2023届上海市曹杨第二中学高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届上海市曹杨第二中学高三上学期期中数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设a、b都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用作差法，结合对数的换底公式以及对数函数单调性，可得答案.
【详解】，
由，则，，，即，；
当时，，，，即，.
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．已知函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】构造函数，求出函数为偶函数，利用导函数的正负和已知条件
，可以得出，故可以确定结论．
【详解】令，，
∵，
∴为偶函数，
又∵，
∴时，，，单调递减，
当时，，，单调递增,
又∵，即，
∴，
∴.
故选：D
【点睛】本题结合导数考查三角函数的单调性，属于中档题.
3．已知，且为虚数单位，则的最大值是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值.
【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
表示圆C上的点到的距离，
的最大值是，
故选B
【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题.
4．已知函数，关于x的方程，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
其中真命题的序号为（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】利用换元法设，将方程转化为关于的一元二次方程,结合函数的图象即可求解.
【详解】设，则，当时，,当时，有两解．
则原方程等价为，即．
画出以及的图象，
由图象可知，（1）当时，，此时方程恰有2个不同的实根；
（2）当时，或或，
当时，有两个不同的解，
当时，有两个不同的解，
当时，只有一个解，所以此时共有5个不同的解．
（3）当时，或或或，此时对应着8个解．
（4）当时，或．此时每个对应着两个，所以此时共有4个解．
综上正确的是①③④．
故选：C
二、填空题
5．函数的定义域为__________.
【答案】
【分析】解不等式即可得出函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
6．设全集为____________．
【答案】或
【分析】解绝对值不等式(利用初中已学知识）得到集合A，写出补集即可.
【详解】，
则集合A的补集 或，
故答案为： 或
7．函数的最小值为____________．
【答案】1
【分析】直接利用绝对值三角不等式计算得到答案.
【详解】，当时等号成立.
故答案为：1
8．若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为____________．
【答案】
【分析】根据为奇函数得到的对称中心为，再结合得到的对称中心为，然后利用对称性求即可.
【详解】由可得，因为为奇函数，所以的对称中心为，则的对称中心为，又，则.
故答案为：-5.
9．在的展开式中，的系数为______.
【答案】
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故答案为：
10．已知数列的通项公式为，则该数列取得最大时，正整数____________．
【答案】6
【分析】将的通项变形表示为关于n的反比例函数，判断其取得最大值时n满足的条件即可.
【详解】
当取得最大时，须取得最小正数，
即满足的最小正整数
故答案为：6.
11．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
【答案】
【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
12．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为________．
【答案】
【分析】设，，由，，，共线可得，可得再利用基本不等式计算可得；
【详解】解：设，，
，，，共线，，．
，则，
点，是线段上两个动点，，．
，当且仅当，即，时取等号；
所以的最小值为．
故答案为：．
13．设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 __．
【答案】
【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解．
【详解】由已知得，
由得．
故答案为：．
14．如图，圆柱的轴截面是正方形，D、E分别是边和的中点，C是的中点，则经过点C、D、E的平面与圆柱侧面相交所得到曲线的离心率是____________．
【答案】##
【分析】根据平面与圆柱的截线为椭圆，求出椭圆的长半轴长和短半轴长，即可求出半焦距，由椭圆的离心率定义求解即可.
【详解】设圆柱的轴截面，即正方形的边长为2，设 是弧的中点，且与C关于圆柱的中心对称，
由题意可知，截面曲线为椭圆，椭圆的短轴长为2，长轴,
所以长半轴长 短半轴长 ，
故半焦距为 ,
所以椭圆的离心率为 ，
故答案为：．
15．已知数列满足，n为正整数，则____________．
【答案】
【分析】根据递推关系可得，进而变形得，可知为等差数列，进而可求.
【详解】当时，，
当时，由得，
两式相除得：，，故，
进而得，，因此为等差数列，且公差为1，首项为3，
故
故答案为:
16．已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】当时满足：且，可得，进而得，解得或．于是，令，可得，利用二次函数的单调性即可求解最值.
【详解】当时满足：且，
，即，进而，解得．
所以或，
，
令，
，
由于
所以在单调递增，在单调递减，
当时，，当时，，
所以
故答案为：．
三、解答题
17．在中，，.求：
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）和的面积．
【答案】（Ⅰ）8；（Ⅱ），.
【解析】（Ⅰ）在中，根据，，利用余弦定理求解.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，再利用正弦定理求 ，然后由求面积．
【详解】（Ⅰ）在中，，，
由余弦定理得：，
，
解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
由正弦定理得：，
解得，
所以的面积是．
【点睛】方法点睛：有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．
18．如图，设长方体中，，．
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【详解】（1）解：以，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，
异面直线与所成角的大小为；
（2）解：，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
，又二面角为锐二面角，
二面角的大小为．
19．已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）＝
（1）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本）
【答案】（1）W＝；（2）9千件.
【分析】（1）根据题意，结合已知条件，即可容易求得结果；
（2）由（1）中所求函数解析式，分段考虑函数最值，注意利用导数即可.
【详解】（1）由题意得
W＝
即W＝
（2）①当0＜x≤10时，W＝8.1x－x3－10，
则W′＝8.1－x2＝＝，
因为0＜x≤10，所以当0＜x＜9时，W′＞0，则W递增；
当9＜x≤10时，W′＜0，则W递减.
所以当x＝9时，W取最大值＝38.6万元.
②当x＞10时，
W＝98－≤98－2＝38.
当且仅当＝2.7x，即x＝时等号成立.
综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大.
【点睛】本题考查函数模型的应用，涉及利用导数求利润的最大值，属基础题.
20．已知双曲线经过点，离心率2，直线l交双曲线于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值；
(3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）由题意，代入已知点的坐标以及离心率的计算，结合，建立方程组，可得答案；
（2）根据双曲线的对称性，设出点的坐标，利用斜率的计算公式，结合双曲线的方程，等量代换，可得答案；
（3）由题意，分直线斜率存在与不存在两种情况，设直线方程，联立方程，写韦达定理，根据向量数量积的坐标公式，整理方程，可得答案.
【详解】（1）由题意得，解得，则双曲线．
（2）证明：设A点坐标为，则由对称性知B点坐标为．
设，则，，得，所以．
（3）存在．当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消y得，
所以，得，且．
设，
假设存在实数m，使得，则对任意恒成立．
所以，解得．
当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立．
综上，存在，使．
【点睛】直线与圆锥曲线的位置问题，常用思路：联立直线与圆锥曲线方程，写出韦达定理，根据题目中其他条件，整理方程，解得参数的值或者参数之间的等量关系，解决问题，设直线方程时，要注意斜率是否存在.
21．已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)函数在区间上有零点，求k的值；
(3)记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；
（2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可；
（3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解．
【详解】（1）解：因为，所以，切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为；
（2）解：，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，，
在区间上存在一个零点，此时；
又，，
在区间上存在一个零点，此时．
综上，的值为0或3；
（3）解：函数，，
所以，
由得，依题意方程有两不相等的正实根、，
，，，
又，，，解得，
，
构造函数，，
所以，
在上单调递减；
所以当时，，
所以．