2022届福建省莆田华侨中学高三上学期第二次月考数学试题含解析

这是一份2022届福建省莆田华侨中学高三上学期第二次月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届福建省莆田华侨中学高三上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知集合，则=A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，，则．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2．下列说法中正确的是（       ）A．“”是“”的充要条件B．在中，若， ，，则C．命题“若，则”是真命题D．“”是“（且）”成立的充分不必要条件【答案】C【分析】对A，由，可得可以互补、可以相差的整数倍，即可判断；对B，由正弦定理求得，即可求得的度数，即可判断；对C，利用不等式性质，两边同除ab即可推导；对D，对a分类讨论，结合对数函数的性质即可判断【详解】对A，若，，可知，且，故A错；对B，由正弦定理可知，∴或，故B错；对C，∵， ∴，即，故C对；对D，若时，当时，，故“”不能推出“”，所以D错，故选：C3．在等差数列中， ，则A．8 B．12 C．16 D．20【答案】A【详解】由题意，数列为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，，则，所以.故选A.4．在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由奇偶性和单调性求解即可【详解】为奇函数，∴，又∵∴，，，又∵，且函数在区间上是增函数，∴，∴，，故选：A.6．已知向量，，若，则＝（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由题意可求出，根据可得到并化简，结合和即可求出.【详解】故选：A．7．已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】换元，可得出，利用诱导公式以及二倍角余弦公式可求得所求代数式的值.【详解】换元，可得，且，所以，.故选：D.8．在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】如下图所示： ，即，，，，，，，、、三点共线，则.，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.二、多选题9．下列说法中正确的是（       ）A．，B．已知随机变量服从正态分布且，则C．在二项式的展开式中第5项的二项式系数最大D．设随机变量服从二项分布，则【答案】BC【分析】对A，利用期望的性质、方差的性质即可判断；对B，利用正态分布的对称性及概率和为1即可判断；对C，利用中间项的二项式系数最大的性质即可判断；对D，利用二项分布的概率公式即可判断【详解】对A，，，故A错；对B，随机变量服从正态分布且，所以，所以，故B对；对C，二项式展开式共有9项，由二项式系数的性质可知第5项的二项式系数最大，故C对；对D，因为随机变量服从二项分布，则，故D错，故选：BC10．函数，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是　　A．的最小正周期为2B．把图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象C．在区间，上单调递减D．是图象的一个对称中心【答案】CD【分析】根据函数的部分图象求出、、和的值，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．【详解】解：由函数的部分图象知，，，解得，所以，选项错误；由，得，所以，，，所以，函数．图象上所有点向右平移个单位长度，得的图象，所以，选项错误；，时，，，所以函数单调递减，选项正确；因为，所以是图象的一个对称中心，选项正确．故选：．11．下列关于平面向量的说法中正确的是（       ）A．已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C．若且，则D．若点为的重心，则【答案】AD【分析】由向量共线定理可判断选项A；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B；由数量积的运算性质可判断选项C；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D.【详解】对于选项A： 由向量共线定理知选项A正确；对于选项B：，若与的夹角为锐角，则解得，当与共线时，，解得：，此时，，此时夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故选项B不正确；对于选项C：若，则，因为，则或与垂直，故选项C不正确；对于选项D：若点G为的重心，延长与交于，则为的中点，所以，所以，故选项D正确.故选：AD【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于，但数量积大于向量夹角为锐角或，由向量夹角为锐角数量积大于，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于，但数量积小于向量夹角为钝角或.12．设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（       ）A．数列为等比数列 B．数列为等比数列C．数列中 D．数列的前项和为【答案】BCD【解析】由已知可得，结合等比数列的定义可判断B；可得，结合和的关系可求出的通项公式，即可判断A；由的通项公式，可判断C；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前项和公式即可判断D.【详解】因为，所以．又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确；所以，则．当时，，但，故A错误；由当时，可得，故C正确；因为，所以所以数列的前项和为，故D正确．故选：BCD．【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由可有目的性的构造为，进而得到，说明数列是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,三、填空题13．i是虚数单位，复数___________.【答案】4–i       【详解】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则得：.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．等比数列中，且，则_______【答案】5【解析】利用等比数列下标和的性质可知，再进行化简即可求解出结果.【详解】，又等比数列中，，，故答案为：5．【点睛】本题考查等比数列下标和性质的运用，难度一般.已知是等比数列，若，则有.15．已知向量，，．若，则________．【答案】【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．【详解】由题可得 ,即故答案为【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．16．已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数的取值范围为_________【答案】【分析】求的导函数，因为是函数的唯一一个极值点，所以是导函数的唯一根，所以在上无变号零点．设，结合与的图像可知答案．【详解】由题可得 因为是函数的唯一一个极值点，所以是导函数的唯一根所以在上无变号零点．设，则 当时，，在上单调递减当时，，在上单调递增所以 ，结合与的图像可知，若是函数的唯一极值点，则 故实数的取值范围为.【点睛】本题考查导函数问题，解题的关键是构造函数四、解答题17．在的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.(1)求角A的大小；(2)若的周长为8，，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，由此求得的大小.（2）结合余弦定理求得，由此求得三角形的面积.【详解】(1)由正弦定理可知，，，，.(2)，，由余弦定理得，，得，的面积.18．已知等差数列满足：，．的前n项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，解得，所以，.（2）由（1）知，，所以，所以，即数列的前项和.【解析】等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和19．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，现为了配合环境卫生综合整治，某企业引进了除尘设备，除尘后每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，除尘后当日产量时，总成本.(1)求的值；(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？【答案】(1)(2)除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元【分析】（1）求出除尘后的函数解析式，利用当日产量时，总成本，代入计算的.（2）求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可.【详解】(1)（1）由题意，除尘后总成本，当日产量时，总成本，代入计算得；(2)（2）由（1），总利润，每吨产品的利润，当且仅当，即时取等号，除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元.20．为推行“新课堂”教学法，某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲､乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，若成绩大于70分为“成绩优良”.(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？ 甲班乙班总计成绩优良   成绩不优良   总计    附：，0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635 (2)从甲､乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记为所抽取的2人中来自乙班的人数，求的分布列及数学期望.【答案】(1)列联表答案见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”(2)分布列答案见解析，数学期望为【分析】（1）根据茎叶图即可得出列联表，计算出卡方值，和3.841比较即可得出结论；（2）可得的所有可能取值为0，1，2，计算出取不同值的概率，即可得出分布列，求出数学期望.【详解】(1)根据茎叶图中的数据作出2×2列联表如表所示： 甲班乙班总计成绩优良101626成绩不优良10414总计202040 则，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.(2)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人，乙班有2人，所以的所有可能取值为0，1，2，则，，，则随机变量的分布列为：012 则数学期望.21．在①，，②，，③点在直线上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知数列的前n项和为，___________.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.【分析】（1）若选①，根据已知条件考虑对应的等式，两式作差得到的关系，通过条件证明是等比数列，并求解出通项公式；若选②，根据已知条件考虑对应的等式，结合得到的关系，通过条件证明是等比数列，并求解出通项公式；若选③，将点代入直线方程，然后根据得到的关系，通过条件证明是等比数列，并求解出通项公式；（2）先求解出的通项公式，然后采用错位相减法进行求和.【详解】（1）方案一：选条件①.∵，∴当时，，两式相减，整理得，∵，∴，，所以，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴.方案二：选条件②.∵，∴当时，，两式相减，整理得，∵，，∴，，所以，∴数列是以为首项，为公比的等比数列.∴方案三：选条件③.∵点在直线上，∴，∴，两式相减，整理得，当时，，得，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴.（2）由（1）可得，，则，，两式相减得∴.【点睛】思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列的前项和的求解步骤（错位相减法）：（1）先根据数列的通项公式写出数列的一般形式：；（2）将（1）中的关于等式的左右两边同时乘以等比数列的公比；（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；（4）利用等比数列的前项和公式以及相关计算求解出.22．已知函数.(1)求在处的切线方程；(2)当时，关于的不等式恒成立，求满足条件的实数的最大整数值.【答案】(1)(2)4【分析】（1）求出与，利用点斜法即可；（2），恒成立等价成，构造，通过导数法研究，由于，故进一步构造，通过导数法研究的单调性及符号，即可得，即可得结果【详解】(1)函数的定义域为，，则在处的切线斜率，又所以函数的图象在点处的切线方程为：，即，(2)即，又，所以，可得对于恒成立，令，则.再令，则，所以在上单调递增；又，，所以使，即，使，当时，，；当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，又因为，所以实数的最大整数值是4.