2023届四川省树德中学（宁夏街校区）高三上学期10月阶段性测试数学（文）试题含解析

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2023届四川省树德中学（宁夏街校区）高三上学期10月阶段性测试数学（文）试题 一、单选题1．如果复数z满足，那么的最大值是（    ）A．0 B．1 C．2 D．2i【答案】C【分析】由复数模的几何意义求解．【详解】在复平面上，设复数对应的点为，复数对应的点为，为原点，表示点在以为圆心，1为半径的圆上，，而，所以的最大值为1＋1＝2．故选：C．2．设，，若M是N的真子集，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据真子集的定义求解．【详解】显然，所以由已知，解得，时符合题意．故选：D．3．已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（　　）A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部【答案】A【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可.【详解】∵，∴，则，则∴∴P点在AC边所在直线上．故选：A．4．设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（    ）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】A【分析】利用等比数列的通项公式，求解出公比【详解】由，有，即，由等比数列的通项公式得，即，解得或，由数列为正项等比数列，∴ .故选：A5．下列判断，不正确的选项是（    ）A．若是奇函数，则的图象关于点对称B．曲线的图象关于直线对称．C．函数定义在R上的可导函数，若为偶函数，则其导函数为奇函数．D．若函数，则函数图像关于对称【答案】B【分析】对于A，根据奇函数的定义结合中心对称的定义判断，对于B，令，由与的关系判断，对于C，由奇偶函数的定义结合导数的运算分析判断，对于，由轴对称的性质分析判断.【详解】对于A，因为为奇函数，所以，所以，所以的图象关于点对称，所以A正确，对于B，令，则，所以曲线的图象不关于直线对称，所以B错误，对于C，因为为偶函数，所以，因为定义在R上的可导函数，所以，所以，即，所以其导函数为奇函数，所以C正确，对于D，因为函数，所以函数图像关于对称，所以D正确，故选：B6．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述错误的是（    ）A．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B．乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】D【分析】根据六维能力雷达图，分别读取出甲乙两人的相应能力指标值，比较或计算平均值可得答案.【详解】对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A正确；对于B选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故选项B正确；对于C选项，甲的六维能力指标值的平均值为，乙的六维能力指标值的平均值为，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项C正确；对于D选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项D错误.故选：D7．已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】设出切点，对函数求导得出切线的斜率，利用点斜式方程写出切线，将点代入，并将切线有且仅有条，转化为方程只有一个根，列方程求解即可．【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，切线方程为直线过点，则，化简得切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或故选：C8．已知函数，执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为6，则判断框中t的值可以为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】模拟程序框图的运行过程，求解即可.【详解】第一次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件，此时；第六次执行循环体后，，，满足退出循环的条件，此时；所以故选：B9．设方程和方程的根分别为p和q，设函数，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据，关于直线对称，而与，的交点的横坐标即为，根据对称性可得，再由图象开口向上，对称轴方程为，即可求解.【详解】由得，由得，所以令，和，这三个函数的图象情况如下图所示，与相交于点，与相交于点，由于与的图象关于对称，而与的交点为，所以，即，又因为的对称轴为：，根据二次函数的性质得在单调递减，在上单调递增，所以，故选：A.10．已知奇函数的周期为，将函数的图像向右平移个单位长度，可得到函数的图像，则下列结论正确的是（    ）A．函数B．函数在区间上单调递增C．函数的图像关于直线对称D．当时，函数的最大值是【答案】C【分析】利用辅助角公式变形函数，由已知求出，再借助平移变换求出，然后利用正弦函数性质逐项判断作答.【详解】依题意，，则有，又是奇函数，于是得，因，即有，，因此，A不正确；当时，，而函数在上不单调，因此函数在区间上不单调，B不正确；当时，，为的最小值，因此函数的图像关于直线对称，C正确；当时，，即有，，，D不正确.故选：C11．如图，在棱长为2的正四面体中，点分别为和的重心，为线段上一点（    ）A．的最小为2B．若平面，则C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为D．正四面体的内切球体积为【答案】D【分析】A选项由线面垂直证得，进而由点与点重合时即可判断；BD选项利用内切球求得，内切球半径，即可判断；C选项找到球心，由勾股定理求得半径，即可判断；【详解】解：取中点，连接，因为点分别为和的重心，所以，三点共线，三点共线，三点共线， 所以，在棱长为2的正四面体中，，，又，平面，平面，所以，面，平面，又面，面，所以，，又因为，平面 所以，平面，又平面，所以．所以，当点与点重合时，取得最小值，又，所以，最小值为，A错误．在正四面体中，取中点，连接，所以三点共线，，因为平面，所以，平面，因为平面，所以因为面，面，所以因为，平面，所以平面，因为平面，所以，在上，所以，又点也是和的内心，所以，点P为正四面体内切球的球心．，．设正四面体内切球的半径为，因为，所以，解得，即，故，故B选项错误．所以，正四面体内切球的体积为，故D选项正确.设三棱锥外接球的球心为，半径为，因为平面，所以，球心在直线上，且，所以，，解得，故三棱锥P－ABC外接球的表面积为，故C选项错误．故选：D.12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.【详解】因为，所以，如图，在上取一点M，使得，连接，则，则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，所以，设，则，由椭圆定义可知：，即，所以，所以，，故点A与上顶点重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以椭圆离心率为.故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率. 二、填空题13．为防控新冠疫情，很多公共场所要求进人的人必须佩戴口罩．现有2人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选2只不同颜色的口罩，则蓝色口罩被选中的概率为____________．【答案】0.4【分析】利用列举法和古典概型的概率计算公式可得答案.【详解】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选2只不同颜色的口罩，样本点如下：（蓝，白），（蓝，红），（蓝，黑），（蓝，绿），（白，红），（白，黑），（白，绿），（红，黑，（红，绿），（黑，绿），共有10个样本点，其中蓝色口罩被选中的样本点有（蓝，白），（蓝，红），（蓝，黑），（蓝，绿），共4个样本点，所以蓝色口罩被选中的概率．故答案为：．14．已知关于、的不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一点，则的最小值________．【答案】【分析】作出平面区域，分析可知为点到直线的距离的倍，数形结合可求得点到直线的距离的最小值，即可得解.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图所示：设点到直线的距离为，则，则，由图可知，当点与点重合时，取最小值，且，因此，的最小值为.故答案为：.15．数列满足，，则前40项和为________．【答案】【分析】根据题设中的递推关系可得、，利用分组求和可求前40项和，【详解】当时，，故，当时，， 所以，所以，当时，；当时，；当时，；当时，；故，故前40项和为，故答案为：16．已知函数（），若在区间内恰好有7个零点，则a的取值范围是________．【答案】【分析】首先讨论时不符题意，再讨论时，当时，函数的性质及零点个数，再确定函数在内的个零点个数，然后结合三角函数的性质列出不等式组解出的取值范围，最后取并集即可.【详解】当时，对任意，在内最多有2个零点，不符题意；所以，当时，，开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为当时，；当，即时，在内无零点，所以在内有7个零点，即在内有7个零点，因为，所以，，所以，解得，又因为，所以无解；当，即时，=在内有1个零点，在内有6个零点，即在内有6个零点，由三角函数的性质可知此时在内只有4个零点，不符题意；当，即时，=在内有2个零点，所以=在内有5个零点，即在内有5个零点，因为，所以，，所以，解得，又因为时，所以，当，即时，在内有1个零点，所以在内有6个零点，即在内有6个零点，因为，所以，，所以，解得，又因为，所以.综上所述，的取值范围为：.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的零点、二次函数的性质、三角函数的性质及分类讨论思想，属于难题. 三、解答题17．已知四边形ABCD是由ABC与ACD拼接而成的，且在ABC中，．(1)求角B的大小；(2)若，，，．求AB的长．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理计算；（2）在ADC中，由正弦定理求得，在ABC中由余弦定理求得．【详解】(1)∵，∴整理可得，，∴在ABC中，由余弦定理可得，，∴．(2)在ADC中，由正弦定理，可得，可得，在△ABC中由余弦定理，可得，可得，，解得，（负值舍去）．18．在如图所示的五面体ABCDFE中，面ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，，且，N为BE的中点，M为CD中点．(1)求证：平面ABCD；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）取的中点，由题可得四边形NHDF为平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即得；（2）连接BM，由题可得，然后根据锥体的体积公式即得.【详解】(1)取的中点，连接， ∵N为BE的中点，∴，∵，且，所以，∴四边形NHDF为平行四边形，∴，∵平面ABCD且平面ABCD，∴平面ABCD；(2)连接BM，则四边形为平行四边形，∴，且，∴，且，∴四边形BMFN为平行四边形，∴，∵，∴.19．网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP买菜等进入我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻．自“国家反诈中心APP”推出后，某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”．经统计，该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关，并记录了经推广x个月后月报案件数y的数据．x（个）1234567y（件）891888351220200138112 (1)根据以上数据，使用作为回归方程模型，求出y关于x的回归方程；(2)分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下．参考数据（其中，，，，．参考公式：对于一组数据，，，…，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【答案】(1)；(2)能，详见解析. 【分析】（1）对于非线性回归方程先通过换元法将变化为线性回归方程，再利用最小二乘法即得；（2）将代入回归方程得到，进而即得.【详解】(1)由表中数据可得(891+888+351+220+200+138+112)=400，令，设y关于t的线性回归方程为，则则，故y关于x的回归方程为；(2)由回归方程可知，随x的增大，y逐渐减少，当时，，故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下．20．在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．(1)求轨迹E的方程；(2)过圆心的直线交轨迹E于A，B两个不同的点，过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据两圆内切和外切列出圆心距与半径的关系，即可发现圆心P的轨迹满足椭圆的定义，进而可求出方程；（2）当直线AB的斜率不存在，或为0时，可直接由已知得出四边形ADBG面积；当直线AB的斜斜率存在且不为0时，设出直线AB的方程，与联立椭圆联立，通过韦达定理与弦长公式得出与直线AB的斜率的关系，再由，得出直线DG的斜率与直线AB的斜率的关系，设出直线DG的方程，同理得出与直线AB的斜率的关系，即可列出四边形ADBG面积的式子，再通过基本不等式的应用得出最小值.【详解】(1)设动圆P的半径为R，圆心P的坐标为，由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，动圆P与圆内切，且与圆外切，，则动圆P的圆心的轨迹E是以， 为焦点的椭圆，设其方程为：，其中，，，，即轨迹E的方程为：.(2)当直线AB的斜率不存在，或为0时，四边形ADBG面积长轴长通径长，当斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为，，，由可得：，，，，．，，同理可得：，，四边形ADBG面积，则等号当且仅当时取，即时，.21．已知函数．(1)当时，对于函数，存在，，使得成立，求满足条件的最大整数m；(2)使不等式对任意恒成立时最大的k记为c，求当时，的取值范围．【答案】(1)4(2) 【分析】（1）由题意得，然后对函数求导，求出函数的单调区间，从而可求出函数在的最值，则可求出的取值范围，进而可求出的最大值，（2）将问题转化为对任意恒成立，构造函数，利用导数求出的最小值，则可得的取值范围，从而可得的值，则可表示出，再构造函数可求出其范围.【详解】(1)由已知可得，，，所以，，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，又，，，因为，所以所以函数在上的最大值为，最小值为，因为存在，，使得，成立，所以，又，故，所以满足条件的最大整数m值为4；(2)因为，所以原不等式可变为，令，，令，则，时，，递增，，，①当，即时，在，，是增函数，，，②当，即，时，递减，，；③当时，在上递增，存在唯一的实数，使得，，，则当时，，，递减，时，，，递增，，，，令，，时，，递增，所以时，，所以，综上，．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为对任意恒成立，然后构造函数，利用导数可求出其最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为：．(1)求直线l普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)过点的直线l与C相交于A，B两点，求的值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）消去参数得直线的普通方程，由公式化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把直线的参数方程化为标准形式，代入曲线方程，由参数的几何意义求弦长．【详解】(1)由于，消t得，即，由得，∴曲线C的直角坐标方程是：(2)将直线l: 化为标准形式（为参数），代入，并化简得，设A，B对应参数为，，，,所以23．设函数．(1)解不等式；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据零点分类讨论，分别去绝对值号，即可求出不等式的解集；（2）当时不等式恒成立，当时，分离参数后利用均值不等式求最值即可得解.【详解】(1)原不等式可化为或或，解得或或，即原不等式的解集为.(2)当时，，即，当时，，此时，当时，， 因为，当且仅当，即时取等号，所以.综上所述,实数的取值范围为.