2022届福建省三明市宁化滨江实验中学高三上学期期中考试数学试题含解析

2022届福建省三明市宁化滨江实验中学高三上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式求得集合A，再根据交集的运算即可得解.

【详解】解：或，

又，

所以.

故选：B.

2．复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的运算法则，化简得的，结合复数的概念，即可求解.

【详解】根据复数的运算法则，可得，可得

故复数的虚部为.

故选：B.

3．设，则“，且”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】若“，且”，由不等式的性质可知“”，则充分性成立；

若“”，可能，不满足“，且”，即必要性不成立；

综上可得：“，且”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性和函数值的符号确定正确选项.

【详解】函数的定义域为，且满足，所以是奇函数，由此排除BC选项.

当时，，由此排除A选项.

所以D选项符合.

故选：D

【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.

5．已知，， ，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果

【详解】因为，

，

所以，

故选：D

【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

6．已知函数，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】结合的解析式，先求的值，进而即可得到答案.

【详解】因为，

所以，

故.

故选：A．

7．函数的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间.

【详解】对于函数，，解得或.

所以，函数的定义域为，

内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

外层函数为增函数，

由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为.

故选：C.

【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题.

8．已知向量，，与的夹角为，且，则实数k的值为

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】由题意结合平面向量数量积的定义可得，转化条件为，代入即可得解.

【详解】向量，，与的夹角为，

，

又，，

，

由，可得解得.

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

9．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（    ）

A．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年

B．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台

C．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台

D．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%

【答案】D

【解析】根据统计图表中数据依次判断各个选项即可得到结果.

【详解】对于，年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为，高于年的增长率，错误；

对于，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是，故中位数为万台，错误；

对于，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为万台，错误；

对于，从年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为，，，均超过，正确.

故选：.

【点睛】本题考查根据统计图表解决实际问题，涉及到增长率、中位数和平均数的计算，属于基础题.

二、多选题

10．下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性.

【详解】A，因为，是偶函数，在区间上为增函数，符合题意；

B，因为，是奇函数，且在区间上为减函数，不符合题意；

C，因为，是偶函数，当时，单调递减，不符合题意；

D，因为，是偶函数，且在区间上为增函数，符合题意.

故选：AD

11．下面代数式，最小值为4的有（    ）

A．

B．，其中x，

C．，其中

D．

【答案】ABD

【解析】由基本不等式可判断A；由非负数的性质可判断B；由基本不等式等号成立的条件可判断C；由函数的单调性可判断D.

【详解】对于A，，，则，当且仅当，即时等号成立，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，当时，，则，当且仅当时等号成立，但不成立，故C错误；

对于D，可知在单调递增，，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查最值的求解，其中涉及基本不等式，函数单调性，属于基础题.

12．函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意、.当，恒有.则称函数为“理想函数”，则下列四个函数中，为“理想函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】由题意可知，若函数为“理想函数”，则该函数为奇函数且在定义域上为减函数，由此判断各选项中各函数的奇偶性与单调性，可得出合适的选项.

【详解】对于定义域上的，恒有，即，则函数为奇函数；

对于定义域上的任意、.当，恒有，

可取，则，所以，函数在定义域上为减函数.

所以，若函数为“理想函数”，则该函数为奇函数且在定义域上为减函数.

对于A选项，函数的定义域为，该函数为奇函数，但在定义域上不单调，A选项不合乎要求；

对于B选项，函数为偶函数，不合乎要求；

对于C选项，作出函数如下图所示：

由图象可知，函数为奇函数，且该函数在上为减函数，合乎要求；

对于D选项，函数的定义域为，

，该函数为奇函数，

由于函数与函数在上均为减函数，则函数在上也为减函数，合乎要求.

故选：CD.

【点睛】本题考查函数的新定义，本质上考查函数的单调性与奇偶性的判断，属于中等题.

三、填空题

13．的二项展开式中项的系数为________.（用数字作答）

【答案】-5

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中项的系数.

【详解】的二项展开式的通项为

，

，

展开式项的系数为.

故答案为：-5.

14．向量，若，则__________．

【答案】##

【分析】结合已知条件，利用共线向量的坐标公式即可求解.

【详解】因为向量，，，

所以，解得

故答案为：

15．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则＝__________．

【答案】

【解析】根据是定义在上的奇函数，可得，，只需将代入表达式，即可求出的值，进而求出的值．

【详解】因为是定义在上的奇函数，可得，，

又当时，，所以，

所以．

故答案为：

【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质转化求函数值，关键是定义的灵活运用，属于基础题．

16．现采用随机模拟的方法估计一位射箭运动员三次射箭恰有两次命中的概率：先由计算机随机产生0到9之间取整数的随机数，指定1，2，3，4，5表示命中，6，7，8，9，0表示不命中，再以三个随机数为一组，代表三次射箭的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：

807  966  191  925  271  932  812  458  569  683

489  257  394  027  552  488  730  113  537  741

根据以上数据，估计该运动员三次射箭恰好有两次命中的概率为______.

【答案】0.50

【分析】利用随机模拟试验的结果找到三次射箭恰好有两次命中的次数即可求解.

【详解】经随机模拟产生了如下20组随机数：

807  966  191  925  271  932  812  458  569  683

489  257  394  027  552  488  730  113  537  741

根据以上数据，该运动员三次射箭恰好有两次命中的有：

191  925  271  932  812  458   257  394  537  741，共次，

估计该运动员三次射箭恰好有两次命中的概率

.

故答案为：0.50

【点睛】本题考查了随机数表求概率，考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题.

四、解答题

17．已知，

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)代入的值，即可求出两集合的并集.

(2)求出，由可列出关于实数的不等式，即可求出实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，所以；

（2）因为，所以，

因为，∴，因为，所以，

∴或．∴的取值范围是.

【点睛】本题考查了集合的运算，考查了由两集合的关系求参数的取值范围，属于基础题.

18．已知向量，，，O为坐标原点.

（1）若，求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，求与所成角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）求出、的坐标，由垂直向量的坐标关系列出等式求解m；（2）直接利用公式进行求解.

【详解】（1）因为，，，

所以，，

又因为，所以，解得.    

（2）由（1）知：，，

设，所成的角为

则.

【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示、向量夹角的求解，属于基础题.

19．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)＝.

(1)求当x<0时，f(x)的解析式；

(2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调区间．

【答案】(1) 当x<0时，f(x) (2) 递减区间是(－∞，0]，递增区间是[0，＋∞)．

【详解】试题分析：利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性的应用之一，给出函数在x>0的解析式，利用当x<0时，-x>0,借助f(x)=f(-x)就可以求出x<0时的解析式；作函数图象最好先观察一下函数的解析式的形式特点，了解一下函数的简单性质，利用图象变换作图象又快又准，左移2个单位得出的图象，取的部分，y轴左边的图象与y轴右边的图象关于y轴对称.根据图象写出单调区间.

试题解析：

(1)当x<0时，－x>0，

∴f(－x)＝，

又f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(－x)＝f(x)，

∴当x<0时， .

(2)由(1)知，

作出f(x)的图象如图所示：

由图得函数f(x)的递减区间是(－∞，0]，递增区间是[0，＋∞)．

【点睛】利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性的应用之一，给出函数在x>0的解析式，利用当x<0时，-x>0,偶函数借助f(x)=f(-x)求出x<0时的解析式，奇函数借助f(x)=-f(-x)求出函数在x<0的解析式；作函数图象最好先观察一下函数的解析式的形式特点，了解一下函数的简单性质，利用图象变换作图象

20．某校为了解本校学生在课外玩电脑游戏的时长情况,随机抽取了100名学生进行调查.如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;

（2）已知样本中玩电脑游戏时长在[50,60]的学生中,男生比女生多1人,现从中选3人进行回访,记选出的男生人数为ξ,求ξ的分布列与期望E（ξ）.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.

【详解】试题分析：(Ⅰ)根据频率分布直方图计算样本的众数，就是看最高的这组数据的区间中点，中点就是众数，平均数的计算方法，每组区间中点乘以本组的频率和就是平均数，而频率是本组矩形的面积；

(Ⅱ)首先根据频数等于频率乘以100，和本组中的男生和女生人数，然后列 的可能取值，列分布列和数学期望.

试题解析：解：（Ⅰ）

（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在的学生为人，其中男生3人，女生2人，则 的可能取值为1，2，3

的分布列为

所以

【解析】1.频率分布直方图的应用；2.离散型随机变量的分布列和数学期望.

21．某地区预计从2015年初开始的第月，商品的价格（，，价格单位：元），且第月该商品的销售量（单位：万件）.

（1）商品在2015年的最低价格是多少？

（2）2015年的哪一个月的销售收入最少，最少是多少？

【答案】（1）最低价格为16.5元；（2）第5月的销售收入最低.最低销售收入为289万元.

【详解】试题分析：

(1)对二次函数的解析式进行配方，结合二次函数的性质可知第6月的价格最低，最低价格为16.5元；

(2)写出销售收入的函数解析式，对函数求导， 利用导函数与原函数的关系可得第5月的销售收入最低.最低销售收入为289万元.

试题解析：（1），当时，取得最小值，

即第6月的价格最低，最低价格为16.5元；

（2）设第月的销售收入为（万元），依题意有

，

，

所以当时，递减；

当时，递增，

所以当时，最小，即第5个月销售收入最少.最低销售收入为289万元.

答：2013年再第5月的销售收入最低.最低销售收入为289万元.

22．已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）．

【分析】（1）求导，，转化为分析，结合定义域即得解；

（2）令，转化为，求导分析单调性，分类讨论，即得解

【详解】（1）因为，所以．

当时，；当时，．

故的单调递增区间为和，单调递减区间为．

（2）令，

则等价于．

．

若，则在区间上恒成立，在区间上单调递增，故，符合条件．

若，则当时，；当时，．故在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，不符合条件．

若，则在区间上恒成立，在区间上单调递减，故，不符合条件．

综上所述，a的取值范围为．