2023届宁夏石嘴山市平罗中学高三（重点班）上学期期中考试数学（文）试题含解析

2023届宁夏石嘴山市平罗中学高三（重点班）上学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合后可求.

【详解】，故，

故选：B.

2．（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】直接利用复数的乘法计算得解.

【详解】解：由题意.

故选：B.

3．下列函数中是增函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.

对于B，为上的减函数，不合题意，舍.

对于C，在为减函数，不合题意，舍.

对于D，为上的增函数，符合题意，

故选：D.

4．已知向量，满足，，则

A．4 B．3 C．2 D．0

【答案】A

【分析】由向量数量积的运算法则计算．

【详解】．

故选：A．

【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算法则，属于基础题．

5．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.

【详解】由于，所以命题为假命题；

由于在R上为增函数，，所以，所以命题为真命题；

所以为假命题，为真命题，

为假命题，为假命题.

故选：B．

6．函数的最小正周期和最大值分别是（    ）

A．和 B．和2

C．和 D．和2

【答案】C

【分析】化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．

【详解】，

．

当时，函数取得最大值；

函数的周期为，最大值．

故选：C

7．在中，,BC=1,AC=5，则AB=

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.

详解：因为

所以，选A.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

8．函数 的单调递增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

【详解】由得或，

设，则当时，为增函数，此时为增函数，则为增函数，

即的单调递增区间为，

故选：D．

9．记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.

【详解】∵为等比数列的前n项和，

∴，，成等比数列

∴，

∴，

∴.

故选：A.

10．当时，函数取得最小值，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出导函数，由题意，解得，即可计算.

【详解】当时，函数取得最小值，

所以，所以，得，

又，根据函数在处取得最值，

所以即得，

所以，.

故选：C.

11．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于原点O对称，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三角函数的图象变换与性质求解，

【详解】由题意得的图象向左平移个单位长度得，

而的图象关于原点O对称，则，即，

得，，

的最小值是．

故选：C

12．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

详解：因为是定义域为的奇函数，且，

所以,

因此，

因为，所以，

，从而，选C.

点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

二、填空题

13．已知向量,．若，则______________．

【答案】

【分析】由向量平行得：，代入公式即可得到.

【详解】因为，，解得.

故答案为：

14．记为等差数列的前项和，若，则___________.

【答案】100

【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.

【详解】得

【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键．

15．已知，则________.

【答案】

【分析】将等式两边平方，结合二倍角的正弦公式可求得结果.

【详解】将两边平方，可得，解得.

故答案为：.

16．已知定义域为的偶函数，其导函数为，满足,则的解集为_________．

【答案】

【分析】令，对函数求导，根据条件可得单调递增，且单调递增，进而利用单调性和奇偶性求解．

【详解】的解集为的解集，令，

则，

因为，所以当时有，

所以，

即当时，单调递增，

又因为，所以，

所以的解集为的解集，

由单调性可知，

又因为为偶函数，所以解集为

【点睛】本题解题的关键是构造新函数，求导进而得出函数的单调性，然后利用奇偶性和单调性求解．

三、解答题

17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

【答案】（1）；

（2）.

【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；

（2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果.

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，

根据题意有，

解答，所以，

所以等差数列的通项公式为；

（2）由条件，得，即，

因为，所以，并且有，所以有，

由得，整理得，

因为，所以有，即，

解得，

所以的取值范围是：

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

18．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．

（1）求角A的大小；

（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．

【答案】（1） （2）

【详解】试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.

试题解析：（1）由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，

得2cos2A＋3cos A－2＝0，

即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，

解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．

因为0<A<π，所以A＝.

（2）由S＝bcsin A＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，故a＝.

从而由正弦定理得sin B sin C＝sin A×sin A＝sin2A＝×＝.

【解析】1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.

【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.

19．设数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）求数列 的前项和．

【答案】(1) ；(2).

【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.

（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.

【详解】（1）数列满足

时,

∴

∴

当时,,上式也成立

∴

（2）

∴数列的前n项和

【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.

20．已知函数的部分图象如图所示，其中的图像与轴的一个交点的横坐标为.

(1)求这个函数的解析式，并写出它的递增区间；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)，

(2)最大值是，最小值是

【分析】（1）由三角函数的图象与性质求解，

（2）由整体代换法求解，

【详解】（1）由图知，，，

 ，

，

由得，

故的递增区间是

（2）时，，，

在区间上的最大值是，最小值是

21．已知函数，．

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析

(2)

【分析】（1）对函数求导，然后对进行分类讨论，研究出的单调区间；

（2）根据函数在处取得极值，求出，然后对分离参数，转化为

，构造函数求出最值，进而求出实数的取值范围．

【详解】（1）在区间上，．

当时，在区间上单调递减；

当时，令，则令，则，

从而函数的单调递增区间为，函数的单调减区间为，

综上，当时，的单调减区间为；

当时，的单调递增区间为，的单调减区间为；

（2）因为函数在处取得极值，所以，解得．

因为对恒成立，即对恒成立，

所以只需当，．

令，，

时，；时，，

故在上递减，在上递增，．

所以，即，

实数的取值范围为.

【点睛】对于恒成立问题，常通过分离参数转化为最值问题，用到以下两个结论：

(1)恒成立⇔；

(2)恒成立⇔.

22．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：当时，．

【答案】（1）切线方程是；（2）证明见解析．

【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．

（2）方法一：当时，，令，只需证明即可．

【详解】（1），．

因此曲线在点处的切线方程是．

（2）［方法一］：【最优解】放缩

当时，．

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以．因此．

［方法二］：【通性通法】导数的应用

函数的定义域为R，．

当时，令，得，或，其中．则函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．又，当时，恒成立，故，故当时，．

［方法三］：等价变形＋含参讨论

不等式等价于．

令．

当时，（导数法证明过程参考方法二）．

当时，易知在R上单调递增且．

所以存在唯一实数使得，即．函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．故．

记，则的图像为开口向上，对称轴的抛物线，故函数在区间内单调递减，故．

综上所述，当时，．

［方法四］：【最优解】利用切线不等式放缩

不等式等价于．因为，所以．当时，，即结论得证．

【整体点评】（2）方法一：利用不等式性质放缩，转化为求具体函数的最值，方法简单易操作，是该题的最优解；

方法二：直接研究函数的单调性求最小值，即可解出，是该类型题的通性通法；

方法三：将不等式等价变形，然后再含参讨论新函数的单调性，求出最小值，此法也是常规手段，但是对于解决该题，显得有些繁琐；

方法四：将不等式等价变形，然后利用切线不等式，不等式的性质放缩，再结合二次函数的性质解出，也可以认为是本题的最优解．