2023届北京市通州区高三上学期期中质量检测数学试题含解析

2023届北京市通州区高三上学期期中质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接根据交集的概念可得答案.

【详解】因为集合，，

则

故选：C.

2．在复平面内，复数，其中是虚数单位，则复数对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】由复数代数形式的四则运算求出，得出复数对应的点的坐标，即可得到答案．

【详解】∵，

∴复数对应的点的坐标为：(－1，2)，位于第二象限．

故选：B．

3．已知， ，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由平面向量平行的坐标表示求解，

【详解】由题意得.

故选：B

4．已知函数，则对任意实数x，有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数解析式，确定定义域为，则可得，利用指数与分式运算法则对变形即可确定与的关系.

【详解】解：已知函数，其中

所以则有.

故选：A.

5．已知函数在区间上恒有,对于,则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据判断单调性,根据单调性的概念选出结果即可.

【详解】解:由题知,所以在区间上单调递增,

所以当时,成立,

当时,成立,

故“”是“”的充分必要条件.

故选:C

6．已知数列满足,,记,则数列的前n项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意求出的通项公式进而求出的通项公式,判断数列的类型，求出前n项和.

【详解】解:由题知,

是以1为首项,1为公差的等差数列,

,故,

,

所以是以1为首项,2为公差的等差数列,

记的前n项和为,

.

故选:A

7．设函数，若对任意的实数x都成立，则ω的一个可取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由对任意的实数x都成立得，即有，求解即可

【详解】∵对任意的实数x都成立，故，则，故，故当时，一个可能取值为8.

故选：D

8．是无理数的近似值,被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，是顶角为，底的第一个黄金三角形，是顶角为的第二个黄金三角形，是顶角为的第三个黄金三角形，是顶角为的第四个黄金三角形…,那么依次类推，第个黄金三角形的周长大约为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】算出前面三个黄金三角形的底和腰长，根据规律推断出第个黄金三角形的底和腰长，化简并结合即可得到答案

【详解】第一个黄金三角形：的底为，由可得腰长；

第二个黄金三角形：的底为，由可得腰长；

第三个黄金三角形：的底为，由可得腰长；

以此类推，第个黄金三角形的底为，腰长为，

所以周长为

因为，所以，

所以原式

故选：C

9．在中，，边的中点为D，且，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知可求，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可求的最大值．

【详解】解：如图，在中，边的中点为D

由，可得：

，

，可得：，

，

，可得：，（当且仅当时等号成立）

则的最大值为4.

故选：D.

10．已知函数设，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先把函数零点问题转化成两个函数图象有交点问题，再画出图象，结合导函数求出两个函数有一个交点时实数的值，再结合图象分析有两个交点时实数的取值范围.

【详解】因为函数有两个零点，所以函数的图象与函数的图象有两个不同的交点.

函数恒过定点,，如图所示，两个函数图象已经有一个交点.

时，，其导函数，当直线与函数相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.

 时，，其导函数，当直线与函数相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.

综上，要使函数有两个零点，则实数的取值范围是.

故选：D.

二、填空题

11．函数的定义域是______.

【答案】

【分析】根据具体函数求解定义域的方法直接列不等式求解即可.

【详解】解：函数，定义域满足，解得：且

所以函数的定义域为：.

故答案为：.

12．已知命题：“”，则的否定是______.

【答案】

【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得出答案．

【详解】∵全称命题的否定是特称命题，

∴命题：“”的否定是：．

故答案为：．

13．已知复数,,如果为纯虚数,那么_____.

【答案】

【分析】根据为纯虚数,进行化简,使实部为0,求出a即可.

【详解】解:由题知,,

,

为纯虚数,

,

.

故答案为:

14．已知矩形，，．为矩形所在平面内一点，， ．则______．

【答案】0

【分析】建立平面直角坐标系，求得点坐标满足的关系，结合平面向量数量积的坐标运算，即可求得结果.

【详解】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：

则，设点的坐标为，

则，

因为 ，，故可得，

上述两式相减可得：；

则.

故答案为：.

15．已知满足.给出下列四个结论：

①为锐角三角形；

②；

③；

④.

其中所有正确结论的序号是__________.

【答案】②③④

【分析】根据平面向量数量积的定义，结合余弦定理、两角和的余弦公式、正弦型函数的单调性逐一判断即可.

【详解】由，

所以是钝角三角形，因此①不正确；

因为，所以，

因为都是锐角，所以可得，因此②正确；

由，

因此③正确；

由

，因此④正确，

故答案为：②③④

【点睛】关键点睛：根据平面向量数量积的定义判断角是钝角是解题的关键.

三、双空题

16．过原点作曲线的切线，则切点的坐标为______，切线的斜率为______．

【答案】（1,） e

【详解】试题分析：设切点为，因为y=ex，所以，所以切线方程为：，因为切线方程过原点，把原点坐标代入，得，所以切点坐标为，切线的斜率为．

【解析】导数的几何意义；曲线切线方程的求法．

点评：我们要注意“在某点处的切线方程”和“过某点的切线方程”的区别．属于基础题型．

四、解答题

17．已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)求在上的最大值和最小值.

【答案】(1)最小正周期为

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）根据辅助角公式可得，结合公式计算即可求解；

（2）根据题意可得，结合正弦函数的单调性，进而得出函数的最值.

【详解】（1）由题意知，

，

则，

所以函数的最小正周期为；

（2）因为，所以，

而函数在上单调递增，在上单调递减，

当，即时，函数取得最大值为；

当，即时，，

当，即时，，

所以当时函数取得最小值为.

18．在中，三个内角，，的对边分别为，，（），且，，.

(1)求的值；

(2)设的面积为，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件直接利用正弦定理可求得结果；

（2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式可求出.

【详解】（1）由正弦定理得，

，

所以.

（2）由余弦定理得

解得，或.

因为与已知矛盾，

所以.

所以.

19．已知数列为公比不为的等比数列，数列为等差数列，且，，再从条件①，条件②，条件③中任选两个作为已知，求：

(1)求、的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

条件①：；

条件②：；

条件③：.

注：如果选择多种符合要求的条件分别解答，按第一种解答计分．

【答案】(1)条件选择见解析，，

(2)

【分析】（1）选①②或选①③或选②③：设的公比为，的公差为，根据所选条件可得出关于、的值，即可求得数列、的通项公式；

（2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得.

【详解】（1）解：设的公比为，的公差为，

选择条件①，条件②：

因为，，所以，，所以.         

因为，所以有，解得，所以；               

选择条件①，条件③：

因为，，所以，，所以.          

因为，所以有，解得，所以；

选择条件②，条件③

因为可得，解得，

所以，，.

（2）解：由（1）知，，则.        

所以，

.

20．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间；

(3)当时，，且，请判断与的大小.（只要求写出结论）

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率再用点斜式求解即可；

（2）先求定义域和导函数，再分与讨论即可求解；

（3）取特殊值即可判断

【详解】（1）当时，，.

，.

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）函数的定义域为.          

.                      

令，解得

当时，有，所以函数在上单调递增.

当时，由解得，由解得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

综上可知：时，函数的单调递增区间为；

时函数单调递增区间为，单调递减区间为.

（3）要证，

只要证，即，

令，因为，所以，

则只要证，

由（2）知：当a=1时令，

所以在单调递增，

所以，

即

21．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)设，试判断曲线与直线在区间上交点的个数，并说明理由.

【答案】(1)

(2)交点的个数为1，理由见解析

【分析】（1）由导数法求单调递增区间；

（2）将两线交点转化成零点个数问题，由导数法讨论零点个数即可

【详解】（1）函数的定义域为.

.           

令，解得.

所以函数的单调递增区间为.

（2）由（1）得，

曲线与直线在区间上交点的个数等价于的根个数.

于是有，即，

设，.

设，.

此时，，，变化情况如下：

于是有，，.

由零点存在定理可知在存在唯一零点.

设零点为，则在，，单调递增；在，，单调递减.

因为，，，所以在上存在唯一零点，

即曲线与直线在区间上交点的个数为1.

【点睛】不含参函数零点个数问题，

（1）利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理判断；

（2）当导数的符号不易判断时，可将导数作为新的函数，再做一次（1）的过程来判断符号

22．已知无穷数列，若无穷数列满足：，都有，则称与“接近”.

(1)设，，试判断与是否“接近”，并说明理由；

(2)若数列，均为等差数列，他们的公差分别为，.求证：与“接近”的必要条件是“”；

(3)已知数列是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且，，，，中至少有100个正数，求的取值范围.

【答案】(1)与“接近”，理由见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）直接利用定义判断即可；（2）先说明时，不满足，显然时满足，即可；（3）先利用定义确定，然后根据题意，找到符合题意的数列即可.

【详解】（1）与“接近”，理由如下：

因为，，

又因为

所以有

所以

所以与“接近”.

（2）假设,不妨设，

则

令，

则.

当时，令，当时有.

此时与不“接近”.

当时，令，当时，有

此时与不“接近”.

同理得时，与不“接近”.

综上，与不“接近”

与与“接近”矛盾，

所以有

所以“=”是“与“接近””的必要条件.

（3）因为是公差为的等差数列，

所以.

若存在数列满足：与“接近”，

则，都有.

即.

即.

则

即

当时，，都有

与，，，，中至少有100个正数矛盾.

当时，可取

则，且，，，，均为正数,符合题意.

当时，可取

则，且，，，，均为正数,符合题意.

当时，可取

则，

即，，，，中有100个正数.

综上所述的取值范围是.