2023届陕西省安康市高三上学期9月联考数学（文）试题含解析

这是一份2023届陕西省安康市高三上学期9月联考数学（文）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省安康市高三上学期9月联考数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次不等式求解集合，再求交集即可.【详解】由得，故，所以，又，所以．故选：B．2．已知复数（i是虚数单位），则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的乘、除法运算求出z，进而求出，结合复数的几何意义即可求解.【详解】，得，则．故选:A3．设向量，，满足，，与的夹角为，则（    ）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得.【详解】解：因为，，与的夹角为，所以，所以，所以．故选：A．4．下列函数中，既是偶函数且在上又是减函数的是（    ）①；②；③；④．A．①④ B．②③ C．③ D．②【答案】C【分析】根据偶函数的定义和函数的单调性逐个分析判断.【详解】对于①，因为，所以此函数是偶函数，但在上不是单调函数，所以①错误，对于②，因为，所以此函数不是偶函数，所以②错误，对于③，定义域为，因为，所以此函数为偶函数，且在上单调递减，所以③正确，对于④，定义域为，因为，所以此函数为奇函数，所以④错误，故选：C．5．若，则（    ）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由题意，根据同角三角函数的关系式进行弦化切，结合正切函数的和角公式，可得答案.【详解】因为，所以，解得，所以．故选：B．6．已知，，，，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C．或 D．且【答案】C【分析】分类讨论为真和为真时，的取值，进而利用集合的交集关系，即可求解【详解】若p真，则；若q真，则或．又因为“p且q”是真命题，所以或．故选：C．7．已知正项等比数列中，成等差数列，其前n项和为，若，则为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差等比数列的性质，列出相应的方程，求出，进而利用等比数列通项公式即可求解.【详解】设等比数列的公比为q，．因为成等差数列，所以．又因为；，所以．所以．故选B．8．在中，“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用同角的三角函数关系和诱导公式分别证明充分性和必要性，进而得出结果.【详解】若，则，即，所以，所以，即，所以，所以，所以，所以“”是“”的充分条件．若，则，则，即，所以，所以或，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A．9．已知函数．则关于说法错误的是(    )A．的图象向右平移个单位长度后所得的函数为B．的图象与的图象关于y轴对称C．的单调递减区间为D．在上有3个零点，则实数a的取值范围是【答案】D【分析】利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式.根据图象平移对解析式的影响即可判断A，根据正弦函数对称性即可判断B，根据正弦函数单调性即可判断C，根据正弦函数图象的性质可判断D．【详解】﹒对于选项A，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，∴选项A正确；对于选项B，∵，∴与图象关于y轴对称，∴选项B正确；对于C，由得，即的单调递减区间为，∴选项C正确；对于D，如图为的图象， 由图可知，在上有3个零点，则，解得，∴选项D错误．故选：D．10．已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且．，则C的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用椭圆定义结合余弦定理得到，再结合，求出椭圆方程.【详解】在椭圆中，由椭圆的定义可得，因为，所以，在中，，由余弦定理得，即，所以，又．所以，所以椭圆C的方程为．故选：C．11．下列函数中，最大值是1的函数是（     ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由可判断出A错误；由可判断B错误；由可判断C错误；令，则的值域即为直线的斜率的范围，即可判断出D正确.【详解】对于A，，当且仅当，即时取“=”，即当时，，A不正确；对于B，，当时，，故B错误；对于C，，显然最大值为1，此时，而时，函数无意义，即取不到1，故C不正确；对于D，令，则的值域即为直线的斜率的范围，显然点在圆上，设直线的方程为，即，则圆心到的距离，解得．故，故D正确．故选：D．12．已知函数，对任意的实数，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】不妨设，则由题意可得，令，则在上单调递增，所以在上恒成立，再次转化为．在上恒成立，令，利用导数求出其最大值即可.【详解】不妨设，由，得，即，令，所以对任意的实数时，都有，即在上单调递增，所以在上恒成立，即．在上恒成立．令．则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即实数a的取值范围是．故选：B．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是设，然后将原不等式化为，令，将问题转化为在上单调递增，即可得在上恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可，考查数学转化思想，属于较难题. 二、填空题13．若角的终边在第四象限，且，则________．【答案】0.75【分析】求出，，再根据诱导公式得到答案.【详解】因为角的终边在第四象限，且，所以，，所以．故答案为：.14．已知曲线的一条切线是，则实数________．【答案】1【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，对比列方程求解即可.【详解】设切点为，又，所以，所以切线方程为，即，所以，解得，．故答案为：1.15．在中，角，，的对边分别为，，，且，则_______．【答案】【分析】根据正弦定理边换角，化简求出角的的值，再利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理得，所以，所以，又，，是三角形内角，，所以，所以，所以，由余弦定理得，所以．故答案为：.16．对于定义域为D的函数，若存在且．使得，则称函数具有性质M，若函数具有性质M．则实数a的最小值为______．【答案】【分析】由题意，明确自变量取值范围，列出方程，求得对于自变量取值，可得答案.【详解】因为具有性M．所以，因为函数在上递减，在上递增，所以可设，由得，，则，故，∴，又，∴，即，∵，∴，，∵，∴，则实数a的最小值为．故答案为：. 三、解答题17．在中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．．(1)求角B的大小；(2)若，求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理化简求解即可.（2）利用三角函数的和差公式，得到，进而利用正弦定理可求出，利用面积公式即可求解.【详解】(1)由及正弦定理得，因为，则且，所以，即，则，可得，所以．(2)，，所以，所以，故．18．已知等差数列的前n项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】第（1）问使用等差数列的通项公式和前项和公式将已知条件转化成基本量，求出和即可求出通项公式；第（2）问对于等差×等比类型的数列求和，使用错位相减法.【详解】(1)解：设公差为，由已知有解得∴数列的通项公式为.(2)由（1）知，∴①①×2，得②①②得∴数列的前项和.19．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．该平台首次实现了“有组织，有管理，有指导，有服务”的学习，极大地满足了广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP．某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取1000人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．(1)估计该市市民每周利用“学习强国”时长在区间内的概率；(2)估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长；(3)若宣传部为了解市民每周利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取7人了解情况，从这7人中随机选取2人参加座谈会，求所选取的2人来自不同的组的概率．【答案】(1)0.3(2)6.8小时(3)． 【分析】(1)由频率分布直方图求出学习时长在内的频率，由此估计学习时长在内的概率；(2)根据平均值的计算公式求解；(3)先由分层抽样的性质确定从和组中应抽取的人数，再列出样本空间，并利用古典概型概率公式求出事件所选取的2人来自不同的组的概率．【详解】(1)由题意知，该市市民每周利用“学习强国”时长在内的频率为，所以估计该市市民每周利用“学习强国”时长在内的概率为0.3．(2)由题意知各组的频率分别为0.05，0.1，0.25，0.3，0.15，0.1，0.05，所以，所以估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长在6.8小时．(3)由（2）知，利用“学习强国”时长在和的频率分别为0.25，0.1，故两组人数分别为250，100，采用分层抽样的方法从组抽取人数为，记作a，b，c，d，e；从组抽取人数为，记作A，B；从7人中抽取2人的基本事件有，共21个，来自不同组的基本事件有，共10个，故所求概率．20．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，．F是中点．(1)求证：平面；(2)若，求点P到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)由线面垂直判定定理证明平面，由此证明，结合条件证明平面；(2)根据，利用等体积法求点P到平面的距离．【详解】(1)因为平面平面，所以，因为四边形是正方形，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为，F是中点，所以，因为平面，所以平面．(2)由（1）知平面．因为平面，所以．同理可得．由题意得，所以，所以的面积，．设P到平面的距离为d，则，解得．故P到平而的距离为．21．已知函数（为的导函数）.(1)讨论单调性；(2)设是的两个极值点，证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）令，讨论两种情况，利用导数得出单调性；（2）由极值点的定义得出，，，由分析法结合导数证明，从而得出.【详解】(1)的定义域为.，设，则当时，恒成立，在上单调递增.当时，由，得；由，则；即在上单调递增，在上单调递减综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减(2)证明：，因为，是函数的两个极值点，所以，两式相减得，欲证，只需证.①不妨设，故①变形为②令，，则在上单调递增，则故②式成立，即要证不等式得证【点睛】关键点睛：对于问题二，关键是将，取对数并利用极值点的定义得出，从而将为两个变量变为单变量，再由导数证明不等式.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求的极坐标方程和的直角坐标方程；(2)若与交于，两点，求的值．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）消去参数得到直线的普通方程，从得到其极坐标方程，根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）把代入曲线的极坐标方程，即可求出，从而得解.【详解】(1)解：因为直线的参数方程为（为参数），所以消去直线参数方程中的参数得，即，显然直线过原点，倾斜角为，直线的极坐标方程为．曲线的极坐标方程化为，将代入得：，即，所以的极坐标方程为，的直角坐标方程为．(2)解：把代入得，解得，所以，所以．23．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)设，若的最小值为m，实数a，b，c均为正数，且；求的最小值．【答案】(1)(2)3 【分析】（1）分段取绝对值再求解即可；（2）根据绝对值的三角不等式可得，再根据基本不等式求解最小值即可.【详解】(1)，即．当时，，解得；当时，，解得，又，所以；当时，，解得，又，所以．综上，不等式的解集为．(2)，当且仅当，即时取等号，所以，即．所以，当且仅当时，等号成立，即的最小值为3．