2023届江西省临川第一中学高三上学期期中考试数学（文）试题含解析

这是一份2023届江西省临川第一中学高三上学期期中考试数学（文）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江西省临川第一中学高三上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题1．若集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由偶次根式有意义的要求可解不等式求得集合，根据交集定义可得结果.【详解】由得：，即，又，.故选：B.2．已知复数（i是虚数单位），则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的乘、除法运算求出z，进而求出，结合复数的几何意义即可求解.【详解】，得，则．故选:A3．已知函数的图象经过点，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】A【分析】将点代入函数解析式中求出的值，从而可求出函数解析式，进而可求出的值.【详解】因为函数的图象经过点，所以，，得，所以，所以，故选：A4．（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式求解.【详解】，故选：C5．在长方体中，与所成的角为30°，则 A． B．3 C． D．【答案】D【详解】分析：连接，由可得是异面直线与所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出.详解：如图所示，连接，，是异面直线与所成的角，即，在中，，在中，有，即.故选D.点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．6．设命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解对数不等式和一元二次不等式可确定命题对应的区间，根据必要不充分条件的定义可得包含关系，由此可构造不等式组求得结果.【详解】由得：，解得：，即；由得：，即；是的必要不充分条件，，，解得：，即实数的取值范围为.故选：C.7．在等差数列中，，其前n项和为，若，则（    ）A．2021 B．-2021 C．-2022 D．2022【答案】C【分析】由等差数列前n项和公式可得数列为等差数列，根据可得公差为1，即可求解的值，即可得出结论.【详解】解：因为数列为等差数列，故，则，当时，，则，所以数列为等差数列，设其公差为d．又，即，又，所以，所以，即．故选：C.8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.【详解】..故选：A9．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知得出函数的图象关于直线对称，这样得出函数在上是减函数，再由奇函数得出在上是增函数，利用奇函数得，从而得出，确定的值或范围后利用单调性可比较大小．【详解】因为是定义在R上的奇函数且满足，，所以的图象关于直线对称，在上是减函数，则在上是增函数，又是奇函数，所以在上是增函数，所以在上是增函数，在上是减函数，结合奇函数得，所以， ，，，所以，即，故选：C．10．已知函数部分图象如图所示，且的面积是面积的2倍，则函数的单调递减区间为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据题意和图象求得函数的解析式为，利用整体代换法即可求出函数的单调递减区间.【详解】由图象可知，，令，则，即，因为，由，得，所以，由，得；又函数图象过点，则，得，解得，又函数的最小正周期满足，即，所以，当时，满足题意，所以，由，，得，，故函数的单调递减区间为，，故选：B.11．已知，则方程的解的个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】依题意可得，即或，再分类讨论，分别计算可得.【详解】解：方程，即，即或，当时或等价于或，令，则，当时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以方程只有唯一解，又的解也为，从而时方程只有一个解，当时或等价于或，易知方程有两个解、，又方程解得，故当时方程有个解，综上可得方程的解得个数为个；故选：C12．已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围.【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为点在双曲线右支上，所以，所以，得，由双曲线的性质可得，所以，化简得，所以，解得，因为，所以，即双曲线离心率的取值范围为，故选：C 二、填空题13．已知，，且，则向量与的夹角等于___________.【答案】【分析】由向量数量积运算律和定义可求得，由此可得夹角.【详解】，，解得：，又，.故答案为：.14．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为___________.【答案】【分析】根据拉格朗日中值定理的定义可构造方程，解方程即可求得“拉格朗日中值点”的个数.【详解】，，令，解得：或，在上的“拉格朗日中值点”的个数为.故答案为：.15．设为坐标原点，直线与拋物线交于两点，若，则的焦点坐标为___________.【答案】【分析】由可求得坐标，由垂直关系可得，由此可得，进而确定焦点坐标.【详解】由得：，不妨令，，，，，，解得：，抛物线，的焦点坐标为.故答案为：.16．在锐角中，角所对的边分别为为的面积，且，则的取值范围___________.【答案】【分析】利用三角形面积公式与余弦定理,可得，再根据同角关系式可得， ，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得出，结合条件可得的取值范围，进而即得.【详解】因为，且，所以，即，由余弦定理得：，所以，又，所以，解得：或，因为为锐角三角形，所以，，所以，因为，所以，由正弦定理得：，因为为锐角三角形，所以，即,所以，所以，所以，所以，，故.故答案为：. 三、解答题17．已知等比数列的公比与等差数列的公差相等，且，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设的公比为的公差为，则由已知条件列方程可求出，从而可求出的通项公式；（2）由（1）得，然后利用分组求和法可求得结果.【详解】（1）设的公比为的公差为，因，则，解得，而，则，又，有，所以的通项公式分别为.（2）由（1）可知，，令数列的前项和为，则.18．如图，在四棱锥中，，且是棱上一点，且满足.(1)证明：平面；(2)若三棱锥的体积是的面积是，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）作辅助线，利用线面平行的判定定理可证明结论；（2）设点到平面的距离为，根据等体积法，有，即可求得答案.【详解】（1）如图，在棱上取一点，使，连接. ，且,又，且.四边形是平行四边形，.又平面平面，平面.（2）设点到平面的距离为,三棱锥的体积是的面积是，因为，所以，即，解得.19．2022年6月5日是世界环境日，十三届全国人大常委会第三十二次会议表决通过的《中华人民共和国噪声污染防治法》今起施行.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度（单位：）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归模型？（能给出判断即可，不必说明理由）(2)求声音强度关于声音能量的非线性经验回归方程（请使用题后参考数据作答）；(3)假定当声音强度大于45dB时，会产生噪声污染，城市中某点处共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.已知点处的声音能量等于与之和，请根据（2）中的非线性经验回归方程，判断点处是否受到噪声污染，并说明理由.参考数据：，，令，有，，，，，，，，.【答案】(1)(2)(3)点处会受到噪声污染 【分析】（1）根据已知条件，结合图象的增长趋势，即可求解．（2）令，，则，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．（3）设点处的声音能量为，则，利用基本不等式求出，再代入（2）中的非线性经验回归方程，求出，即可判断．【详解】（1）解：散点图近似在一条曲线上，故更适合．（2）解：令，，则，，，即关于的回归方程是，则关于的非线性经验回归方程是．（3）解：设点处的声音能量为，则，因为，，，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以，所以点处会受到噪声污染．20．已知椭圆的左､右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.(1)求椭圆的方程；(2)如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.【答案】(1)(2)证明见解析，定值为 【分析】（1）写出直线方程，取求得值，得到直线与椭圆的交点，再由已知列关于，的方程组，求解，的值，则椭圆方程可求；（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，由椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得，横纵坐标的和与积，分别写出，的方程，求得与的坐标，再写出两三角形面积的乘积，结合根与系数的关系可得与的面积之积为定值．【详解】（1）由题意，，，故过且斜率为的直线的方程为，令，得，由题意可得，解得，．求椭圆的方程为；（2）证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线，，，，，联立，得．，，由，得，，，直线的方程为，令，解得，则，，同理可得，，【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．已知函数，．(1)若在区间上存在极值点，求实数的取值范围；(2)求证：当时，对任意，．（参考：，，，）【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）参变分离，构造新函数，求导判断函数单调性，从而得函数的值域，可得的取值范围；（2）令，求解导函数，令新函数求解导函数，分类讨论和两种情况，由的正负判断单调性，结合零点，判断单调性，设的零点，结合题目所给提示判断得，从而可得，构造新函数，求导判断单调性，即可证明得，所以可得证.【详解】（1）由题意，在上有变号零点，，令，则，所以函数单调递增，∴，∴，∴的取值范围为．（2）时，，，令，则，当时，，单调递减；此时，，存在唯一的使且当时，，单调递增；当时，，单调递减；且，，∴当时，，当时，，单调递增，且当时，，∴时，，单调递增，且注意到，，∴存在唯一的使，即，且在上单调递减，上单调递增，∴，令，，在上单调递减，∴∴，综上：对有．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线交于两点，点的直角坐标为，求.【答案】(1)直线；曲线(2) 【分析】（1）根据直线参数方程，消去参数即可得到普通方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可直接将曲线化为直角坐标方程；（2）将参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得韦达定理的结论，根据直线参数方程中参数的几何意义可知，由韦达定理可得结果.【详解】（1）由得：，即直线的普通方程为：；由得：，整理可得：，即曲线的直角坐标方程为：.（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程得：，即，设对应的参数分别为，则，，.23．已知函数．(1)当时，求的解集；(2)，若对，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）将函数化成分段函数，再分段讨论求解不等式作答.（2）利用绝对值的三角不等式求出最小值，再求出最小值，然后利用已知建立不等式，求解作答.【详解】（1）当时，，当时，，解得，无解，当时，，解得，则，当时，，解得，则，所以原不等式的解集为．（2）当时，，当且仅当时取“=”，即，而当时，，因此，因为对，使得成立，从而得，因为，则有，解得或，所以实数a的取值范围为．