案】(1)分布列见解析，240元(2)选择方案一更合理. 【分析】（1）确定的可能的取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，根据期望公式求得期望；（2）计算两种方案下的实付金额的期望值，比较其大小，即可作出判断.【详解】(1)设实付金额为元， 可能的取值为0，100，200，300，则 ，，故的分布列为0100200300 所以（元）.(2)若选择方案一， 设摸到红球的个数为，实付金额为， 则， 由题意可得 ， 故，所以（元）；若选择方案二， 设实付金额为元，可能的取值为0，250，375，500，则，故的分布列为0250375500 所以（元）.因为，故从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合理.21．已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）对求导，然后分和两种情况讨论即可；（2）利用分离参数的思路将原不等式转化成，然后求出的最小值即可.【详解】(1)函数的定义域为，所以.当时，，所以在上单调递增；当时，令得，令得，所以在上单调递减：在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)因为对恒成立，即对恒成立.设，其中，所以，，设，其中，则，所以，函数在上单调递增.因为，，所以，存在，使得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以.因为，则，设，其中，则，所以函数在上为增函数，因为，则，则，由可得，所以，所以，可得，所以，所以.所以实数a的取值范围为.【点睛】解决恒成立问题，通常情况下有两个思路，一是直接求导，对参数讨论确定单调性，进而求出最值，解决问题；一是参变分离，进而构造新的函数，求导得出最值，使问题得以解决.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求的极坐标方程和的直角坐标方程；(2)若与交于，两点，求的值．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）消去参数得到直线的普通方程，从得到其极坐标方程，根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）把代入曲线的极坐标方程，即可求出，从而得解.【详解】(1)解：因为直线的参数方程为（为参数），所以消去直线参数方程中的参数得，即，显然直线过原点，倾斜角为，直线的极坐标方程为．曲线的极坐标方程化为，将代入得：，即，所以的极坐标方程为，的直角坐标方程为．(2)解：把代入得，解得，所以，所以．23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)设，若的最小值为m，实数a，b，c均为正，且，求的最小值.【答案】(1)(2)最小值为3 【分析】（1）根据x的范围分段取绝对值符号，求解可得；（2）利用绝对值三角不等式求得m，然后妙用“1”，展开使用基本不等式可得.【详解】(1)，即.当时，，解得；当时，，解得，又，所以；当时，，解得，又，所以.综上，不等式的解集为.(2)，当且仅当，即时取等号，所以，即.所以，，当且仅当时，等号成立，即的最小值为3.