2023届北京市景山学校高三上学期开学摸底测试数学试题含解析

2023届北京市景山学校高三上学期开学摸底测试数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.

【详解】解：由，即，解得，

所以，又，

所以；

故选：B

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】，但不能推出，从而判断出结论.

【详解】时，，故充分性成立，

，解得：或，故必要性不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3．已知函数，若，则实数的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】由题可得或，即求.

【详解】∵函数，，

∴或，

解得.

故选：C.

4．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】A

【分析】根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案.

【详解】∵不等式在R上恒成立，

∴ ，解得，

又∵，∴，则不等式在R上恒成立，

∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,

故选:A.

5．已知集合，若，则a的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，，，即，

则实数a的取值范围是，

故选:C.

6．若，则的大小关系是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.

【详解】，

因为在R上为减函数，所以，

因为在上为增函数，所以，所以，

所以，

故选：D.

7．抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（    ）

A．6 B．2 C．5 D．8

【答案】A

【分析】分别画出抛物线与圆的图像，观察图像即可得到距离最大值.

【详解】

拋物线的焦点为，

圆，即

所以，圆心为，半径，

F到圆C上点的距离的最大值为.

故选：A.

8．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（    ）

A．2600 B．2700 C．26 D．27

【答案】D

【分析】根据题中函数关系式，令和，分别求出对应的，即可得出结果.

【详解】因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数，

当一条鲑鱼静止时，，此时，则，耗氧量为；

当一条鲑鱼以的速度游动时，，此时，

所以，则，即耗氧量为，

因此鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为.

故选：D.

9．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.

【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，

设，则，显然有，，

，因此，，在，，

即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，

所以E的离心率为.

故选：B

【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；

②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

10．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．13

【答案】B

【分析】设切点为,求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，可得,再由乘1法结合基本不等式，即可得到所求最小值．

【详解】设切点为 ，

的导数为，

由切线的方程可得切线的斜率为1，令，

则 ，故切点为，

代入，得，

、为正实数，

则，

当且仅当，时，取得最小值9，

故选：B

二、填空题

11．的定义域为_________.

【答案】

【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.

【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得，

即函数的定义域为.

故答案为：.

12．若，，用、表示，则______;

【答案】

【分析】利用对数的运算性质化简可得结果.

【详解】由题意可得.

故答案为：.

13．己知，则___________.

【答案】

【分析】利用三角恒等变换求解.

【详解】解：因为，

所以，

，

，

故答案为：

14．已知点为曲线上的动点，则到直线的最小距离为______.

【答案】

【分析】设与相切与点Q，求得切线方程，再利用两直线间的距离求解.

【详解】解：设与相切与点Q，

则，令，得，则切点，

代入，得，即直线方程为，

所以与直线间的距离为，

即为到直线的最小距离，

故答案为：

15．已知函数，给出下列四个结论：

①若，则函数至少有一个零点；

②存在实数，，使得函数无零点；

③若，则不存在实数，使得函数有三个零点；

④对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点.

其中所有正确结论的序号是___________.

【答案】①②④

【分析】在同一坐标系中作出的图象，利用数形结合法求解.

【详解】①当时，，令，得，

在同一坐标系中作出的图象，如图所示：

由图象及直线过定点（0，3）知函数至少有一个零点，故正确；

②当时，作出的图象，

由图象知，函数无零点；

③当时，在同一坐标系中作出的图象，如图所示：

由图象知：函数有三个零点，故错误；

④当时，

，

当时，

，

当时，

由图象知：对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点，故正确.

故答案为：①②④

三、解答题

16．在中，.

(1)求的大小：

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形，然后化简可求出，

（2）先由已知条件求出角，再利用正弦定理求出，再利用两角差的正弦公式可求出，然后由三角形的面积公式可求得结果.

【详解】(1)因为，

所以由正弦定理得，

因为，所以，

由上式可知，所以，

因为，所以，

(2)因为,

所以，

所以由正弦定理得，，

所以，得，

因为，，

所以，

所以

，

所以

17．已知函数.

(1)求函数的单调递减区间；

(2)当时，能成立，求的取值范围.

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，然后由正弦函数的单调性列出不等式，求解即可；

（2）由正弦函数的性质，求出的最小值，将不等式恒成立问题转化为，即可得到答案.

【详解】(1)

，

令，，

解得，，

所以的单调递减区间为，；

(2)因为，则，

所以，

故，

当时，能成立，即，

所以，

故的取值范围为.

18．已知函数在处取得极值．

确定a的值；

若，讨论的单调性．

【答案】（1）

（2）在和内为减函数，在和内为增函数．

【详解】（1）对求导得，

因为在处取得极值，所以，

即，解得；

（2）由（1）得，，

故

，

令，解得或，

当时，，故为减函数，

当时，，故为增函数，

当时， ，故为减函数，

当时，，故为增函数，

综上所知：和是函数单调减区间，

和是函数的单调增区间.

19．已知椭圆的离心率为，且过点，直线交椭圆C于A､B两点，直线PA与直线PB斜率之积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求k的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆离心率以及椭圆过的点列出方程组，求得，，即得答案;

（2）联立椭圆和直线方程，得到根与系数的关系式，根据直线PA与直线PB斜率之积为，列出等式进行化简，并判断结果是否符合题意，可得答案.

【详解】(1)由已知 ，解得，，

故椭圆C的方程为：.

(2)设，，

由 ，得，

，

则，，

故

，

整理得，，

若，则直线 过点，不合题意，

所以，.

20．已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上、下顶点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为，，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据圆经过上、下顶点可求，利用离心率和的关系可得答案；

（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，求和验证即可.

【详解】(1)因为圆过椭圆C的上、下顶点，所以；

又因为离心率，所以，解得，

所以椭圆的方程为.

(2)由于直线l的斜率为，可设直线l的方程为；

代入椭圆方程，可得，

由于直线l交椭圆C于P，Q两点，

所以整理解得,

设点，由于点P与点E关于原点对称，故,

；

因为，所以

故，结论得证.

21．已知函数，.

(1)当时，

①求曲线在处的切线方程；

②求证：在上有唯一极大值点；

(2)若没有零点，求的取值范围.

【答案】(1)①；②证明见解析

(2)

【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；

②令，利用导数判断出在上有唯一零点，利用列表法证明出在上有唯一极大值点；

（2）令.对a分类讨论：①，得到当时，无零点；②，无零点，符合题意.

【详解】(1)若，则，.

①在处，，.

所以曲线在处的切线方程为.

②令，，

在区间上，，则在区间上是减函数.

又，

所以在上有唯一零点.

列表得：

所以在上有唯一极大值点.

(2)，

令，则.

①若，则，在上是增函数.

因为，，

所以恰有一个零点.

令，得.

代入，得，

解得.

所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意.

②若，此时的定义域为.

当时，，在区间上是减函数；

当时，，在区间上是增函数.

所以.

又，

由题意，当，即时，无零点，符合题意.

综上，的取值范围是.

【点睛】导数的应用主要有：

（1）利用导函数几何意义求切线方程；

（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；

（3）利用导数求参数的取值范围.