2023届河北省石家庄二中实验学校高三上学期9月开学考试数学试题含解析

这是一份2023届河北省石家庄二中实验学校高三上学期9月开学考试数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河北省石家庄二中实验学校高三上学期9月开学考试数学试题 一、单选题1．若集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据已知条件求出集合，再利用并集的定义即可求解.【详解】由题意可知，又，所以．故选：D．2．有四个关于三角函数的命题：：xR， + =           ： x，yR，： +2kπ (kZ)    ： x，其中真命题的是  （    ）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】，，从而可判断正误；：存在，使成立；：举出反例，，从而可判断正误；：利用降幂公式可知，从而可知正误；【详解】，，故错误；：存在，使，故正确；：当，时，，此时，故错误；，，，故正确．故选：．3．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合基本不等式求得的最小值为，把不等式有解，转化为，即可求得实数的取值范围.【详解】由题意，正实数满足，则，当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为，又由不等式有解，可得，即，解得或，即实数的取值范围为.故选：C.4．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度(单位:)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（    ）A．1倍 B．10倍C．100倍 D．1 000倍【答案】B【分析】利用对数运算即可求解.【详解】设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为，根据题意得＝，解得，，解得，所以因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.故选: B.5．已知，则函数的图像不可能是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像.【详解】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现.故选：A6．已知函数，下列说法正确的有（    ）①函数最小正周期为；②定义域为③图象的所有对称中心为；④函数的单调递增区间为．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解.【详解】对①，函数，可得的最小正周期为，所以①正确；对②，令，解得，即函数的定义域为，所以②错误；对③，令，解得，所以函数的图象关于点对称，所以③正确；对④，令，解得，故函数的单调递增区间为，所以④正确；故①③④正确；故选：C7．若实数，，满足，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果.【详解】因为实数，，满足，，，所以，∴；又，∴；∴．故选：A．【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型.8．的定义域为，且，，则（    ）A．3 B．2 C．0 D．1【答案】C【分析】令，则，由此可推出，则的周期为6，然后利用赋值法求出的值，可求出一个周期上的6个函数值的和，从而可求出【详解】令，则，即，所以，，所以，所以，所以的周期为6，令，则，得，因为，所以，，，，，所以，所以故选：C 二、多选题9．设函数，存在最小值时，实数的值可能是（    ）A．2 B．-1 C．0 D．1【答案】BC【分析】分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案.【详解】解：当时，，所以当时，，若，则，所以此时，即存在最小值，若，则当时，，无最小值，若，则当时，为减函数，则要使存在最小值时，则，解得，综上或.故选：BC.10．函数，（，）部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）A．函数解析式为B．函数的单调增区间为C．函数的图象关于点对称D．为了得到函数的图象，只需将函数向右平移个单位长度【答案】AB【分析】由题意求出的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC；由三角函数的平移变换可判断D.【详解】对于A，由图可知，，又因为 由，则，两式相减得：，所以①，又因为，所以，结合①，，因为，所以所以，故A正确；对于B，，解得：，故B正确；对于C，令，解得：，函数的图象关于点对称，所以C不正确；对于D，将函数向右平移个单位得到，故D不正确.故选：AB.11．已知数列满足为数列的前项和，则（    ）A．是等比数列B．是等比数列C．D．中存在不相等的三项构成等差数列【答案】BC【分析】根据给定条件，求出数列的通项表达式，再逐项分析计算、判断作答.【详解】数列中，，，则，，因此，数列是以为首项，公比为3的等比数列，，数列是以为首项，公比为3的等比数列，，B正确；因，，则数列不是等比数列，A不正确；，C正确；假定中存在不相等的三项构成等差数列，令此三项依次为，且，，则有，而，即，又，因此，不成立，所以中不存在不相等的三项构成等差数列，D不正确.故选：BC12．已知函数，的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABCD【分析】函数的图象关于直线对称，是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标，则有，．，直接变形判断AB，利用基本不等式判断C，由零点存在定理判断，构造函数，确定单调性，再计算函数值，利用单调性判断D．【详解】因为函数的图象关于直线对称，是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标，因此已知，．又，，即，因而A、B均正确．又，当且仅当即时等号成立，但，因而，上式等号不成立，所以．C正确．记，，因此而函数在区间范围内单调递增，所以，所以D正确．故选：ABCD． 三、填空题13．在正项等比数列中，已知，则________．【答案】【分析】利用等比数列中项的性质结合对数的运算性质可求得结果.【详解】由等比中项的性质可得，则，因此，.故答案为：.14．在中，，，若与线段交于点，且满足，，则的最大值为_________．【答案】2【分析】由题意设（），则，再由、、三点共线，则，而，从而可得当为中点时最小，此时最大，进而可求得答案【详解】∵线段与线段交于点，设（），则，即，又∵、、三点共线，则，即，∵，∴当为中点时最小，此时最大，又，故此时，∴，即，即的最大值为，故答案为：2．15．已知函数在内是减函数，则的取值范围是______．【答案】【分析】利用正切函数的单调性得到且，解不等式,可求得答案．【详解】函数在内是减函数，，函数， 且，，又，．故答案为：16．已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________.【答案】【分析】根据函数的解析式作出函数的大致图像，再将整理变形，然后将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题解决.【详解】由题意得，即或，的图象如图所示，关于的方程有5个不同的实数根，则或，解得，故答案为： 四、解答题17．已知平面向量，且，(1)若，且，求向量的坐标；(2)若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）设，利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解；（2）利用平面向量数量积的坐标表示求解在方向的投影向量即可.【详解】(1)解：设，，，又，，或，或.(2)解：，，设与的夹角为.故，在上的投影向量为.18．已知是等差数列前项和，.(1)求的通项公式；(2)在中，去掉以为首项，以为公比的数列的项，剩下的项按原来顺序构成的数列记为，求前100项和【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出首项与公差，即可得到通项公式；（2）设以为首项，以为公比的数列为前项和为.利用即可求解.【详解】(1)（1）设数列的公差为d.，,解得: .所以，，即.(2)设以为首项，以为公比的数列为前项和为.由（1）知，所以19．在中，内角的对边分别为.已知.(1)求；(2)若的面积为，且为的中点，求线段的长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先利用正弦定理化简求得=，设a2=12k（k>0），则b2=7k，利用余弦定理求得c2=25k，然后利用余弦定理即可求解.（2）利用三角形面积公式求得ac=10，然后利用余弦定理即可求解.【详解】(1)因为，所以==.设a2=12k（k>0），则b2=7k，由cosC=-，得==-，解得c2=25k，所以cosB===0<B<π，所以B=.(2)因为△ABC的面积S=acsinB=ac=，所以ac=10.又=，所以a=2，c=5.由（1）知=，所以b=，CD=.所以BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cosC=，故BD=.20．设函数，该函数图象上相邻两个最高点间的距离为，且为偶函数.(1)求和的值；(2)已知角，，为的三个内角，若，求的取值范围.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据题意求得，得到，再结合为偶函数，即可求得的值；（2）由题意结合三角恒等变换的公式，化简得到，求得，得到，由（1）知，化简，结合三角函数的图象与性质，即可看求解.【详解】(1)解：因为的图象上相邻两个最高点间的距离为，可得，解得，所以，又因为为偶函数，可得，，因为，所以.(2)解：因为，可得，所以，又因为，且，所以，所以，因为，所以，则，即，由（1）知，函数，所以，因为，可得，所以，则，即的取值范围为.21．设为实数，函数，.(1)若函数与轴有三个不同交点，求实数的取值范围；(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先利用导数求得函数的单调区间和极值，再利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围；（2）先求得在上的最小值，和在上的最小值，再依据题给条件列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围【详解】(1)，由，解得或；由解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，若函数与轴有三个不同交点，则，解得，所以若函数与轴有三个不同交点，实数的取值范围为；(2)对于，，都有，则，由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，故当时，因为，且，则，故函数在上单调递减，故，由题意可得，故.所以实数的取值范围为.22．设函数.(1)讨论函数的单调性；(2)证明：.【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）求导，再分，和三种情况讨论，再根据导函数的符号即可得出答案；（2）由（1）知：当时，在上单调递减，从而有，则有，再令，再利用放缩法及裂项相消法即可得证.【详解】(1)解：的定义域为，，令，当时，恒成立，即恒成立，故在上单调递增，当时，有二正根，，，当，，在和上单调递减，当，，在上单调递增，当时，恒成立，即恒成立，故在上单调递减；综上：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；(2)证明：由（1）知：当时，在上单调递减，所以，所以，当且仅当时取等号，令，则，所以，所以.【点睛】本题考查了利用导数求含参函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式问题，考查了分类讨论思想及放缩思想，有一定的难度.