2023届上海市上海中学高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届上海市上海中学高三上学期期中数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先解绝对值不等式求出集合，再根据指数函数的性质求出集合，再根据交集的定义计算可得；
【详解】解：由，即，解得，
所以，
由，即，解得，
所以，
所以；
故选：C
2．已知实数、，那么是的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】等式两边平方即可判断.
【详解】因为，
所以是的必要不充分条件，
故选:B．
3．已知之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为中的前两组数据和求得的直线方程为则以下结论正确的是（ ）A．B．C．D．
【答案】C
【详解】b′＝2，a′＝－2，由公式 ＝求得．
＝，＝－＝－×＝－，∴ a′
4．对正整数，记．若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”．那么使能分成两个不相交的破晓集的并集时，的最大值是（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】B
【分析】先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，推出为破晓集相矛盾，再证满足要求，当时，，可以分成2个破晓集的并集去证明，当时，去证明，最后它与中的任何其他数之和都不是整数，从而得到答案.
【详解】先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，
假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，使．不妨设，则由于，所以，即，
同理可得，，．又推出，但，这与为破晓集相矛盾，
再证满足要求，当时，，
可以分成2个破晓集的并集，
事实上，只要取，，
则和都是破晓集，且．当时，集合中，除整数外，
剩下的数组成集合，可以分为下列2个破晓集的并：，
当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合，
可以分为下列2个破晓集的并：，
最后，集合中的数的分母都是无理数，
它与中的任何其他数之和都不是整数，因此，令，，
则和是不相交的破晓集，且．
综上，的最大值为14.
故选：B．
【点睛】思路点睛：先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，利用反证法推出为破晓集相矛盾，再证满足要求去证明，最后它与中的任何其他数之和都不是整数，本题考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题..
二、填空题
5．函数的单调递增区间是__．
【答案】
【分析】根据复合函数定义域，单调性进行求解.
【详解】由题知，
所以，
所以 或
因为在上单调递减，在 上单调递增，
又因为 在 上单调递增，
所以由复合函数单调性可知的单调递增区间是.
故答案为：.
6．若，则 ．
【答案】
【详解】∵，∴，∴.
【解析】对数的计算
7．设，，，，求的取值范围是______．
【答案】
【分析】把用和表示，然后由不等式的性质得出结论．
【详解】令，
则，解得.
∵，，
∴．
即，
所以的取值范围是
故答案为：.
8．设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则＝__________．
【答案】
【详解】试题分析：令，，所以，，，所以答案应填：．
【解析】导数的运算．
9．已知实数、、满足，，则的最大值为_______.
【答案】
【详解】试题分析：因为，所以，
所以，
所以，
由，解得，
故实数的最大值为.
【解析】一元二次方程的根的判别式，容易题.
10．已知函数的图象关于垂直于轴的直线对称，则实数的值是__．
【答案】或7或
【分析】利用绝对值不等式以及对称性求解.
【详解】考虑每个绝对值的端点，分别为，则这三个端点必关于垂直于轴的直线对称，所以或或，所以或7或．
故答案为：或7或.
11．已知实数，集合，若关于的不等式的解集为，则实数的值为__．
【答案】9
【分析】由已知，的最小值为0，可得到的关系.由的解集为，可得对应一元二次方程的两根之差为6，根据韦达定理可得关系式，两式联立，即可求得的值.
【详解】因为函数的值域为，
所以的最小值为0，
即，则，
不等式的解集为，即解集为，
则的两个根、分别为、，
所以两根之差为，
由韦达定理得，，
因为，
将代入得， ，解得．
故答案为：9.
12．下列命题中错误的是__．
①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；
②在一组样本数据（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为；
③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有的可能性患肺病．
【答案】①②③
【分析】根据均值和方差的性质，相关系数的特点，独立性检验的相关知识，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对于①，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以①错误；
对于②，在散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为，所以②错误；
对于③，由独立性检验得，有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有的可能性使推断出现错误，所以③错误．
综上，错误的命题序号是①②③．
故答案为：①②③.
13．已知，，则的最小值_________.
【答案】20
【分析】设，利用表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值.
【详解】令，则，
去分母化简得：，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立．
故答案为：20
14．已知函数，，若对任意的实数，均有，则实数的取值范围是__．
【答案】
【分析】由已知可得，需满足，即需求出的最大值和的最小值，得到不等式，即可解出的取值范围.
【详解】由于对任意的，均有，因此，
当时，，而，当且仅当时，等号成立，
因此，
当时，，，当且仅当时，等号成立，此时，，
所以，.
对，由已知，在上最大值为；在时单调递减，所以有满足.
所以要使成立，只需满足
所以，则实数的取值范围是．
故答案为：.
15．已知集合，其中且，记，且对任意，都有，则的值是___________.
【答案】或
【分析】根据两端区间和的关系分三种情况讨论：在左边，在和之间，在右边三种情况，根据单调性可得的值域，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可.
【详解】①当时，区间在的右侧，且在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故，代入可得，此时
②当，即时，在和之间.因为在区间上为减函数，故当， ，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，即，因为，故.因为此时在右侧.故当时，，因为，故，所以 ，此时，故，满足，此时
③当，即时，在右边.此时在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故，代入可得，不满足.
综上所述，有或
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了根据单调性求解值域的问题，需要根据题意，结合分式函数的图象，依据端点与特殊值之间的关系进行分类讨论，同时需要根据值域的包含关系确定参数的取值范围.求解过程中需要统一分析，注意不等式之间相似的关系整体进行求解.属于难题.
16．已知函数，若关于的方程在上有解，则的最小值为______．
【答案】
【分析】设函数在上的零点为，则由，则在直线上，则可看作是到直线的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案
【详解】解：设函数在上的零点为，则，
所以点在直线上，
设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方，
所以，，
设，设，
则，所以在上单调递减，
所以，
所以即，所以的最小值为，
故答案为：
三、解答题
17．已知函数f(x)＝3x＋k·3－x为奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若关于x的不等式f()＋f()