2023届上海南汇中学高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届上海南汇中学高三上学期期中数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【分析】根据对数的定义和对数运算法则判断．
【详解】时，无意义，A错；
由对数函数的性质知B正确；
时，成立，但不成立，C错；
若，无意义，D错．
故选：B．
2．设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解分式不等式得，由是的充分条件等价于包含，根据包含关系列不等式求解即可
【详解】，解得或，由是的充分条件，则有.
故选：C
3．已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的数量积运算及二次函数求值域即可得解.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
则，，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即，
当在上时，设，则，
，知，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即.
综上可得，，
故选：C
4．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是
A．①和②均为真命题
B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
【答案】D
【详解】试题分析：
因为，所以,又、、均是以为周期的函数，所以，所以是周期为的函数，同理可得、均是以为周期的函数，②正确；增函数加减函数也可能为增函数，因此①不正确.选D.
【解析】抽象函数、函数的单调性、函数的周期性
【名师点睛】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，是高考常考内容.本题有一定难度.解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项或通过举反例应用“排除法”等.本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等.
二、填空题
5．已知扇形的弧长是6，圆心角是2弧度，则该扇形的半径是___________.
【答案】3
【分析】结合扇形弧长公式可直接求解.
【详解】由.
故答案为：3
6．不等式的解集为________
【答案】
【分析】利用对数函数的定义与性质，化简不等式，即可求出不等式的解集．
【详解】由题
故答案为
【点睛】本题考查了利用对数函数的定义与性质求解不等式的应用问题，是基础题目．
7．已知，则______．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的商式，弦化切，结合正切的差角公式，可得答案.
【详解】由，则，
即，
故答案为：
8．若函数，则__________.
【答案】1
【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入逐次运算，即可求解.
【详解】∵函数，
∴.
故答案为：1.
9．在中，若，，，则______．
【答案】
【分析】由正弦定理求解．
【详解】由已知，
由正弦定理，得，解得．
故答案为：．
10．已知函数在点处的切线斜率为，则________．
【答案】2
【分析】首先利用导数的定义求出得值，再利用点在上可计算的值，即可求解.
【详解】由导数的定义可得：
，
因为，所以，
又因为，可得，
所以，
故答案为：
11．已知集合有且只有两个子集，则实数________.
【答案】或
【分析】根据题设条件可得为单元素集合，就分类讨论后可得实数的值.
【详解】因为有且只有两个子集，故为单元素集合.
当时，，符合；
当时，则有即.
综上，或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查集合中元素个数与其子集个数之间的关系以及集合含义的正确理解，一般地，如果有限集中元素的个数为，那么其子集的个数为，对于集合，它表示方程的解的集合，讨论含参数的方程的解的时，要考虑二次项系数是否为零.
12．已知单位向量，的夹角为，若，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】由，结合夹角的范围即可求解结果．
【详解】由
因为，所以，则
则的取值范围是．
故答案为：
13．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为，则实数的值为________．
【答案】
【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当时函数的解析式，再利用函数的单调性对进行分类讨论，确定单调性即可求解.
【详解】由题意可知，因为，所以，
所以，
因为函数是定义域为的奇函数，所以.
因为函数在上的最小值为
当时，由函数的性质知，函数在上单调递增；
当时，取得最小值为，
因为函数在上的最小值为，所以，解得（舍），
当时，由函数的性质知，函数在上单调递增；
当时，取得最小值为，
因为函数在上的最小值为，所以，解得，
当时，由对勾函数的性质知，函数在上单调递增；在上单调递减；
当时，取得最小值为，
因为函数在上的最小值为，所以，解得（舍），
综上，实数的值为.
故答案为：.
14．已知函数，若对于任意实数都有和成立，则的最小值为________.
【答案】
【分析】先化简得到，求出，，
求导得到，进而求出，，从而求出的最小值.
【详解】，
因为恒成立，
所以，，解得：，；
，
因为恒成立，
所以，，解得：，，
所以，
当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：
15．已知，且有最小值6，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据绝对值三角不等式等号成立的条件列不等式，结合三角函数的值域求得的取值范围.
【详解】，
当且仅当时等号成立，
，解得，
由于，故可设，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
16．已知定义在上的偶函数，满足对任意的实数都成立，且值域为.设函数（），若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】对因式分解可得或，对函数取绝对值得分段函数，即可画出图形，
则对任意的，存在，使得成立等价于当时，，且时的图像要位于的下方，列式求解即可
【详解】由，∴即或.
∵是偶函数，且值域为，∴，
∵，∴，
画出两者图像如下图，
若对任意的，存在，使得成立，则当时，，∴，
且时，的图像要位于的下方，故只需，即，解得.
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
三、解答题
17．设向量，，.
(1)若，求实数的值；
(2)在方向上的数量投影与投影.
【答案】(1)
(2)在方向上的数量投影为，在方向上的投影为.
【分析】（1）根据向量平行列方程，化简求得的值.
（2）根据数量投影与投影的知识求得正确答案.
【详解】（1），
由于，所以.
（2），，
所以在方向上的数量投影为，
在方向上的投影为.
18．已知全集，集合是不等式的解集，集合是不等式的解集，集合是不等式的解集，
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得.
（2）对进行分类讨论，结合求得的取值范围.
【详解】（1），解得，所以，
所以或，
，所以，
所以或.
（2），
当时，无解，，满足.
当时，，
要使，则，解得.
当时，，
要使，则，解得.
综上所述，的取值范围是.
19．某通讯公司需要在三角形地带区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域内，乙中转站建在区域内．分界线固定，且百米，边界线始终过点，边界线满足．设百米，百米．
（1）将表示成的函数，求出函数的解析式；
（2）当取何值时？整个中转站的占地面积最小，并求出其面积的最小值．
【答案】（1）；（2）当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米.
【分析】（1）由面积关系，利用三角形面积公式得到关于的方程，求得y关于x的函数表达式，并注明函数的定义域；
（2）由三角形的面积公式，结合（1）中的结论，得到整个中转站的占地面积关于ｘ的函数表达式，适当分解配凑后，利用基本不等式求得最小值.
【详解】解：（1）结合图形可知，．
于是，，
解得．
（2）由（1）知，，
因此，
（当且仅当，即时，等号成立）．
答：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米．
20．已知函数的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域；
(3)设，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.
【答案】(1)；
(2)；
(3)，
【分析】（1）先化简整理得，利用周期求得，即得；
（2）利用图像变换得，用换元法即可求出函数的值域；
（3），结合正弦函数的图像，求出与的值
【详解】（1），
∵相邻两对称轴间的距离为，则，∴，故
（2）函数的图像向右平移个单位长度得的图像，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得的图像，
当时，，则当时，取得最小值，为-2，当时，取得最大值，为，故函数的值域为
（3），由得，设，则，结合正弦函数的图像，
得在有5个解，即，其中，
即，整理得，
∴.
综上，，
21．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.
(1)已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；
(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；
(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数.记，证明：是的充要条件.
【答案】(1)是倒函数，不是倒函数，理由见解析
(2)没有，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论；
（2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数，利用零点存在定理可得出结论；
（3）推导出函数为上的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件的定义证明可得结论.
【详解】（1）解：函数的定义域为，对任意的，，
所以，函数为倒函数，
函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，故函数不是倒函数.
（2）解：当时，则，由倒函数的定义可得，
由满足倒函数的定义，
当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数，
故当时，，当时，，
若函数有整数解，则，
设，则函数在上单调递增，
因为，，
所以，存在，使得，即，
故方程无整数解.
（3）解：因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，
所以，，
任取、且，则，所以，，，
所以，
，
所以，函数为上的增函数，
因为，故函数为上的奇函数.
当时，即，则，所以，，
即“”“”；
若，则，所以，，即.
所以，“”“”.
因此，是的充要条件.
【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：
（1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；
（2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；
（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；
（4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.