2023届天津市第三十二中学高三上学期期中数学试题含解析

2023届天津市第三十二中学高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意可得：.

本题选择B选项.

【解析】 集合的运算

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】等价变形给定的不等式，再利用它们所对集合的包含关系即可作答.

【详解】不等式化为：，于是得“”所对集合为，

不等式化为：，于是得“”所对集合为，显然，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．直线被圆截得的弦长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，利用垂径定理可求得弦长.

【详解】由圆的方程可知：圆心，半径，

圆心到直线的距离，

直线被圆截得的弦长为.

故选：C.

4．已知直线与直线垂直，则a的值为（    ）

A．1 B．0 C．－1 D．0或1

【答案】D

【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可得到.

【详解】因为两直线垂直，所以，解得或1.

故选：D.

5．已知向量与的夹角为，则（    ）

A．6 B． C．3 D．

【答案】A

【分析】由数量积公式结合得出答案.

【详解】解：因为向量与的夹角为，

所以

所以

故选：A

6．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．

【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．

故选：D.

7．过点的直线与圆：交于，两点，当弦取最大值时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】要使过点的直线被圆所截得的弦取最大值时，则直线过圆心，然后根据直线的两点式方程写出答案即可

【详解】圆：化为

所以圆心坐标

要使过点的直线被圆所截得的弦取最大值时，则直线过圆心

由直线方程的两点式得： ，即

故选：A

8．已知，则的值为（    ）

A． B．18 C． D．15

【答案】A

【分析】原式可除以化简成，代入求值即可

【详解】

，

代入可算得原式的值为.

故选：A

9．已知，关于该函数有下列四个说法：

①的最小正周期为；

②在上单调递增；

③当时，的取值范围为；

④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．

以上四个说法中，正确的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．

【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；

令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；

由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．

故选：A．

二、填空题

10．i是虚数单位，复数___________.

【答案】4–i    

【详解】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

详解：由复数的运算法则得：.

点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11．已知向量．若，则______________．

【答案】##

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】由题意知：，解得.

故答案为：.

12．若直线与圆相切，则_____．

【答案】

【分析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，即为半径.

【详解】由题意得：的圆心为，

故.

故答案为：

13．若，则=______．

【答案】#

【分析】根据三角函数的基本关系式，化简为齐次式，代入即可求解.

【详解】因为，可得.

故答案为：#.

14．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.

【答案】

【详解】试题分析：设，则，故圆C的方程为

【解析】直线与圆位置关系

【名师点睛】求圆的方程有两种方法：

（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解．

（2）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．

15．在中，，，. 若，，且，则的值为______________.

【答案】

【详解】 ,则

.

【解析】向量的数量积

【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.

三、解答题

16．在中，角所对的边分别为已知.

（1）求角的大小；

（2）求的值；

（3）求的值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）由余弦定理求出，即可得出角C的大小；

（2）由正弦定理即可求出答案；

（3）求出，由二倍角公式求出，再由两角差的正弦公式即可求出.

【详解】（1）在中，由余弦定理及，有

，又因为，所以.

（2）在中，由正弦定理及.

可得.

（3）由及，可得，

，

，

所以.

【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，关键点是熟练掌握有关公式的运用，考查学生的数学运算能力.

17．在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；

（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；

（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．

【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．

（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．

（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，

故．

18．已知函数，．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．

【详解】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．

由已知，有

的最小正周期．

（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．

【解析】1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．

19．直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求平面与平面所成二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；

（2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值；

（3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.

【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、、、，则，

易知平面的一个法向量为，则，故，

平面，故平面.

（2）解：，，，

设平面的法向量为，则，

取，可得，.

因此，直线与平面夹角的正弦值为.

（3）解：，，

设平面的法向量为，则，

取，可得，则，

因此，平面与平面夹角的余弦值为.

20．如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的大小；

(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在，

【分析】（1）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用，即可证明线面垂直；

（2）分别求平面和的法向量和，利用公式，即可求解；

（3）首先利用向量共线，设点，利用线面角的向量公式，即可求得的值.

【详解】（1）证明：以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

由题意得，，，，，，，，

则，平面的一个法向量，

，，

由，取，得，

，

，

平面；

（2）设平面的一个法向量，，，由，取，解得

设平面的一个法向量，

由图可知二面角为锐二面角，

二面角的大小为；

（3）设存在点满足条件，

由，，

设，

整理得，

，

直线与平面所成角的大小为，

，

则，由，得，即点和点重合，

故在线段上存在一点，且．