2023届北京专家信息卷（全国甲卷）高三上学期月考数学（文）试题含解析

这是一份2023届北京专家信息卷（全国甲卷）高三上学期月考数学（文）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届北京专家信息卷（全国甲卷）高三上学期月考数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】化简集合，然后利用补集的定义运算即得.【详解】因为，，所以．故选：B．2．已知i是虚数单位，复数z满足， 则（    ）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】利用复数的除法可得，进而可得，或由题可得，进而即得.【详解】法一：因为，所以，所以；法二：因为，所以，所以.故选：D.3．若一组样本数据，，，的方差为16，则数据，，，的方差为（    ）A．256 B．64 C．32 D．31【答案】B【分析】根据计算方差的性质，可得答案.【详解】因为数据，，，的方差，所以数据，，，的方差．故选：B．4．若实数x，y满足，则目标函数的取值范围为 （    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用数形结合即得.【详解】作出不等式组表示的平面区域，由，可得，由，可得，作直线，平移直线当直线过点时，有最小值，当直线过点时，有最大值5，所以的取值范围为.故选：A.5．已知函数是偶函数，则（    ）A．0 B．1 C．-1 D．【答案】B【分析】由为偶函数，可得，即有，再根据对数的性质求解即可.【详解】解：由，得，所以函数的定义域为，因为，故，因为为偶函数，故，有，整理得，解得.当时，是偶函数.所以.故选:B．6．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（    ）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度【答案】C【分析】根据图像的变换判断即可.【详解】因为，所以只需把函数的图像向上平移个单位长度即可.故选：C7．函数的部分图像大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求解函数的定义域，且，故函数为偶函数，排除BC；再求出，排除D，选出正确答案.【详解】定义域为R，且，故为偶函数，所以排除选项B和选项C；又，排除D.故选：A．8．同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．则两颗骰子出现的点数不同且互质的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据古典概型，求出基本事件和所求事件的个数即可.【详解】同时掷两颗质地均匀的骰子，则有 个基本事件，出现的点数不同且互质的情况有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），（5， 6）共11对，所以概率为；故选：D．9．已知函数，若函数存在两个零点，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定的函数，探讨其性质并作出图象，结合图象求出a的范围作答.【详解】当时，在上单调递增，，当时，在上单调递减，，由，得，因此函数的零点即为直线与函数图象的交点的横坐标，在同一坐标系内作出直线与函数图象，如图，观察图象得：直线与函数的图象有两个公共点时，，所以函数存在两个零点，实数a的取值范围是.故选：C10．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）A． B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.【详解】因为正数x，y满足，所以有，则，当且仅当，即，时等号成立．故选：C．11．已知函数及其导函数的定义域均为R，若满足，且为奇函数，则下列选项中一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得函数的奇偶性，然后令，即可求得，从而得到结果.【详解】因为为奇函数，则，即，所以为偶函数，由，得，即，故A正确，C错误令，则，则，故D错误；令，则，故不一定等于0.故B错误.故选:A12．已知实数x，y满足，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用对数函数与指数函数单调性比较大小，即可得的大小.【详解】解：因为则，所以， 故；设，则，所以，又因为，因此，即．综上，.故选：B． 二、填空题13．函数的值域为______．【答案】【分析】先求出函数的定义域，然后根据二次根式的性质求出的范围，再利用对数函数的性质可求出函数的值域.【详解】函数的定义域为，因为所以，所以所以函数值域为．故答案为：14．不等式的解集为______．【答案】【分析】根据二次不等式的解法可得，然后根据指数函数的单调性即得.【详解】不等式，可化为，即，解得，所以，所以不等式的解集为．故答案为：．15．某学校的文学社团由高一、高二和高三学生组成，已知高一学生人数多于高二学生人数，高二学生人数多于高三学生人数，且高三学生人数的两倍多于高一学生人数，则该文学社团人数的最小值为__________．【答案】12【分析】设高一学生、高二学生和高三学生人数分别为x，y，z，则，且x，y，，讨论的取值，即可求解【详解】设高一学生、高二学生和高三学生人数分别为x，y，z，则，且x，y，，①当时，，不符合题意；②当时，，不符合题意：③当时，，不符合题意；④当时，，此时，，满足题意．所以．所以该文学社团人数的最小值12．故答案为：1216．中国魏晋期间伟大的数学家刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用多边形的周长近似代替圆的周长，随着边数的增加，正多边形的周长也越来越接近于圆的周长．这是世界上最早出现的“以直代曲”的例子．“以直代曲”的思想，在几何上，就是用直线或者直线段来近似代替曲线或者曲线段．利用“切线近似代替曲线”的思想方法计算，所得的结果用分数表示为__________．【答案】【分析】令，可得在点（0，1）处的切线方程为，由“切线近似代替曲线”的思想可得，即可得答案．【详解】解：构造函数，则有，，，所以在点（0，1）处的切线方程为，根据“切线近以代替曲线”的思想方法可得．故答案为： 三、解答题17．已知函数对任意，都有，且当时，．(1)求函数的解析表达式；(2)解方程．【答案】(1)；(2)-3，0或3． 【分析】（1）根据给定条件，求出的解析式即可作答.（2）由（1）的结论，分段解方程即可作答.【详解】（1）因函数对任意，都有，则，即，又当时，，当时，， 所以函数的解析表达式是：.（2）当时，方程成立，则，当时，方程为，解得，或者，则，当时，方程为，解得，或者，则，所以方程的根为-3，0或3．18．已知，．(1)若，求在区间上的最小值；(2)若为区间上的单调减函数，求a的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由导函数可得为上单调增函数，在上单调减函数，进而即得；（2）由题可得对任意，，然后构造函数求函数的最值即得.【详解】（1）当时， ，则，由， 得， 或，当时，（当且仅当时等号成立），当时，，所以为上单调增函数，在上单调减函数，又，，所以在区间上的最小值为；（2）由题可得，又为区间上的单调减函数，所以对任意，，即对任意，，设，，则时，，所以为区间上的单调增函数，故的最小值为，因此，所以为区间上的单调减函数，a的取值范围为．19．随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效王作的同时，网络犯罪也日益增多．为了防范网络犯罪与网络诈骗，某学校举办“网络安全宣传倡议”活动．该学校从全体学生中随机抽取了100名男生和100名女生对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查．下面是根据调查结果绘制的问卷调查得分的频率分布直方图：将得分不低于70分的学生视作了解，已知有50名男生问卷调查得分不低于70分．(1)根据已知条件完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？ 男女合计了解   不了解   合计    (2)已知问卷调查得分不低于90分的学生中有2名男生，若从得分不低于90分的学生中任意抽取2，求至少有一名男生的概率．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879  【答案】(1)表格见解析，有关(2)． 【分析】（1）根据频率分布直方图求出问卷调查结果为了解的学生人数，完善列联表，求出卡方，即可判断；（2）首先求出问卷调查得分不低于分的学生人数，再求出基本事件总数以及满足条件的事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】（1）解：问卷调查结果为了解的学生人数为：，又因为其中男生有50人，所以其中女生有人．可得列联表为： 男女合计了解503585不了解5065115合计100100200 提出假设：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关，根据列联表中数据，可以求得，因为当成立时，，这里的，所以我们有的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关．（2）解：问卷调查得分不低于分的学生人数为人，其中男生有人，女生有人记“任意抽取人，至少有一名男生”为事件，从5人中任意抽取人共有种抽法，抽取人中恰有名男生的抽法有种，抽取人中恰有名男生的抽法有种，事件A的概率，综上，至少有一名男生的概率为．20．已知函数．(1)当时，解不等式；(2)若函数有且只有一个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据真数部分大于1，解不等式即可；（2）根据得到关于x的一元二次方程，进而求出方程两根，并根据两根求出各自的的取值范围，再利用交集的思想求出只有一个零点时的的取值范围．【详解】（1）解：当时，，由，得，即，等价于，解得：；（2）解：∵ 函数有且只有一个零点，∴ 方程有且只有一个实根，由得，，化简得，解得，，当时，，不符题意，舍去；若是原方程的解，则有，即；若是原方程的解，则有，即，等价成，解得：；∵ ，有且只有一个符合题意，∴ ．【点睛】本题的关键点是求的取值范围时要注意交集思想的运用，还有区间端点处能否取到也是易错点．21．已知函数，．(1)求函数的单调区间；(2)若对任意恒有，求a．【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）求导，分，两种情况，讨论导函数正负，即得解；（2）转化为，分，，，几种情况讨论函数单调性，求解即可.【详解】（1）因为，当时，对任意都有，函数的单调增区间为当时，由，得，时，，时，，所以函数的单调增区间为，单调减区间为．综上，当时，函数的单调增区间为，当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）因为对任意恒有，所以设，根据题意，对任意，要求，，①当时，，时，，为上单调增函数，所以时，，时，，为上单调减函数，所以时，，此时，对任意恒有；②当时，由得，，时，，为上单调增函数，因为，所以，不符题意；③当时，由得，，时，，为上单调减函数，因为，所以，不符题意；④当时，对任意都有，为R上单调减函数，所以时，，不符题意；综上，当时，对任意恒有．22．在平面直角坐标系中，曲线C满足参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(1)求曲线C和直线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值．【答案】(1)，(2)2 【分析】（1）利用参数方程，经过平方相加可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用圆心距、半径、半弦长关系求解即可．【详解】（1）由，可得：，又因为，所以，即，所以曲线C的直角坐标方程为：，由，代入，可得直线的直角坐标方程为：．（2）设坐标原点O到直线的距离为，则，因为，即，解得．当时，直线经过点，而点不在曲线C上，故不符合题意，所以．23．已知正数x，y，z满足．(1)证明：；(2)求的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）根据柯西不等式，结合题干条件即得解；（2）利用均值不等式求解的最小值，再求解的最小值即可.【详解】（1）由已知，根据柯西不等式，有，即，所以；（2）因为，所以，当且仅当时等号成立，综上，的最小值为．