2023届北京市西城区重点中学高三上学期期中考试数学试题含解析

这是一份2023届北京市西城区重点中学高三上学期期中考试数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市西城区重点中学2023届高三上学期期中考试
数学测试
一、选择题（共10小题：共40分）
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知角的终边经过点，将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则等于（ ）
A. B. C. D.
5. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 为等比数列，若，，成等差数列，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
7. 若，则一定有（ ）
A. B. C. D.
8. 已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
9. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ）
A. 32 B. 33 C. 34 D. 35
10. 设A，B是有限集，定义：，其中表示有限集A中元素的个数．命题①：对任意有限集A，B，“”是“”的充分必要条件；命题②：对任意有限集．则下列选项正确的是（ ）
A 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立
C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 函数的定义域是_________．
12. 已知向量，向量，若与垂直，则实数m的值为__________．
13. 已知，集合中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是____________．
14. 已知函数，若有且仅有两个不同的整数解，则函数的最小值为___________；实数的取值范围是___________.
15. 记为不超过实数的最大整数，例如，，，．设为正整数，数列满足，，现有下列命题：
①当时，数列的前3项依次为5,3,2；
②对数列都存在正整数，当时总有；
③当时，；
④对某个正整数，若，则．
其中的真命题有____________．（写出所有真命题的编号）
三、解答题（共6小题；共85分）
16. 设函数．
（1）求函数的周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数最大值及对应的自变量取值．
17. 已知函数图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．
18. 已知①，②，③，在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题，
在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足：
（1）求角A的大小；
（2）已知_________，_________，且存在，求的面积．
19. 某辆汽车以公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为升.
(1)欲使每小时油耗不超过升,求的取值范围;
(2)求该汽车行驶公里的油耗关于汽车行驶速度的函数,并求的最小值.
20. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的零点和极值；
（3）若对任意，都有成立，求实数的最小值.
21. 设集合中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意，若，都有；
②对于任意，若，则．
（1）分别对和，求出对应的；
（2）如果当S中恰有三个元素时，中恰有4个元素，证明：S中最小的元素是1；
（3）如果S恰有4个元素，求的元素个数．




北京市西城区重点中学2023届高三上学期期中考试
数学测试
一、选择题（共10小题：共40分）
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将集合化简，然后根据交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为，解得
即，且，
所以
故选:C.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘除运算将复数化为代数形式，然后求出对应点的坐标，再判断对应点的象限即可.
【详解】，其对应点的坐标为位于第一象限.
故选：A
3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据解析式可直接判定奇偶性和单调性，得出答案.
【详解】对A，根据正弦函数的性质可得是奇函数，在单调递增，故A正确；
对B，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故B错误；
对C，在单调递递减，故C错误；
对D，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故D错误.
故选：A.
4. 已知角终边经过点，将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由条件求出，再根据角的旋转及诱导公式即可求解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
所以
故选：B
5. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用中间数和对数函数的单调性可判断三者之间的大小，从而可得正确的选项.
【详解】因为，，故.
因为，故，
故选：C.
6. 为等比数列，若，，成等差数列，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】设公比为，即得，根据等差中项的性质有，即可求值.
【详解】设的公比为，则，而，，成等差数列，
∴，即，解得.
∴.
故选：A.
7. 若，则一定有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用不等式的性质或反例逐项检验后可得正确的选项.
【详解】取，则，，，故A、B、C均错误，
由不等式的性质可得，故D正确.
故选：D.
8. 已知非零向量，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.
9. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ）
A. 32 B. 33 C. 34 D. 35
【答案】D
【解析】
【分析】
设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m,由他们年龄依次相差一岁得出，结合等差数列的求和公式得出，再由求出的值.
【详解】根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，，则有
则有，则，所以
解得，因为年龄为整数，所以.
故选：D
10. 设A，B是有限集，定义：，其中表示有限集A中元素的个数．命题①：对任意有限集A，B，“”是“”的充分必要条件；命题②：对任意有限集．则下列选项正确的是（ ）
A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立
C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，结合集合的相关性质，结合充分必要条件的定义，以及图，结合作差法，可得答案.
【详解】对于命题①，若，则，所以，反之可以把上述过程逆推，
故“”是“”的充分必要条件，则命题①成立；
对于命题②，
，所以，
同理可得，，
所以，
命题②成立.
故选：A.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零，和对数的真数大于零即可求出答案．
【详解】解：由题意得，解得，
∴函数的定义域为，
故答案为：．
12. 已知向量，向量，若与垂直，则实数m的值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据向量垂直，利用向量数量积的坐标表示列方程求参数m.
【详解】由题设，又与垂直，
所以，可得.
故答案为：
13. 已知，集合中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是____________．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】由题设得求参数范围，即可得结果.
【详解】由题设且，可得，
所以，符号条件的一个a值为2.
故答案为：2（答案不唯一）
14. 已知函数，若有且仅有两个不同整数解，则函数的最小值为___________；实数的取值范围是___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】求出导函数，确定的单调性，得最小值，然后比较，，的大小结合单调性可得结论．
【详解】函数，∴，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.
∴当时，取得最小值，且.显然，.
当时，恒成立，
因为有且仅有两个不同的整数解，
则，即，.
故答案为；.
15. 记为不超过实数的最大整数，例如，，，．设为正整数，数列满足，，现有下列命题：
①当时，数列的前3项依次为5,3,2；
②对数列都存在正整数，当时总有；
③当时，；
④对某个正整数，若，则．
其中的真命题有____________．（写出所有真命题的编号）
【答案】①③④
【解析】
【详解】若，根据
当n=1时，x2=[]=3, 同理x3=, 故①对.
对于②③④可以采用特殊值列举法：
当a=1时，x1="1," x2="1," x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对.
当a=2时，x1="2," x2="1," x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对
当a=3时，x1="3," x2="2," x3=1, x4=2……xn=1, ……此时③④均对
综上，真命题有 ①③④
[点评]此题难度较大，不容易寻找其解题的切入点，特殊值列举是很有效的解决办法.
三、解答题（共6小题；共85分）
16. 设函数．
（1）求函数的周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数的最大值及对应的自变量取值．
【答案】（1），单调增区间为，；（2）时，函数有最大值为
【解析】
【分析】（1）化简得到，再计算周期和单调增区间得到答案.
（2），则，得到最值.
【详解】（1）
，故.
取，，解得,,
即单调增区间为，.
（2），，
故当，即时，函数有最大值为.
【点睛】本题考查了三角函数的周期，单调区间，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
17. 已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】(1)将点坐标代入函数解析式得到关于的方程，再根据函数在切点处的导数等于切线的斜率再建立关于的另一个方程，即可求出，即可确定函数的解析式; (2)求出函数的单调区间，利用可求解.
【小问1详解】
因为函数的图象过点,所以,
又因为,且点P处的切线恰好与直线垂直,
所以,
由解得,所以.
【小问2详解】
由(1)知，
令，即，解得或，
令，即，解得，
所以在单调递增，单调递减，
单调递增，
根据函数在区间上单调递增，
则有或，解得或.
18. 已知①，②，③，在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题，
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：
（1）求角A的大小；
（2）已知_________，_________，且存在，求的面积．
【答案】（1）A=
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由正弦定理将已知式子中的正弦转化为相应的边，后利用余弦定理可得答案.
（2）若选择①②，可求出C，后可发现，则相应三角形不存在.
若选择①③，利用余弦定理结合，可得到b和c.后利用可得答案.
若选择②③，利用正弦定理结合，可得到b.后利用余弦定理得到c，最后利用得到答案.
【小问1详解】
由正弦定理，，
即，得，又A在三角形中，
则A=
【小问2详解】
若选择①②，因，A=，则
.
由正弦定理，则，故符合条件的三角形不存在.
若选择①③，由余弦定理有，又，A=，
则，解得，则.
则，即面积为.
若选择②③，由正弦定理有，则，
又，，A=.则，得.
又，A=，则.
则，即面积为.
19. 某辆汽车以公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为升.
(1)欲使每小时的油耗不超过升,求的取值范围;
(2)求该汽车行驶公里的油耗关于汽车行驶速度的函数,并求的最小值.
【答案】（1）;（2）=,(其中); 最小值为升.
【解析】
【分析】
(1)令,求出解集,结合题意得出的取值范围;
(2)写出关于的函数,求出函数的最小值即可.
【详解】（1）由题意,令,
化简得,解得;
又因为,
所以欲使每小时的油耗不超过升,的取值范围是;
（2）设该汽车行驶公里的油耗为;
则=,(其中);
由,知,
所以=时,汽车行驶公里的油耗取得最小值为升.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法以及二次函数的最值，属于基础题.
20. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的零点和极值；
（3）若对任意，都有成立，求实数的最小值.
【答案】（1）；（2）零点，极小值；（3）1.
【解析】
【详解】（1）因为， 所以．
因为，所以曲线在处的切线方程为.
（2）令，解得， 
所以的零点为. 
由解得，
则及的情况如下：


2


－
0
+

所以函数在 时,取得极小值.  
（3）法一：
当时，.
当时，.   
若，由（2）可知的最小值为，的最大值为，
所以“对任意，有恒成立”等价于
即，   解得.      所以的最小值为1.
法二：当时，. 当时，.
且由（2）可知，的最小值为，                  
若，令，则
而，不符合要求，
所以.     当时，,,
所以，即满足要求，
综上，的最小值为1.
21 设集合中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意，若，都有；
②对于任意，若，则．
（1）分别对和，求出对应的；
（2）如果当S中恰有三个元素时，中恰有4个元素，证明：S中最小的元素是1；
（3）如果S恰有4个元素，求的元素个数．
【答案】（1）时，时；
（2）证明见解析； （3）7个元素.
【解析】
【分析】（1）根据定义，应用列表法分别列举得出、，再应用集合并运算求结果；
（2）对于且，，列举出满足①时且，再结合②及元素个数，讨论、求对应的元素个数，即可证结论；
（3）对于且，，列举出满足①时且，结合②及元素个数，讨论、、，进而确定中的元素即可.
【小问1详解】
对于，集合的元素如下：
且





2
4

2

8

4
8

由表得：，此时要满足有，如下表：
且








2



4
2

显然满足要求，所以，则；
对于，集合的元素如下：
且





8
16

8

32

16
32

由表得：，此时要满足有，如下表：
且








2



4
2

显然满足要求，所以，则.
【小问2详解】
对于且，，集合的元素如下：
且















由表得：且，此时要满足有，如下表：
且















其中、且 、、，
当时，此时必有，即，
故，，则，满足要求；
当时，必有，即，，
故，，则，不满足要求；
综上，当S中恰有三个元素时，中恰有4个元素，S中最小的元素是1，得证.
【小问3详解】
对于且，，集合的元素如下：
且
























由表得：且，此时要满足有，如下表：
且
























*





*

















当时，上表第一列有且均属于集合，而，矛盾；
当时，上表第一列有且均属于集合，而，矛盾
当时，则且均属于集合，而，
此时只需满足，则，可得，且，注意a不等于1，
所以，故共有7个元素.
【点睛】关键点点睛：后两问，首先设出集合，根据题设集合的性质①列举出集合中可能元素，再结合集合的性质②，由中元素个数分类讨论确定所设元素的数量关系，即可得结果.