2023届上海奉贤区致远高级中学高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届上海奉贤区致远高级中学高三上学期期中数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数中为奇函数且在上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据常见函数的奇偶性及单调性，逐项判断即可.
【详解】对A，因为指数函数为非奇非偶函数，A错误；
对B，函数为偶函数，且在上不单调，B错误；
对C，正弦函数是奇函数，但在R上不单调，C错误；
对D，幂函数为奇函数，且在R上是增函数，D正确.
故选：D.
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知均为复数，则下列命题不正确的是（ ）
A．若则为实数B．若，则为纯虚数
C．若，则为纯虚数D．若，则
【答案】C
【分析】设复数，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定，得到答案.
【详解】由题意，设复数，
对于A中，由，即，解得，所以复数为实数，所以A正确；
对于B中，复数，因为，可得，所以复数为纯虚数，所以是正确的；
对于C中，当时，满足，所以复数不一定为纯虚数，所以不正确；
对于D中，由，可得，即，解得或，
所以，所以是正确的.
故选C.
【点睛】本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念和复数方程的应用，其中解答中熟练利用复数的代数形式的四则运算，以及熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称的最小值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线和曲线，则曲线S与曲线T的距离为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】先根据距离公式算出，然后利用柯西不等式代入求解即可.
【详解】解：由题意得：
设
则
根据柯西不等式：
于是
于是
令，则
故
故
故选：A
二、填空题
5．若全集，则集合____________．
【答案】
【分析】根据集合的运算求解即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：
6．不等式的解集是________
【答案】
【分析】移项，通分，化分式不等式为一元二次不等式，即可求解.
【详解】，
解得或.
故答案为:
【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于基础题.
7．已知，则____________．
【答案】
【分析】根据复数的运算性质即可得.
【详解】解：.
故答案为：.
8．已知，则的值为___________.
【答案】
【分析】由二倍角公式计算即可.
【详解】.
故答案为：
9．已知向量，，且，则______．
【答案】
【分析】由向量平行,可得的坐标形式，之后可得答案.
【详解】由题，因，则，解得，则.
得.
故答案为:
10．已知等差数列的前5项和，则____________．
【答案】11
【分析】由等差数列的性质求解，
【详解】由题意得，得，
故，，则，
故答案为：11
11．的二项展开式中项的系数为______
【答案】84
【分析】写出二项展开式的通项公式，由指定项经计算即得.
【详解】的二项展开式的通项：，
由得，，
所以展开式中项的系数为84.
故答案为：84
12．已知数列{}的通项公式为，若，分别是该数列的最大项和最小项，则i＋j＝__________．
【答案】11
【分析】变形，构造函数，根据函数的单调性，得到答案.
【详解】
易知对应函数
在上单调递减，对应函数值大于零
在上单调递减，对应函数值小于零
故的最大项为，最小项为
即
故答案为
【点睛】本题考查了数列的最大项和最小项，构造函数得到单调区间是解题的关键，可以简化运算.
13．曲线在点处的切线方程为____________．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求解.
【详解】因为，所以曲线在点处的切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
14．已知为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则满足不等式的a的取值范围是__________．（用区间表示）
【答案】
【分析】根据偶函数的性质可知在上的单调性，再由求解即可.
【详解】因为为定义在上的偶函数，且在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以，，，
所以．
故答案为：
15．在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即
故答案为：
16．已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是__
【答案】﹣≤a≤2
【分析】先求画出函数的图像，然后对的图像进行分类讨论，使得的图像在函数的图像下方，由此求得的取值范围.
【详解】画出函数的图像如下图所示，而，是两条射线组成，且零点为.将向左平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.将向右平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.根据图像可知
【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，其中包括二次函数的图像、对勾函数的图像，以及含有绝对值函数的图像，考查恒成立问题的求解方法，考查数形结合的数学思想方法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.形如函数的图像，是引出的两条射线.
三、解答题
17．设数列{}的前项和为，已知＝＋．
(1)求数列{}的通项公式；
(2)若数列{}满足＝－＋，求数列{}的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据数列与的关系可得，结合等比数列的定义即可求解；
(2)由(1)可得，结合等比数列和等差数列前n项求和公式，利用分组求和法计算即可.
【详解】（1）由知，
当时，，得；
当时，，
则，得，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故；
（2）由(1)得，，
.
18．函数，其中.
(1)求函数的导数；
(2)若，求的极值.
【答案】(1)
(2)极大值为，极小值为
【分析】（1）利用导数的求导法则以及基本初等函数的求导公式即可求解，
（2）求导，利用导数即可求解极值.
【详解】（1）由得，
（2）记，则，
令，则，当时，或，
故当或时，，当，，
因此当时，取极小值，且极小值为，
当时，取极大值，且极大值为，
因此的极大值为，极小值为
19．已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．
【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）．
【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值.
【详解】解：（1）
．
的最小正周期为：；
当时，
即当时，函数单调递减，
所以函数单调递减区间为：；
（2）因为，所以
，，
，．
设边上的高为，所以有，
由余弦定理可知：，
，，
（当用仅当时，取等号），所以，
因此边上的高的最大值.
20．考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足.
(1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围；
(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
【答案】(1)；
(2)当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；
当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.
【分析】（1）根据题意，可知当时，求出的值，结合条件得出，再结合，即可得出车速的取值范围；
（2）设该汽车行驶100千米的油耗为升，得出关于与的函数关系式，通过换元令，则，得出与的二次函数，再根据二次函数的图象和性质求出的最小值，即可得出不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
【详解】（1）解：由题意可知，当时，，解得：，
由，即，解得：，
因为要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内，
即，所以，
故汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围.
（2）解：设该汽车行驶100千米的油耗为升，
则，
令，则，
所以，，
可得对称轴为，由，可得，
当时，即时，
则当时，；
当，即时，
则当时，；
综上所述，当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；
当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.
21．设S、T是R的两个非空子集，如果函数满足：①；②对任意，，当时，恒有，那么称函数为集合S到集合T的“保序同构函数”.
（1）试写出集合到集合R的一个“保序同构函数”；
（2）求证：不存在从集合Z到集合Q的“保序同构函数”；
（3）已知是集合到集合的“保序同构函数”，求s和t的最大值.
【答案】(1) ,(2)证明见解析,(3)的最大值为1,的最大值为
【分析】(1)直接由题意写出即可;
(2)用反证法证明即可;
(3)用定义证明在上递增,在上递减后,可得,.
【详解】(1)取,该函数是集合到集合R的一个“保序同构函数”;
证明:任取,
则,
因为在上为增函数,所以,
即,由定义可知, 函数是集合到集合R的一个“保序同构函数”.
(2)证明:假设存在一个从集合到集合的“保序同构函数”,由“保序同构函数”的定义可知,集合和集合中的元素必须是一一对应的,不妨设整数0和1在中的像分别为和,根据保序性,因为0<1,所以,又也是有理数,但是没有确定的原像,因为0和1之间没有另外的整数了,故假设不成立,故不存在从集合Z到集合Q的“保序同构函数”.
(3)设,则,
所以当时,,
所以,即,所以在上递增,
当时, ,所以,即,
所以在上递减,
因为是集合到集合的“保序同构函数”,
所以在上递增,所以,所以的最大值为1,的最大值为.
【点睛】本题考查了正切函数的单调性,函数单调性的定义,利用单调性求函数的最值,属于难题.