2023届福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高三上学期期中联考数学试题含解析

这是一份2023届福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高三上学期期中联考数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高三上学期期中联考数学试题 一、单选题1．若复数，则其共轭复数所在象限为（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据复数的除法运算求得，即可得其共轭复数所在象限.【详解】解：，则，所以共轭复数所在象限为第三象限.故选：C.2．若，，则=（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合、，再根据集合的交集运算可得答案.【详解】若，，则.故选：B.3．已知函数在处的切线与直线平行，则二项式展开式中的系数为（    ）A．70 B．－70 C．56 D．－56【答案】A【分析】求出导函数，根据导数的几何意义，求出n的值.然后根据二项式定理展开式解题.【详解】，由已知可得，，即，所以.设展开式中的第k+1项含有，，则可知，，所以二项式展开式中的系数为.故选：A.4．“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件求得之间的关系和范围，再根据充分不必要条件的判定，可得选项.【详解】若表示焦点在轴上的椭圆，则需，即，所以，所以“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是，故选：C.【点睛】本题考查方程表示椭圆的条件，以及命题的充分不必要条件的判定，属于中档题.5．已知a、b、c分别是内角A、B、C的对边，，，则面积的最大值是（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】由，利用余弦定理代入化简解得，再根据，利用正弦定理得到，即，得到点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，再利用椭圆的焦点三角形求解.【详解】∵，∴，∴，∵∴，即，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其中长半轴长3，短半轴长，以AB为x轴，以线段AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，其方程为，如图所示：则问题转化为点C在椭圆上运动求焦点三角形的面积问题．当点C在短轴端点时，的面积取得最大值，最大值为．故选：B．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及椭圆焦点三角形的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.6．将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为A． B． C． D．【答案】C【分析】先分组，平均分为两组，共有20个基本事件，分情况讨论，满足题意的有9种，故概率为.【详解】6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件共有个，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件有：甲指挥交通，乙和丙在另一组；或者丙乙指挥交通，甲在另一组；或者甲乙指挥交通，丙在另一组，共有个，所以所求概率为．故选C【点睛】这个题目考查了古典概型的概率公式的应用，考查了基本事件个数的计算，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.7．已知F是双曲线的右焦点，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B，且满足，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用方程联立分别求点的坐标，利用向量关系，转化为坐标运算，转化为关于的齐次等式，再求离心率.【详解】设过右焦点的直线与垂直，则直线为，联立，得，即，联立，得，即，因为，则，，整理为，两边同时除以，得，（舍）或，所以双曲线的离心率.故选：A8．已知函数，若且，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数和绝对值的性质，结合一次函数的单调性画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】当时，单调递减，当时，单调递增，且，当时，函数单调递减，所以函数的图象如下图所示：因为设，所以方程有三个互不相等的实数根，由图象可知：，因此有，即，因此，因为，所以，满足，即，因此故选：B【点睛】关键点睛：利用导数判断函数的单调性，运用数形结合思想进行求解是解题的关键. 二、多选题9．在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和上一时期相比较的增长率.根据下图，2022年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图（图中上面的那条折线为同比），下列说法正确的是（    ）A．2022年全国居民每月消费价格与2021年同期相比有涨有跌B．2022年1月至2022年12月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2022年我国居民消费价格中3月消费价格最低D．2022年1月全国居民消费价格同比涨幅最大【答案】ABD【分析】逐项参照折线图分析即可.【详解】由图知，11月份同比下跌，其他月份同比上涨，A正确；由图知，3、4、5、6、10、11月份环比下跌，其他月份环比上涨，B正确；由图可知，4月份较3月份环比下跌，C错误；由图知，2022年1月全国居民消费价格同比涨幅，高于其他月份.故选：ABD.10．已知函数的图象的一条对称轴为，其中为常数，且，则以下结论正确的是（    ）A．函数的最小正周期为B．将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上有67个零点【答案】ACD【分析】由对称轴为，且求出函数解析式，再用三角函数图象与性质分别求解即可得答案.【详解】由函数的图象的一条对称轴为，得，因为，所以，则，所以周期，A项正确；将函数的图象向左平移，得，显然的图象不关于原点对称，B项错误；由，取，得，即，是函数的一个单调递增区间，又，所以函数在区间上单调递增，C项正确；由，得，解得，由，得，因为，所以，所以函数在区间上有67个零点，D项正确.故选：ACD.11．如图，在直三棱柱中，，，､分别为，的中点，过点、、作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（    ）A．三棱柱外接球的表面积为B．C．若交于，则D．将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为【答案】AD【分析】将该三棱柱视为正方体的一部分，求出三棱柱外接球的半径，由此能求出其表积，判断A；延长与交于点，连接，交于，连接，则平面即为截面，判断B；由，，在△中，求出，判断C；延长，交于，则将三棱柱分成体积较大部分的体积为，判断D．【详解】解：如图所示，将该三棱柱视为正方体的一部分，则三棱柱外接球的半径，，三棱柱外接球的表面积为，故A正确；延长与交于点，连接，交于，连接，则平面即为截面，，是的中点，是的中点，，，，是的中点，与相交，故B错误；，，在△中，，故C错误；延长，交于，则将三棱柱分成体积较大部分的体积为：，剩余部分的体积为，将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为，故D正确．故选：AD．12．数列满足，数列的前n项和记为，则下列说法正确的是（    ）A．任意 B．任意C．任意 D．任意【答案】BCD【分析】B：由题设得且，，讨论大小关系，结合给定条件即可判断；A：根据B的结论及，易知随n变化的趋势，并构造求得，即可判断；C：由A分析结果及即可判断；结合C可判断D.【详解】由，且，又，故，，则，当时，则，即，显然与矛盾；当时，则，即，显然与矛盾；所以且，即递增，B正确；由，根据B结论知：随n的增大，无限趋近于0，则无限接近于1，又，令且递增，则 ，即，综上，，A错误；由，根据A的结论有，又，可得，所以，即，综上，，C正确；由C结论知：所以成立，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：利用已知条件，将各项结论作转化，并应用分类讨论、极限、函数思想判断数列不等式是否恒成立. 三、填空题13．抛物线的焦点，点，以点，为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______.【答案】【分析】焦点，根据椭圆定义得到，设椭圆和抛物线的交点为，根据抛物线性质得到，得到离心率的最大值.【详解】抛物线的焦点，根据题意，.设椭圆和抛物线的交点为，到抛物线准线的距离为，离心率最大，即最小，，当与准线垂直时等号成立，此时.故答案为：14．已知，则______.【答案】4042【分析】先判断函数的对称性，然后用倒序相加法求和..【详解】由，令可得，，且，则，所以，函数关于点对称，即由已知，，又两式相加可得，所以，.故答案为：4042.15．若，则的取值范围是______.【答案】【分析】设出，，得到，平方后得到的最大值和最小值，从而求出答案.【详解】不妨设，，则，，故，则，因为，当时，取得最大值，，故的最大值为，当时，取得最小值，，故的最小值为，故的取值范围为.故答案为：.16．已知函数与函数有公共点，则的最小值为______.【答案】## 【分析】将问题转化为方程有解，即有解，设，则，将关于的方程看成关于的直线方程，则可视为直线上的点到原点的距离的平方的最小值，即为原点到直线的距离的平方，进而求解即可.【详解】令，故，即故方程有解设，则将关于的方程看成关于的直线方程，则可视为直线上的点到原点的距离的平方的最小值，即为原点到直线的距离的平方故当且仅当时等号成立时能取得最小值，此时故的最小值为故答案为：. 四、解答题17．已知数列为正项等比数列，；数列满足.(1)求；(2)设的前项和，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）首先令和求出，从而得到公比，再求通项公式即可.（2）首先根据已知求出，再利用裂项求和即可得到，根据数列的函数性质证明.【详解】（1）令，得，所以，令，得，所以，又，所以，设数列的公比为，则，所以；（2）当时，①又，②②–①，因为，所以，时也成立，所以.，所以.易知单调递增，且，.18．如图，三棱维中，平面平面，，，是棱的中点，点在棱上点是的重心．（1）若是的中点，证明面；（2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）存在点，使二面角的大小为，此时.【解析】（1）延长交于点，连接，证明平面平面，得到证明.（2）证明平面，以为原点建立空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量，计算夹角得到答案.【详解】（1）延长交于点，连接，因为点是的重心，故为的中点，因为，分别是棱，的中点，所以，，          又因为，所以平面平面，又平面，所以平面．          （2）连接，因为，所以，又是的中点，所以，因为平面平面，而平面平面，平面，所以平面，如图，以为原点，垂直于的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴建空间直角坐标系，          设，则，，所以，，，，，假设存在点，设，，则，所以，又，设平面的法向量为，则，令，解得， 又平面，平面的法向量，          而二面角的大小为，所以，即，解得，所以存在点，使二面角的大小为，此时．    【点睛】本题考查了线面平行，根据二面角角求线段长度关系，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19．中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.小明是一名乒乓球运动爱好者，为提高乒乓球水平，决定在假期针对乒乓球技术的五个基本因素：弧线、力量、速度、旋转和落点进行训练.假设小明每天进行多次分项（将五个因素分别对应五项，一次练一项）训练，为增加趣味性，计划每次（从第二次起）都是从上次未训练的四个项目中等可能地随机选一项训练.(1)若某天在五个项目中等可能地随机选一项开始训练，求第三次训练的是“弧线”的概率；(2)若某天仅进行了6次训练，五个项目均有训练，且第1次训练的是“旋转”，前后训练项不同视为不同的训练顺序，设变量为6次训练中“旋转”项训练的次数，求的分布列及期望.【答案】(1)；(2)分布列见解析，. 【分析】（1）分两种情况第一次训练选择“弧线”，且第三次训练的是“弧线”和第一次训练未选择“弧线”，且第三次训练的是“弧线”，分别求概率即可.（2）的不同取值为1、2，写出分布列，即可求出答案.【详解】（1）第一次训练选择“弧线”，且第三次训练的是“弧线”的概率为，第一次训练未选择“弧线”，且第三次训练的是“弧线”的概率为，所以第三次训练的是“弧线”的概率为；（2）由题意知“旋转”项最多训练2次，所以的不同取值为1、2，2345 （后五次训练次序列表）①后五次训练中未练“旋转”：另四项中有一项训练了2次，四项中选一项练2次，可放，共有种；②“旋转”项练了2次：“旋转项”可在3，4，5，6位置，故有种.所以，. 所以分布列如下表所示：12 所以，；20．在中，.(1)求A；(2)若的内切圆半径，求的最小值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据已知条件、三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，再结合解三角方程即可求解.（2）由题意可知，利用三角形的等面积法及余弦定理得出含有和的关系式，再利用基本不等式的变形即可求得的最小值.【详解】（1）在中,，整理得，即，于是所以，因为，所以，即，所以，又因为，所以，所以，解得.所以.（2）令，（1）知.由，得，即，由余弦定理及（1）知，得，所以，即，于是当且仅当时取等号所以，或又的内切圆半径，， ，，的最小值为.21．已知椭圆：（）的右顶点与抛物线：（）的焦点重合.的离心率为，过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为.（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）过点的直线l与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线过定点.【答案】（1），；（2）见解析【解析】（1）由题意可得，由于椭圆的离心率可得a，c的关系，进而可得p，c的关系，再由过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为可得c的值，再由a，b，c的关系求出椭圆的方程及抛物线的方程；（2）设直线的方程，及A，B的坐标由题意可得E的坐标，将直线与椭圆联立可得两根之和及两根之积，求出直线的直线方程，将两根之和及之积代入可得恒过定点.【详解】（1）由的离心率为，可得，所以，因为椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，所以，，所以可得，过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为，k令代入抛物线的方程：可得，所以，即，解得，所以，由可得，所以椭圆和抛物线的方程分别为：，；（2）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：，设，，由题意可得，直线与椭圆联立：，整理可得：，，可得，，，直线的方程为：，整理可得：所以当时，，即过定点，所以可证直线过定点.【点睛】本小题主要考查椭圆和抛物线方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线过定点问题，考查运算求解能力，属于难题.22．已知函数存在唯一的极值点.(1)求实数的取值范围；(2)若，证明：（提示：若则.）【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）求导后，分，及讨论即可求得实数的取值范围；（2）由（1）可知，，，即，两式相加化简变形即可得证．【详解】（1）解：函数的定义域为，，令，①若，则，在上递增，不合题意；②若，，令，得，在上递减，在上递增，，∵时，；时，故时，无变号零点；时，有两个变号零点，故时不符合题意；③当时，，则在上递减，且，存在唯一的，使得，当时，，，当，时，，，是唯一极值点，符合题意．综上，实数的取值范围为；（2）证明：由（1）可知，，，，，，，由（1）可知，函数在，上递减，，，即，，即，．