2023届四川省金太阳大联考高三上学期10月联考数学（理）试题含解析

这是一份2023届四川省金太阳大联考高三上学期10月联考数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次不等式求解可得，再求交集即可.
【详解】由题意可得，则．
故选：A
2．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求导，再令可得解.
【详解】由，
得，
令，则，
解得，
故选：B.
3．一艘轮船从A处沿正东方向航行10千米到达B处，再从B处沿北偏东30°的方向航行15千米到达C处，则A，C之间的距离是（ ）
A．千米B．千米C．20千米D．千米
【答案】D
【分析】根据余弦定理计算得解.
【详解】在中，千米，千米，，则由余弦定理可得，则千米．
故选：D.
4．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据中间量比较大小.
【详解】因为，，，所以．
故选：C
5．在中，角B是最大的内角，“”是“是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】充分性：由，平方化简得，所以，则是钝角三角形，
必要性：举反例证明即可.
【详解】由，平方得，所以，
角B是的内角，所以，所以，
则是钝角三角形，
反之，不一定成立，不妨设，则，
故“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件．
故选：A.
6．已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用诱导公式对已知等式化简可求得，然后利用正切的二倍角公式可求得结果.
【详解】由题意可得，则，
所以，
所以．
故选：B
7．已知函数（，且），若，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过计算，发现，故，由此可求.
【详解】因为，所以，
所以，所以．
因为，所以．
故选：A.
8．已知函数在内恰有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据余弦函数的性质可得，进而即得.
【详解】因为，
所以，
所以，
解得．
故选：C.
9．已知，则和1的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．与m的取值有关
【答案】A
【分析】根据不等式的性质进行判断即可.
【详解】因为，所以，则．
故选：A
10．“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，MN是圆O的一条直径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为，．若点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】连接PO，根据平面向量的线性运算可得，再根据正八边形的性质可得的取值范围，结合即可求得的取值范围.
【详解】如图，连接PO．因为，，所以．
因为正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为，，所以．
因为，所以，所以，即的取值范围是．
故选：D
11．已知，，且，若恒成立，则满足条件的整数m的个数是（ ）．
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据所给条件转化，利用均值不等式求最小值，再解关于的不等式，即可得解.
【详解】，，且
，当且仅当时等号成立，
则，即，解得，
所以整数m可取，共4个.
故选：C
12．函数的最大值是（ ）．
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用两角和（差）的余弦公式及同角三角函数的基本关系将函数化简得到，令，则问题转化为求，的最大值，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的值域，即可得解.
【详解】解：因为
．
设，则，
则问题转化为求函数，上的最大值，
故．
由，得，
由，得或，
则在和上单调递减，在上单调递增．
因为，，，
所以，即的值域是．
故选：B
二、填空题
13．已知向量，，若，则______．
【答案】3.25
【分析】根据向量的加减以及数量积的坐标运算，即可求解.
【详解】因为，，所以．
因为，所以，
即，解得．
故答案为：
14．已知函数，若，则______．
【答案】3
【分析】运用换元法和代入法进行求解即可.
【详解】令，得，则．
因为，所以，解得．
故答案为：3
15．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，，且的周长和面积分别是14和，则______．
【答案】4
【分析】根据三角形面积公式和余弦定理列方程，解方程求即可.
【详解】因为，所以，所以，所以．
因为，所以，
所以，所以．
由余弦定理可得，即，
所以，则，解得，
故答案为：4.
16．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是______．
【答案】
【分析】构造函数，由题意可知不等式等价于，利用导数分析函数的单调性，结合函数的单调性可得出原不等式的解集.
【详解】设，则．
因为，
所以，即，
所以在上单调递减．
不等式等价于不等式，即．
因为，
所以，
所以．
因为在上单调递减，
所以，解得．
所以不等式的解集是
故答案为：
三、解答题
17．设函数．已知p：在上单调递减；q：存在，使得，其中是的导函数．
(1)若p是真命题，求a的取值范围；
(2)若“p是真命题”是“q是真命题”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】(1)根据函数的单调性与导数的关系列不等式求a的取值范围；(2)化简命题，由条件关系列不等式求m的取值范围．
【详解】(1)由题意可得．
因为p是真命题，所以在上恒成立，
则，即，
解得，即a的取值范围为．
(2)因为在内有解，
所以在内有解，
因为函数在单调递增，所以函数在上值域为，所以．
因为“p是真命题”是“q是真命题”的充分不必要条件，
所以，又，
所以，解得，
即m的取值范围为．
18．已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间内的值域．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得；
（2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即得.
【详解】(1)因为，
令，解得，
则的单调递增区间是；
(2)由（1）可得．
因为，所以，
所以，
所以，
即在区间内的值域为．
19．为了更高效地推进乡村振兴，某乡村振兴小组计划对甲、乙两个项目共投资100万元，并且规定每个项目至少投资20万元依据前期市场调研可知甲项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式；乙项目的收益（单位：万元）与投资金额（单位：万元）的数据情况如下表所示．
设甲项目投资x万元，两个项目的总收益为（单位：万元）．
(1)根据所给数据，从①；②；③三个函数中选取一个合适的函数描述乙项目的收益与投资金额t的变化关系，并求出该函数解析式．
(2)试问如何安排甲、乙这两个项目的投资金额，才能使总收益最大？并求出的最大值．
【答案】(1)合适，；
(2)对甲项目投资60万元，乙项目投资40万元，才能使总收益取得最大值630万元．
【分析】（1）根据函数单调性选择函数，利用代入法，通过解方程组进行求解即可；
（2）利用导数的性质进行求解即可；
【详解】(1)由表格中的数据可知函数不单调．
因为在①②中，均为单调函数，所以乙项目的收益与投资金额t的函数关系为．
把，，分别代入，
得，解得．
故；
(2)设甲项目投资金额为x万元，则乙项目投资金额为万元，
因为每个项目至少投资20万元，所以，
解得．
由题意可得
设，则．
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则．
故，
即对甲项目投资60万元，乙项目投资40万元，才能使总收益取得最大值630万元．
20．如图，某菜农有一块等腰三角形菜地，其中，米．现将该三角形菜地分成三块，其中．
(1)若，求的长；
(2)求面积的最小值．
【答案】(1)米
(2)平方米
【分析】（1）利用正弦定理求出的长，分析可知为等腰三角形，可得出的长，进而可求得的长；
（2）用表示、的长，利用三角恒等变换化简面积的表达式，结合正弦型函数的基本性质可求得面积的最小值.
【详解】(1)解：在等腰中，因为，则，
在中，由题意可得米，，．
且，
由正弦定理可得，则米．
因为，，
所以，则米，
故米．
(2)解：设，其中，则，．
在中，由正弦定理可得，
则米．
在中，由正弦定理可得，
则米．
的面积．
因为
，
，则，
所以当，即时，，
故面积的最小值是平方米．
21．已知函数．
(1)当时，证明：．
(2)记函数，若为增函数，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证，即证，设，然后利用导数可证得，则可得，从而可证得结论，
（2）由题意可得在上恒成立，则在上恒成立，由（1）可得，化简得，从而可得，进而可得答案.
【详解】(1)证明：当时，（）．
要证，即证．
设，则．
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，则．
所以，
所以，
即，当且仅当时等号成立．
(2)解：因为，
所以．
因为为增函数，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立．
由（1）可知，则，即，
从而，即，当且仅当时，等号成立．
故，解得，
即a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数证明不等式，考查利用导数求函数的最值，第（2）问解题的关键是将问题转化为在上恒成立，再利用（1）的结论可得，从而可得答案，考查数学转化思想，属于较难题.
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）消去参数可得C的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入椭圆普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.
【详解】(1)由（为参数），得，
故曲线C的普通方程为．
由，得，
故直线l的直角坐标方程为．
(2)由题意可知直线l的参数方程为（t为参数）．
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，
设A，B对应的参数分别是，，
则，，
故．
23．已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；
（2）利用绝对值三角不等式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】(1)因为，
所以等价于，或，或，
解得或或，所以，即不等式的解集为．
(2)因为，当且仅当时等号成立；
所以函数的最小值为，
由已知可得，所以或，
解得或，即a的取值范围．
投资金额t
40
55
100
收益
30
7.5
30