2023届宁夏石嘴山市平罗中学高三（重点班）上学期期中考试数学（理）试题含解析

2023届宁夏石嘴山市平罗中学高三（重点班）上学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别求出集合，再根据补集和交集的定义即可得解.

【详解】解：或，

，

则，

所以.

故选：C.

2．已知复数（为虚数单位）为实系数方程的一根，则（    ）

A．4 B．2 C．0 D．

【答案】C

【分析】将代入方程中，根据复数相等的充要条件即可求解.

【详解】因为是方程的根，所以，

，且，

故选：C

3．m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求出直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直时的值，再根据充分必要条件的定义即可得出答案.

【详解】因为直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直，

所以，所以，所以或，

所以当m＝－1时，直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直.

但直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直时，m＝－1不一定成立.

所以m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的充分不必要条件.

故选：A.

4．记为等差数列的前项和.若，则的公差为（    ）

A．3 B． C． D．6

【答案】A

【分析】根据等差数列的性质，结合等差数列前项和公式，分别求出，即可求得公差.

【详解】因为，所以

且

所以，则

故选:A.

5．若，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先求得，再利用向量的夹角公式，即可求解.

【详解】由条件可知，两边平方后得，

并且，

，

因为向量夹角的范围是，所以向量与的夹角为

故选：A

6．已知，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式对已知式子化简，然后代值求解即可.

【详解】因为，

所以

，

故选：A

7．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，利用导函数求出单调性，利用单调性比较大小.

【详解】设，则，

当得：，当时，，

所以在上单调递增，上单调递减，

又，所以，即c<a<b．

故选：D．

8．已知正数满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C．(-4，2) D．

【答案】C

【分析】因为恒成立，所以转化为，将已知等式改写形式为：，再利用“1”的代换后使用基本不等式得到的最小值为8，从而转化为解不等式.

【详解】由题意知：

即：

∴

∴

又∵，

∴，

∴当且仅当即 时等号成立.

∴当时，取得最小值为8.

∴解得：

故选：C.

9．若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和（    ）

A． B．6 C． D．5

【答案】B

【分析】首先根据题中对函数的性质计算出特殊值，再判断的奇偶性，由此判断出为奇函数，最后根据奇函数关于原点对称的性质得出结果.

【详解】在中，令得，即，令得，即，∴是奇函数，令，则，是奇函数，∴在对称区间上，当时，，，∴．

故选:B

10．设函数，下述四个结论：

①是偶函数

②的图象关于直线对称

③的最小值为

④在上有且仅有一个极值点

其中所有正确结论的编号是

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】B

【分析】对四个结论逐一分析：

①判断与是否相等；

②判断与是否相等；

③去绝对值，求最值；

④由，化简，可判断极值点的个数.

【详解】①是偶函数，①正确；

②,

故的图象不关于直线对称，②错误；

③去绝对值，则

故，则，

，则，

综合得，即的最小值为，③错误；

④由，化简，

令，则，

此时有且仅有一个极小值点，

故在上有且仅有一个极值点. ④正确.

故选：B

【点睛】本题考察了含绝对值的三角函数的性质：奇偶性、对称性、最值、极值，是一道三角函数性质的综合应用题.

11．给定两个单位向量，，且，点在以为圆心的圆弧上运动，，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】给定两个单位向量，，且则，

建立如图所示的坐标系，

则A（1，0），B（cos150°，sin150°），即设∠AOC= ，则因为则，

所以=

因为， 所以有最小值-1.

故选B

12．已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】B

【分析】利用分离参数思想分离出，结合重要不等式，将看成一个整体即可得结果.

【详解】由题意可知，分离参数，令，

由题意可知，，由，

又，当时等号成立，

所以，当时等号成立，

由，令，，易知在上单增，在单减，

所以，所以方程有解．

所以，

故选：B．

二、填空题

13．已知向量，，．若 ，则__________

【答案】##0.25

【分析】利用向量线性坐标运算可得，再利用向量共线的坐标表示即可求解.

【详解】由，，

所以，

又因为，

所以，解得.

故答案为：

14．已知数列满足，，其中是等差数列，且，则________．

【答案】2018

【分析】数列{an}、{bn}满足bn＝lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，可得bn+1﹣bn＝lnan+1﹣lnan＝ln常数t．常数et＝q＞0，因此数列{an}为等比数列．由，

可得a1a1009＝a2a1008．再利用对数运算性质即可得出．

【详解】解：数列{an}、{bn}满足bn＝lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，

∴bn+1﹣bn＝lnan+1﹣lnan＝ln常数t．

∴常数et＝q＞0，

因此数列{an}为等比数列．

且，

∴a1a1009＝a2a1008．

则b1+b2+…+b1009＝ln（a1a2…a1009）lne2018＝2018．

故答案为：2018．

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．已知函数，若在内单调且有一个零点，则的最大值是______________．

【答案】

【分析】由单调得出最小正周期不大于，得，时求得，根据，得出和的范围，然后结合零点和单调性确定范围．

【详解】在内单调,则最小正周期，，,,所以,

时，，

由得，，

而在内恰有一个零点且单调（因为单调有零点则只能有一个零点），

所以且，解得，

所以的最大值是．

故答案为：．

16．已知函数，若且，，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】画出的图象，根据图象求得，，对的值进行分类讨论，由此求得的取值范围.

【详解】画出的图象如下图所示，

由图可知，，

当时，且，

因为，

所以，，

当时，，，

所以的取值范围是.

故答案为：

三、解答题

17．已知数列的前n项和为，．

(1)证明：数列为等比数列；

(2)记数列的前n项和为，证明：．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据通项公式和前n项和公式的关系证明为常数即可；

(2)由(1)知，故即可证.

【详解】（1），

，∴，

故数列为等比数列，首项为，公比为2；

（2）由(1)可知，∴，

.

18．已知函数的图象的相邻两个对称中心的距离为．

(1)求在上的单调减区间；

(2)函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】小问1：利用三角恒等变换，把整理成正弦型函数，然后利用整体代入法求出单调递减区间即可解决；

小问2：利用在定区间的值域，结合图像，即可确定的取值范围.

【详解】（1）

相邻两个对称中心的距离为，，.

当时，，

即的单调减区间为

则在上的单调减区间为.

（2）当时,.

此时值域为，，即.

19．某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：

(1)求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？(结果精确到0.1万吨)

(2)该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？

（参考数据：）

【答案】(1)

(2)2025年

【分析】（1）根据题意可得每年产生的生活垃圾量成等比数列，每年通过环保方式处理的垃圾量成等差数，从而利用等差数列及等比数列求和公式可求该地区年通过填埋方式处理的垃圾总量，令即可求得所求.

（2）结合（1）结论可得，依次检验到即可得解.

【详解】（1）依题意得，从2021年起该地区每年产生的生活垃圾量(单位：万吨)构成等比数列，记为，每年通过环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成等差数列，记为，该地区年通过填埋方式处理的垃圾总量(单位：万吨)记为，

则，故，

所以 ，

当时，，

所以2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾总量约万吨.

（为避免不必要误会，特别说明，网上答案为，之所以不同是因为网上答案实算，而本题提供了参考数据，用之为，审核老师阅后可删）

（2）由（1）得，，即，

整理得，

因为当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，；

所以该地区在第年，即2025年通过环保方式处理的垃圾囯首次超过这一年产生生活垃圾量的50%.

20．在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．

已知锐角的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c满足_______（填写序号即可）

(1)求B﹔

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角关系，即可得出答案；

选②，利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得出答案；

选③，根据两角和的余弦公式结合三角形的内角关系，即可得出答案；

（2）利用正弦定理及三角形内角关系将用角表示，再结合三角恒等变换化简，结合正切函数的性质即可得出答案.

【详解】（1）解：选①，

因为，

所以，

即，

又，所以，

因为，

所以；

选②，

因为，

所以，

即，

所以，

因为，

所以；

选③，

因为，

所以，

即，

所以，

因为，

所以；

（2）解：由正弦定理，

得，

，

则，

由锐角得，

得，则，

所以，从而，

所以的取值范围为.

21．已知函数

(1)当时，求函数的极值

(2)若有唯一极值点，求关于的不等式的解集.

【答案】(1)极大值为，极小值为.

(2)

【分析】(1)直接利用导函数求极值即可；(2)首先结合已知条件得到，然后求解不等式即可.

【详解】（1）由题意可知，的定义域为，，

当时，，

则或；，

故在和上单调递增，在上单调递减，

故的极大值为，极小值为.

（2）由题意可知，有唯一的正解，从而，

结合极值点定义可知，二次函数有两个不同的零点，，

从而由韦达定理可知，，即，

从而，

因为，从而，

故关于的不等式的解集为.

22．已知函数，.

(1)若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；

(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将零点问题转化为交点问题，利用导数分析的单调性以及极值情况.

（2）分三种情况讨论，将不等式恒成立问题转化成求即可.

【详解】（1）当时，显然满足题意

当时，若函数只有一个零点，

即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为

只有一个根，

即直线与函数（且）的图像只有一个交点.

，令，得，

在和上，，在上，，

所以在和上单调递减，在上单调递增.

在时有极小值，图像如图所示：

由图可知：若要使直线与函数的图像只有一个交点，

则或，

综上.

（2）恒成立，

等价于，

令（），

，

①若时，，

所以在上单调递增，

，即，满足，

②若时，则，，

所以在上单调递增，

当时，，不成立

故不满足题意.

③若时，令，，

，，

，单调递减，

，单调递增，

只需即可，

，，

令

，在上单调递增，

，时，，

，，

所以在上单调递增，

，即，

综上：

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．